第五章相交线与平行线模型课件人教版七年级数学下册

相交线与平行线

相交线几条应知应会的重点1、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

或者说过直线外一点有且只有一条直线与已经直线垂直。2、连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。3、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫点到直线的距离

三线八角同位角：1和5，2和6，4和8，3和7内错角：4和6，3和5同旁内角：4和5，3和6怎么找这几组角？首先如果是这三类角一定会有公共边，而且公共边一定是截线，剩下角的两条边是被截线，例如：∠4和∠6公共边是l1,所以l1是截线，∠4的另一条边是l2，∠6的另一条边是l3，所以l2，l3是被截线，在截线（l1）两侧，在被截线（l2，l3）中间，所以是内错角。再比例∠2和∠8，它们没有公共边，所以∠2和∠8不是这三类角。注意三组角的字面意思：同字指的是在截线同侧，内指的是在两条被截线中间，错指是的被截线两侧(错开)

三线八角“F”型“Z”型“U”型同位角内错角同旁内角

平行线平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平等，那么这两条直线也互相平行。（可以用来证平行）平行线判定1、同位角相等，两直线平行；2、内错角相等，两直线平行；3、同旁内角互补，两直线平行。相交线与平行线（猪蹄模型）结论已知AB∥CD，则∠BOC=∠B+∠C证明（一）：过O点作EF∥AB∵AB∥CD,EF∥AB∴EF∥CD∴∠B=∠BOF,∠C=∠COF∴∠BOF+∠COF=∠B+∠C∴∠BOC=∠B+∠C

这个结论也可以说角相等再证平等见猪蹄，大角等于小角和结论已知AB∥CD，则∠3=∠B+∠D证明（二）：延长BE交CD于F∵∠1+∠2+∠D=180°

∠2+∠3=180°∴∠1+∠D=∠3∵AB∥CD∴∠1=∠B∴∠B+∠D=∠3结论已知AB∥CD，则∠E=∠1+∠2证明（三）：连接BD∵AB∥CD∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°∵∠E+∠3+∠4=180°∴∠E=∠1+∠2

相交线与平行线（铅笔模型）结论已知AD∥CE，则∠A+∠ABC+∠C=360°证明：过B点作BF∥AD∵BF∥AD∴∠A+∠1=180°∵AD∥CE∴BF∥CE∴∠2+∠C=180°∵∠ABC=∠1+∠2∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+∠1+∠2+∠C=360°见铅笔头，三个角之和为360°模型扩展已知a∥b，则∠A1+∠A2+…+∠An-1+∠An=180°(n-1)证法：有几个拐点就作几条平行线。相交线与平行线（锯齿模型）结论已知AB∥EF，则∠B+∠D=∠C+∠E证明：过C点作MN∥AB,过D点作PQ∥AB∵AB∥EF∴AB∥MN∥PQ∥EF∴∠B=∠BCN,∠CDP=∠DCN,∠PDE=∠E∴∠B+∠CDP+∠PDE=∠BCN+∠DCN+∠E

∴∠B+∠CDE=∠BCD+∠E见锯齿，朝左边的角的和等于朝右边的角的和

需要注意的是这个模型一定要求∠B和∠E都是锐角模型变形已知AB∥EF,则∠C+α=β+γ证明：延长BA、FE∵AB∥EF∴根据锯齿模型的结论，可知：

∠1+γ=∠2+∠C

∵∠1+α=180°，∠2+β=180°∴(180°-α)+γ=(180°-β)+∠C

即∠C+α=β+γ模型变换可以分成一个猪蹄型和一个内错角可以分成两个猪蹄型相交线与平行线（鹰嘴模型）结论一已知AD∥CE，则∠ABC=∠A-∠C证明：过B点作BF∥AD∵BF∥AD∴∠ABF+∠A=180°∵AD∥CE∴BF∥CE∴∠FBC+∠C=180°∴∠FBC+∠C=∠ABF+∠A∴∠FBC-∠ABF=∠A-∠C

∴∠ABC=∠A-∠C见鹰嘴，鹰嘴等于大减小结论二已知BD∥CE，则∠A=∠C-∠B

证明：∵BD∥CE∴∠AFD=∠C∵∠AFD+∠AFB=180°

∠AFB+∠A+∠B=180°∴∠AFD=∠A+∠B∴∠C=∠A+∠B,即∠A=∠C-∠B

见鹰嘴，鹰嘴等于大减小相交线与平行线（平行平分见等腰模型）结论一已知ED∥BC，BD平分∠ABC，则BE=ED这三个结论只是题设和结论互换了，这说明这个模型里面说了三个事，这三个事只要知道其中两个就可以推出第三个。结论二结论三已知ED∥BC，BE=ED，则BD平分∠ABC已知BD平分∠ABC，BE=ED，则ED∥BC结论一解析：证明：∵ED∥BC∴∠D=∠1∵BD平分∠ABC∴∠2=∠1∴∠2=∠D∴BE=ED其它两个结论证法只是调整一下书写的顺序。相交线与平行线（同旁内角双角平分线）已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，过E作AB的垂线FG.

证明：②过E点作EH⊥BD于H

∵EH⊥BD,FG⊥AB∴∠EFB=∠EHB=90°∵BE平分∠ABD∴∠EBD=∠EBF∵BE=BE∴△EBF≌△EBH∴EF=EH

H同理可得

△EDG≌△EDH

∴EG=EH∴EF=EG

已知AB∥CD，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，过E作AB的垂线FG.

