5.1一元一次方程（原卷版）

5.1一元一次方程了解方程和等式的概念;理解方程的解和解方程的意义,并会检验方程的解了解一元一次方程的概念:掌握等式的性质,并能利用性质探究一元一次方程的解法通过对实际问题中数量关系的分析,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型,逐步形成数学的应用意识知识点一方程的概念含有未知数的等式叫做方程.方程必须同时具备两个条件:(1)是等式;(2)含有未知数.方程中的未知数可以是,也可以是其他字母,还可以含有多个未知数.例如:,,都是方程如果等式中是未知数，是已知数，那么我们把这个方程叫做关于的方程,例如:若是未知数,是已知数,则就是关于的方程即学即练判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．(1)4×5=3×7−1；(2)2x+5y=3；(3)9−4x>0；(4)x+5；(5)x−10=3；(6)5+6=11．知识点二一元一次方程的概念1.一元一次方程的概念方程中只含有一个未知数(元),未知数的次数都是1,等号两边都是整式,这样的方程叫做一元一次方程,如等.2.一元一次方程具有如下特点:(1)只含有一个未知数(2)所含未知数的项的最高次数为1(3)含未知数的项的系数不为0(4)一元一次方程是由整式组成的,即一元一次方程中分母不含未知数3.一元一次方程的标准形式任何一个一元一次方程变形后总可以化为的形式其中是未知数，是已知数,且.我们把叫做一元一次方程的标准形式注意判断一个方程是否为一元一次方程,要先将整式方程化简整理,再按一元一次方程的概念去判断.如,虽然的次数出现了2,但化简之后为或,可知它是一元一次方程即学即练1下列各式中，①；②③；④；⑤；⑥⑦⑧哪些是方程，哪些是一元一次方程．（将序号写到横线上）即学即练2（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）已知关于x的方程m2−1x2−2mx−2x+1=0A．1 B．−1 C．1或−1 D．以上结果均不是知识点三解方程与方程的解1.解方程解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值的过程2.解方程的解就是使方程中等号左右两边相等的未知数的值.(注意：只含一个未知数的方程的解也可以叫做方程的根.)3.判断一个数是不是方程解的方法把这个数分别代入方程中等号的两边,若等号两边的值相等,则该数是方程的解;反之,则不是方程的解4.方程的解和解方程的区别与联系区别:方程的解是解方程的结果，是具体的数值,而解方程是一个变形的过程联系:解方程的目的是求出方程的解即学即练检验下列方程后面括号内所列各数是否为相应方程的解：(1)5x+18=x−1(2)2（y−2）知识点四根据实际问题列一元一次方程分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学的知识解决实际问题的一种方法列方程一般有三个环节:审题:提取问题中的数量信息，正确理解问题中表示数量关系的关键性词语,如多、少、倍、分、增加、减少等,这些词语体现了其中的数量关系分析:理清问题中的关系,分析时可借用表格、图形等建模:设出未知数并用含有未知数的代数式表示出其他未知量将问题转化为方程,可直接或间接设未知数即学即练在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多20%，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树x(1)列两个不同的含x的式子来表示甲班植树的棵数；(2)根据题意列出含未知数x的方程；(3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵．知识点五估算一元一次方程的解对于一些简单的方程,估算方程的解可用尝试检验法,尝试检验法是一种十分重要的方法，它能帮助我们确定方程的解或者解的取值范围首先确定未知数的一个较小的取值范围,逐一将一些可取的值代入方程进行尝试检验，能使方程左右两边的值相等的未知数的值就是方程的解.即学即练1（2022上·山东潍坊·七年级统考期末）按照下面表格中的步骤，估算方程的解时，第三次估算时x可以取的值是（

）估计的x的值x的值与方程右边2.2比较第一次估算03小了第二次估算1－1大了第三次估算估计的x的值A．0.1 B．2 C．0.3 D．－1即学即练2先列方程，再估算出方程解．甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，用40元钱买了两种钢笔共10支，还多2元，问两种钢笔各买了多少支？解：设买了甲型钢笔x支，则乙型钢笔_________支，依题意得方程：_____________________．这里x＞0，列表计算：从表中看出x(支)123456783x＋5(10－x)(元)4846444240383634x＝____是原方程的解．题型1判断各式是否是方程例1（2022上·安徽阜阳·七年级校考期末）下列各式中，是方程的个数为（）；；；；；．A．2个 B．3个 C．5个 D．4个举一反三1（2022上·全国·七年级专题练习）下列叙述中，正确的是（

