九年级数学配套课件：一元二次方程

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程

学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练

学习目标1．理解一元二次方程的概念．3．理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题．2．根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数．

新课导入问题1：

什么叫方程？我们学过哪些方程？

含有未知数的等式叫做方程.我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程.

新课导入问题2:什么叫一元一次方程？含有一个未知数，且未知数的次数是1的方程,叫做一元一次方程.问题3:根据一元一次方程的定义，想一想什么叫一元二次方程？

新知探究一、一元二次方程的概念问题1:有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形？解：设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为（100－2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据方盒的底面积为3600cm2,得化简，得x（100－2x)(50－2x)=3600该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？

新知探究问题2:要组织要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?解：根据题意，列方程：化简，得：该方程中未知数的个数和最高次数各是多少？

新知探究方程①、②都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？共同特点:①都是整式方程;②只含一个未知数;③未知数的最高次数是2.思考：

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程.ax2+bx

+c

=0(a

,

b

,

c为常数,

a≠0)ax2称为二次项,

a

称为二次项系数.

bx

称为一次项, b

称为一次项系数.

c

称为常数项.一元二次方程的概念

一元二次方程的一般形式是

新知探究想一想：

为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c可以为零吗？当

a=0时bx＋c=0当

a≠0，b=0时

，ax2＋c=0当

a≠0，c

=0时

，ax2＋bx=0当

a≠0，b

=c

=0时

，ax2

=0总结：只要满足a≠0，b，

c

可以为任意实数.

新知探究

使一元二次方程等号两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（也叫做一元二次方程的根）.练一练：下面哪些数是方程x2–x–12=0

的解?

-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4解：4和-3.你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根.

新知探究二、一元二次方程的根例1：

下列选项中，关于x的一元二次方程的是（）C不是整式方程含两个未知数化简整理成x2-3x+2=0少了限制条件a≠0

新知探究

例2：将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数.解：去括号，得3x2-3x=5x+10.移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2-8x-10=0.其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.系数和项均包含前面的符号.注意

新知探究例3:a为何值时，下列方程为一元二次方程？(1)ax2－x=6x2(2)2(a－1)x|a|+1

－6x－7=10.解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-6)x2-x=0,所以当a-6≠0，即a≠6时，原方程是一元二次方程；

(2)由∣a

∣+1=2，且a-1≠0知，当a=-1时，原方程是一元二次方程.

新知探究一元二次方程概念是整式方程；含一个未知数；未知数最高次数是2.一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)

.根使方程左右两边相等的未知数的值.

课堂小结

1.判断下列方程是否为一元二次方程？(2)x3+x2=36(3)x+3y=36(5)x+1=0

(1)x2+x=36

课堂训练2.填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项-21313-540-53-2

课堂训练3.如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）.解：设圆的半径为xcm，则它的面积为3x2

cm2.整理，得根据题意有，200cm150cmx2-2500=0

课堂训练4.如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.解：该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x整理，得根据题意有，

课堂训练5.在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？（列出方程即可）3220x

课堂训练解：设小路的宽是xm，由题意得x2-36x＋35=0整理可得：(20-x)(32-2x)=5706.变式训练：已知方程(2a-4)x2－2bx+a=0,（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？解（1）当2a－4≠0，即a≠2时是一元二次方程（2）当a=2且b≠0时是一元一次方程

课堂训练7.若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=±2.∵m+2≠0，∴m≠-2，综上所述：m=2.

课堂训练拓广探索

:已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意得思考:1.若a+b+c=0,你能通过观察,