贵州省遵义市桐梓县重点中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试卷（含答案）

-2024学年桐梓县重点中学第三次月考试卷高二数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．22．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．3．已知复数（为虚数单位），则z的共轭复数（

）A． B． C． D．4．已知椭圆的一个焦点为，则实数的值为（

）A．6 B．4 C．3 D．55．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（

）A．相离 B．外切 C．相交 D．内切6．过点且垂直于直线的直线方程是（

）A． B． C． D．7．已知点，分别是椭圆的左、右焦点，点P在此椭圆上，则的周长等于（

）A．16 B．20 C．18 D．148．设椭圆的离心率分别为．若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知椭圆：，在下列结论中正确的是（

）A．长轴长为8B．焦距为C．焦点坐标为D．离心率为10．下列结论正确的是（

）A．“”是“”的充分不必要条件B．命题“，成立”的否定是“，”C．最小值2D．若，且，则11．圆与圆相交于、两点，则（

）A．的直线方程为B．公共弦的长为C．线段的垂直平分线方程为D．圆上的点与圆上的点的最大距离为12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满足．点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（

）A．曲线的方程为B．曲线被轴截得的弦长为C．直线与曲线相切D．是曲线上任意一点，当的面积最大时点的坐标为三、填空题13．若直线与直线垂直，则实数.14．直线与圆交于两点，则.15．在空间直角坐标系中，向量，分别为异面直线，方向向量，则异面直线，所成角的余弦值为.16．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．四、解答题17．在中，内角所对的边分别为.已知.(1)求；(2)若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长.18．为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消费人群中随机选出人，并将这人按年龄分组，记第组，第组，第组，第组，第组，得到如下频率分布直方图：