）A．方程是含有未知数的式子B．方程是等式C．只有含有字母x，y的等式才叫方程D．带等号和字母的式子叫方程举一反三2（2023上·全国·七年级课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．题型2列方程例2（2023上·浙江温州·七年级统考期末）学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下列方程中正确的是（

）A． B．C． D．举一反三1（2020下·浙江·七年级期中）在“垃圾分类”活动中，实践组有人，宣传组有人．问应从宣传组调多少人到实践组，才能使实践组的人数是宣传组的2倍，设从宣传组调x人到实践组，则可列方程为（）A． B．C． D．举一反三2（2021下·浙江·七年级期中）如图是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为y，则下列所列方程正确的是（

）A．y＝5×3﹣3x﹣5x B．y＝(5﹣x)(3﹣x) C．y＝3x+5x D．y＝(5﹣x)(3﹣x)+5x2题型3方程的解例3（2022上·浙江湖州·七年级统考阶段练习）写出一个解为的一元一次方程．举一反三1（2023上·浙江金华·七年级统考期末）依次取的值为，，，，，，代入代数式求出的代数式的值如下表：则是下列哪个方程的解（

）A． B． C． D．举一反三2（2022上·浙江绍兴·七年级统考期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（）A． B． C． D．题型4一元一次方程的定义例4（2023上·浙江湖州·七年级统考期末）下列方程：①；②；③．其中一元一次方程的个数是（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个举一反三1（2023上·浙江宁波·七年级统考期末）下列四个方程中，其中属于一元一次方程的是（

）A． B． C． D．举一反三2（2022上·浙江杭州·七年级期中）下列方程中，是一元一次方程的有；①；②；③；④；⑤；⑥一、单选题1．（2023·全国·九年级专题练习）下列方程属于一元一次方程的是（）A． B． C． D．2．（2012·七年级单元测试）若是一元一次方程，则m等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．任何数3．（2022下·浙江金华·七年级统考期末）若是关于的方程的解，则代数式的值为（

）A． B．7 C． D．94．（2020上·湖北荆州·七年级统考期中）关于x的方程a3x=bx+2是一元一次方程，则b的取值情况是（）A．b≠3 B．b=3 C．b=2 D．b为任意数5．（2021上·浙江温州·七年级统考期末）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人，现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，设应调往甲处x人，则可列方程为（

）A． B．C． D．二、填空题6．（2018上·北京昌平·七年级统考期末）已知是关于的一元一次方程，则的值为．7．（2023上·浙江绍兴·七年级统考期末）能使等式成立的的值有无数多个，则的值为．8．（2023上·浙江台州·七年级统考期末）若是关于的方程的解，则的值是．9．（2020上·浙江台州·七年级校考期中）若是关于的一元一次方程，则．10．（2022上·浙江·七年级专题练习）若是关于x的方程的解，则．11．（2022上·北京昌平·七年级统考期末）观察下列方程：解是；的解是；的解是；根据观察得到的规律，写出解是的方程是．写出解是的方程是．三、解答题12．（2022上·浙江丽水·七年级统考期末）如图，一个瓶子的容积为（立方厘米）且瓶子内底面半径为r，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为20厘米；倒放时，空余部分的高度为5厘米．根据愿意回答下列问题：(1)用两种不同的代数式表示瓶内溶液的体积；（含r的代数式）(2)求瓶子内底面面积．13．（2021上·江苏宿迁·七年级统考期中）王明在准备化简代数式■时一不小心将墨水滴在了作业本上，使得前面的系数看不清了，于是王明就打询问李老师，李老师为了测试王明对知识的掌握程度，于是对王明说：“该题标准答案的结果不含有．”请你通过李老师的话语，帮王明解决如下问题：（1）■的值为________；（2）求出该题的标准答案．14．（2020上·北京通州·七年级统考期末）在数轴上，我们把表示数2的点定为核点，记作点C，对于两个不同的点A和B，若点A，B到点C的距离相等，则称点A与点B互为核等距点．如图，点A表示数﹣1，点B表示数5，它们与核点C的距离都是3个单位长度，我们称点A与点B互为核等距点．(1)已知点M表示数3，如果点M与点N互为核等距点，那么点N表示的数是＿＿＿＿；(2)已知点M表示数m，点M与点N互为核等距点，①如果点N表示数m+8，求m的值；②对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以2，再把所得数表示的点