证明：③由②知：△EBF≌△EBH，△EDG≌△EDH∴BF=BH,DH=DG∴BD=DH+BH=BF+DG

H

针对训练1、如图，A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东52°方向，C岛在B岛的北偏西43°方向，则从C岛看A,B两岛的视角∠ACB的度数()解析：这个图形逆时针转90°，就是我们上面讲的猪蹄模型。

即：∠ACB=∠A+∠B

针对训练2、如图，AB∥EF，用α、β、γ的式子表示x解：延长AB至C

延长之后就成了我们上面讲的锯齿形

∴∠1+β=γ+x

∵∠1=180°-α

∴180°-α+β=γ+x

即x=180°-γ-α+β

C1

针对训练分析：这题就是铅笔头模型1803605407201620180(n-1)3、下列各图中的MA1与NAn平行(1)图①中的∠A1+∠A2=

度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=

度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=

度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=

度，第⑩个图中∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A10=

度(2)第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠An=

度

针对训练(1)由猪蹄模型得：∠E=∠B+∠D(2)由铅笔模型得：∠E+∠B+∠D=360°(3)由锯齿模型得：∠B+∠F+∠D=∠E+∠G4、如图(1)所示是一根木尺折断后的情形，你可能注意过，木尺折断后的断口一般是参差不齐的，那么请你深入考虑一下其中所包含的一类数学问题，我们不妨取名叫“木尺断口问题”(1)如图(2)所示,已知AB∥CD,请问∠B，∠D，∠E有何关系并说明理由。(2)如图(3)所示,已知AB∥CD,请问∠B，∠D，∠E有何关系并说明理由。(3)如图(4)所示,已知AB∥CD,请问∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系并说明理由。

针对训练5、把一副三角板放在水平桌面上，摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，两条斜边平行，则∠1的度数是()°B.105°C.120°D.135°B分析：这题直接用猪蹄就可以了

针对训练6、如图，在正五边形ABCDE中，AB∥CD，则图中的x的值是

。85分析：这题用铅笔模型得∠D+∠E+∠A=360°∴x°=360°-150°-125°∴x=85

针对训练7、如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°证明：过点G作HG∥BE∵HG∥BE∴∠1=∠EGH

∵∠3=∠1+∠2,∠3=∠EGH+∠FGH

∴∠2=∠FGH

∴HG∥CF

∴BE∥CF

∴∠BMN+∠CNM=180°∵∠A+∠B=180°-∠BMA=∠BMN∠C+∠D=180°-∠CND=∠CNA∴∠A+∠B+∠C+∠D=180°

针对训练8、如图1,AB∥CD,EF⊥AB于点E,∠AEH=∠FGH=20°，∠H=50°，则∠EFG的度数是()°B.130°C.140°D.150°分析：如图2用猪蹄型，∠H=∠AEH+∠CGH∵∠AEH=20°,∠H=50°∴∠CGH=30°∵∠FGH=20°∴∠CFG=30°+20°=50°

如图3再用猪蹄型，∠EFG=∠BEF+∠CGF∵∠BEF=90°∴∠EFG=90°+50°=140°C图1图3图2

针对训练

C

针对训练10、平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系。(1)如图a,AB∥CD,点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D.将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？(不需要证明）(3)根据(2)的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。分析：(1)不成立，依据猪蹄模型

∠BPD=∠B+∠D(2)

延长BP至E，∠BED=∠BQD+∠B,∠BPD=∠BED+∠D∴∠BPD=∠BQD+∠B+∠D

这问实际是飞镖模型，会在飞镖模型里重点讲。(3)可以把原图分成下面两个图，即一个飞镖模型，一个四边形，由飞镖模型得：∠FOE=∠B+∠E+∠F,

由四边形内角和得：∠A+∠C+∠D+∠AOD=360°∵∠FOE=∠AOD∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°EOOO

针对训练120°∠1+∠3=∠2+∠4∠1+∠3+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n这题用猪蹄模型和锯齿模型解，具体方法看前面的模型解析。11、阅读下列材料，并解答下列问题，如图1，AB∥CD，EO和FO交于O，过点O作AB的平行线，我们可以得出∠2与∠1，∠3之间的数量关系是∠2=∠1+∠3.(1)如图2，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=30°，则∠B=

.(2)如图3，AB∥CD，则∠1，∠2，∠3，∠4之间的数量关系是什么？并说明理由.(3)如图4，AB∥CD，图中∠1，∠2，∠3，…，∠2n-1，∠2n之间有什么关系？(直接写出答案)

针对训练12、如图，在△ABC中OB与OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为多少？分析：由平行平分见等腰模型，可得

△BDO与△ECO都是等腰三角形∴BD=OD,EO=EC∴DE=DO+EO=BD+CE∵BD+CE=5∴DE=5

针对训练13、如图，矩形纸片ABCD,其中AD=8,AB=6，沿对角线BD对折，点C在点C′的位置上，BC′交AD于点G.求证：AG=C′G;分析：这里面有个红颜色“8”字模型(会在后面的课里单独讲)∵对折∴∠C′BD=CBD,BC=BC′∵矩形∴AD∥BC,AD=BC∴AD=BC′所以依据平行平分是等腰模型得到△BGD是等腰三角形∴BG=DG∴AG=GC′

针对训练14、如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F,CE平分∠BCD,及交AD于点E，AB=6,EF=2，则BC长为多少？分析：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BC,BC=AD,AB=CD∵AB=6∴CD=6∵BF平分∠ABC,CE平分∠BCD所以依据平行平分是等腰模型得到△ABF和△DCE都是等腰三角形∴AB=AF,DE=DC∴AF=DE=6∵EF=2∴BC=AD=AF+DE-EF=6+6-2=10

针对训练15、已知AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP.(1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC.(2)如图2，点P与直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由.(3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由.解析：(1)由猪蹄模型可得∠P=∠BAP+∠DCP=80°(2)由猪蹄模型可得∠P=∠BAP+∠DCP∠K=∠BAK+∠DCK∵AK、CK为角平分线