三角函数与圆

第二部分第四课时：三角函数与圆思想方法提炼感悟、渗透、应用课时训练思想方法提炼三角函数是与角密切相关的函数，而圆中常会出现与角有关的求解问题，尤其会出现一些非特殊角求其三角函数值的问题，或已知三角函数值求圆中的有关线段长等问题.三角函数与圆的综合应用也是中考中的热点问题之一.感悟、渗透、应用【例1】如图所示，已知AB为⊙O的直径，C为AB延长线上的点，以OC为直径的圆交⊙O于D，连结AD，BD，CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AB=BC=2，求tan∠A的值.【解析】(1)证∠CDO=90°即可，理由OC为圆的直径.(2)利用△BCD∽△DCA得到BD8DA的比值

解：(1)连结OD，∵OC为直径∴∠CDO=90°又∵OD为⊙O的半径∴CD是⊙O的切线(2)由切割线定理有：CD2=CB·CA=8∴CD=22∵∠BDC=∠A，∠BCD=∠DCA∴△BCD∽△DCA∴=∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°∴tan∠A=【例2】(2004年·甘肃省)已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CE切⊙O于C，AE⊥CE,交⊙O于D.(1)求证：DC=BC；(2)若DC:AB=3:5,求sin∠CAD的值.

证明：连接BD.∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.又∠AEC=90°.

∴BD//EC.∴∠ECD=∠BDC.∴BC=CD又∠CAD=∠CAB∴sin∠CAD=sin∠CAB=BC/AB=DC/AB=3/5.【例3】(2003年·湖北省黄冈市)已知：如图Z4-3，C为半圆上一点，AC=CE，过点C作直径AB的垂线CP，P为垂足，弦AE分别交PC，CB于点D，F，(1)求证：AD=CD；(2)若DF=5/4，tan∠ECB=3/4，求PB的长.【分析】(1)证△ACD为等腰三角形即可得.(2)先证明CD=AD=FD，在Rt△ADP中再利用勾股定理及tan∠DAP=tan∠ECB=3/4，求出DP、PA、CP，最后利用△APC∽△CPB求PB的长.解：(1)连结AC∵AC=CE∴∠CEA=∠CAE∵∠CEA=∠CBA∴∠CBA=∠CAE∵AB是直径∴∠ACB=90°∵CP⊥AB∴∠CBA=∠ACP∴∠CAE=∠ACP∴AD=CD(2)∵∠ACB=90°∠CAE=∠ACP∴∠DCF=∠CFD∴AD=CD=DF=5/4∵∠ECB=∠DAP，tan∠ECB=3/4∴tan∠DAP=DPPA=3/4∵DP2+PA2=DA2∴DP=3/4PA=1∴CP=2∵∠ACB=90°，CP⊥AB∴△APC∽△CPB∴∴PB=4【例4】(2003年·河南省)已知如图所示，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM＞MC，连结DE，DE=.(1)求EM的长；(2)求sin∠EOB的值.【分析】(1)用勾股定理求EC长，再用相交弦定理求EM的长.(2)构造Rt△EOF，利用三角函数求正弦值.解：(1)∵DC为⊙O的直径∴DE⊥EC∵DC=8，DE=∴EC==7设EM=x，由于M为OB的中点∴BM=2，AM=6∴AM·MB=x·(7-x)即6×2=x(7-x)，x2-7x+12=0∴x1=3，x2=4∵EM＞MC∴EM=4(2)∵OE=EM=4∴△OEM为等腰三角形过E作EF⊥OM，垂足为F，则OF=1∴EF=∴sin∠EOB=【例5】(2003年·河南省)已知：如图所示，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D，DP⊥PB，垂足为P，PB与⊙O交于点C，PD=8(1)求BC的长；(2)连结DC，求tan∠PCD的值；(3)以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式.【解析】(1)过O作OE⊥BC，垂足为E，则BE=EC，连结OD，则OD⊥DP又∵DP⊥PB，∴四边形OEPD为矩形∴OE=PD=8∵OB=1/2*AB=1/2×20=10在Rt△OEB中，EB2=OB2-OE2=102-82=36∴EB=6，∴BC=2EB=12(2)∵PB=PE+EB=DO+EB=16∴PC=PB-BC=16-12=4在Rt△PCD中，DP=8，PC=4∴tan∠PCD=PD/PC==21.如图所示，C是⊙O外一点，由C作⊙O的两条切线，切点为B、D，BO的延长线交⊙O于E，交CD的延长线于A，若AE=2，AB=23求：(1)BE的长；(2)sinA的值.