(1)求出频率分布直方图中的值和这200人得平均数；(2)从第组中用分层抽样的方法抽取人，并再从这人中随机抽取人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.19．如图，在直三棱柱中，，E为的中点，．(1)证明：．(2)求二面角的余弦值．20．已知圆：．(1)过圆外一点引圆的切线，求切线方程和切线长；(2)设点是直线上的一点，过点作圆的切线，切点是，求△OPM的面积最小值以及此时点的坐标．21．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分别是AC、PB的中点．(1)证明：EF∥平面PCD；(2)求证：平面PBD⊥平面PAC．22．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.(1)求动点的轨迹方程.(2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积.参考答案：选择题：1——5：CAADD6——8：AAA9：ABD10：AD11：AD12：AB1．C【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．【详解】方法一：因为，而，所以．故选：C．方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．故选：C．2．A【分析】由斜率与倾斜角的关系可得.【详解】设直线的倾斜角为，斜率为，则，且，则，所以直线的倾斜角为，即.故选：A.3．A【分析】根据复数除法运算化简，结合共轭复数定义，即可求得答案.【详解】故故选：A.4．D【分析】由条件可得椭圆的焦点在轴上，根据椭圆中关系可得出答案.【详解】由条件可得椭圆的焦点在轴上，即,则，解得故选：D5．D【分析】求出圆心、半径，再计算出圆心距，即可判断.【详解】圆：的圆心为，半径，圆：的圆心为，半径，因为，所以两圆相内切.故选：D6．A【分析】根据所求直线垂直于直线，设其方程为，然后将点代入求解.【详解】因为所求直线垂直于直线，所以设其方程为，又因为直线过点，所以，解得所以直线方程为：，故选：A.7．A【分析】根据给定的椭圆方程，求出长轴长及焦距即可.【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，由椭圆定义知，焦距，所以的周长等于.故选：A8．A【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A9．ABD【分析】先确定的值，然后根据椭圆性质逐一判断选项即可.【详解】由已知得，则，故椭圆长轴长为，焦距为，焦点坐标为，离心率，故ABD正确，故选：ABD.10．AD【分析】根据充分不必要条件判断A选项，应用命题的否定判断B选项，应用基本不等式判断C,D选项.【详解】对于A选项，且，所以，“”“”，且“”“”，所以，“”是“”的充分不必要条件，A对；对于B，命题“，成立”的否定是“，”，B错；对于C中，由，当且仅当时，即时，显然不成立，所以C错误；对于D中，若且，由基本不等式可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以，所以D正确．故选：AD.11．AD【分析】将两圆方程作差，可得出直线的方程，可判断A选项；求出直线截圆所得弦长，可判断B选项；分析可知，线段的垂直平分线为直线，求出直线的方程，可判断C选项；利用圆的几何性质可判断D选项.【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即，所以，直线的方程为，A对；对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以，，B错；对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为，连接、、、，因为，所以，直线过圆心，易知为的中点，又因为，所以，，所以，垂直平分线段，，则直线的方程为，即，C错；对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为，D对.故选：AD.12．AB【分析】设，根据，，点满足．求得点的轨迹方程，再逐项判断.【详解】对于选项A，设，由，，可得，所以，整理可得，即，故选项A正确；对于选项B，因为，令得，曲线被轴截得的弦长为，故选项B正确；对于选项C，因为，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与曲线相离，故选项C错误；对于选项D，因为是曲线上任意一点，要使的面积最大，则曲线上的点到轴的距离最大，即的边上的高等于圆的半径时，的面积最大，此时点的坐标为，故选项D错误．故选：AB．13．/【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得，故答案为：.14．【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．【详解】解：由圆，得，则圆心坐标为，半径为2．圆心到直线的距离，．故答案为：．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，利用垂径定理求弦长．15．【分析】直接利用空间向量的夹角公式求解求解作答.【详解】因为，则，而异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.故答案为：16．（中任意一个皆可以）【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出．【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得，所以，解得：或，由，所以或，解得：或．故答案为：（中任意一个皆可以）．17．(1)(2).【分析】（1）利用二倍角公式化简即可求得.（2）利用面积公式和余弦定理即可求解.【详解】（1）由，得，在中，，在中，.（2），由余弦定理得，，，的周长为.18．(1)，中位数为，平均数为(2)【分析】（1）根据频率和为的性质可构造方程求得；根据频率分布直方图估计中位数和平均数的方法，直接估算即可；（2）根据分层抽样可确定人中分别来自第的人数，利用列举法可得所有基本事件和满足题意基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.【详解】（1）由频率分布直方图性质知：，解得：；，，中位数位于，设中位数为，则，解得：，即中位数为；平均数为.（2）第组的频率之比为，抽取的人中，第组应抽取人，记为；第组应抽取人，记为，则从人中随机抽取人，有，，，，，，，，，，共个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有，，，，共个基本事件；两人恰好属于同一组别的概率.19．(1)见解析(2)【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.【详解】（1）在直三棱柱中，平面,平面,所以，又由题可知，，,平面且,所以平面,又因为平面,所以.（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，由，，可得，则有设平面的一个方向量为,所以即令则，所以因为平面,所以为平面的一个法向量，所以,,即二面角的余弦值等于.20．(1)切线方程为或，切线长为1(2)的面积最小值为2，此时【分析】（1）由题意，利用分类讨论的解题思想，结合切线的性质以及点到直线的距离公式，根据勾股定理，可得答案；（2）由题意，利用数形结合的解题思想，求得点，可得答案.【详解】（1）由题意，可作图如下：

当切线斜率存在时，设切线的方程为，即，圆心到切线的距离是，，解得，切线方程为，即．当切线斜率不存在时，又与圆也相切，故所求切线方程为和．由圆的性质可知，切线长为．（2）由题意，可作图如下：（3）（4）

当时，的面积最小值．又因为，所以直线的方程为．由，解得，即点的坐标为．此时的面积最小值为．21．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】(1)连结，证明EF∥PD即可；(2)证明BD⊥平面PAC即可．【详解】（1）连结，则是的中点，又是的中点，，又平面，面，平面．（2）∵P