解：(1)BE=AB-AE=2(3-1)(2)连OD，则OD=3-1∵CD为⊙O的切线∴OD⊥CD∴sinA=课时训练3.△ABC中，AB=10，外接圆O的面积为25π，sinA，sinB是方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的个两根，其中m≠-5.(1)求m的值；(2)求△ABC的内切圆的半径.解(1)设⊙O的内切圆的半径为r，⊙O的半径为R∵πR2=25π∴R=5因⊙O的内接△ABC的边AB=10=2R∴AB是⊙O的直径，且∠ACB＝90°，则△ABC是直角三角形，从而∠A+∠B=90°，故sinB=cosA因sinA、sinB是一元二次方程(m+5)x2-(2m-5)x+12=0的两个根，故①2-②×2得(sinA+cosA)2-2sinA·cosA消去sinA和cosA，得m2-18m-40=0解之得m=20或m=-2(2)当m=20时，方程化为：25x2-35x+12=0解之得x=3/5，x=4/5则sinA=3/5，sinB=45或sinA=4/5，sinB=3/5即：AC=AB·sinB=10×4/5=8BC=AB·sinA=10×3/5=6或AC=6，BC=8于是内切圆半径r=1/2(a+b-c)=1/2(8+6-10)=2当m=-2时，方程化为x2+3x+4=0∵此方程无实根∴m=-2应舍去∴m=20，r=24.如图所示，抛物线y=ax2-3x+c交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向于C点，过A、B、C三点作⊙D，若⊙D与y轴相切.(1)求a、c满足的关系式；(2)设∠ACB=α，求tanα；(3)设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系，并证明.解：(1)A、B的横坐标是方程ax2-3x+c=0的两根，设为x1，x2(x2＞x1)，C的纵坐标为c又∵y轴与⊙D相切，∴OA·OB=OC2∴x1·x2=c2，又由方程ax2-3x+c=0和已知x1·x2=∴c2=即ac=1.

(2)连结PD，交x轴于E，直线PD必为抛物线的对称轴，连结AD、BD，∴AE=AB，∠ACB=∠ADB=∠ADE=α∵a＞0，x2＞x1∴AB=x2-x1=∴AE=又ED=OC=c，∴tanα=(3)设∠PAB=β，∵P点坐标为()又∵a＞0∴在Rt△PAE中，PE=∴tanβ=∴tanβ=tanα∴β=α∴∠PAE=∠ADE∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠PAE+∠DAE=90°即∠PAD=90°∴PA和⊙D相切.5.(2003年·深圳市)如图所示，已知A(5，-4)，⊙A与x轴分别相交于点B、C，⊙A与y轴相切于点D，(1)求过D、B、C三点的抛物线的解析式；(2)连结BD，求tan∠BDC的值；(3)点P是抛物线顶点，线段DE是直径，直线PC与直线DE相交于点F，∠PFD的平分线FG交DC于G，求sin∠CGF的值.

解：(1)D(0，-4)，B(2，0)，C(8，0)∴解析式为：y=-1/4x2+5/2x-4∴y=-(x-5)2+9/4(3)求直线PC的解析式：y=-3/4x+6设I为直线PC与y轴的交点，则I的坐标为(0，6)∴ID=I