噪声与随机信号分析

1数字通信

(第六讲)噪声与随机信号分析12015Yuping

EZvhaaolu(aPtroifoenssoonr)l)

y.ed

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Aspose.Slide赵s玉fo萍r

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ProfiCopDyerpiagrthmten2t00of4-E2l0ec1t1roAnsipcos

se

Pty

Ltd.PekingUniversityBeijing

100871,

Chinaemail:yuping.zhao@2分析通信中E的val常uat见ion噪onl声y声.ed

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Ltd.白噪声

白噪声的定义：功率谱密度函数在整个频域(-∞<ω<+∞)内是常数的噪声不符合上述条件的噪声称为有色噪声白噪声的功率谱密度函数Evaluation

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Ltd.n0

是一个常数，单位为W/Hz白噪声的自相关函数

由于功率信号的功率谱密度与其自相关函数

R(τ)互为傅氏变换对因此，白噪声的自相关函数为Evaluation

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Ltd.

白噪声的自相关函数是一个位于τ=0处的冲激函数，即白噪声只有在

n0

/2时才相关，而在任意两个不同时刻上的随机取值都是不相关的。高斯噪声高斯噪声的定义：概率密度函数服从高斯分布（即正态分布）的噪声。式中，a

为噪声的数学期望值，也就是均值；σ2

为噪声的方差。通常，通信信道中噪声的E均v值ala=u0a。tion

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Ltd.5在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。因为噪声的平均功率为所以

Pn=σ2Evaluation

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•wi而th噪A声s的po方s差e.为Slides

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Ltd.通信系统中常常使用误差函数计算高斯分布函数中的小概率事件所占的比例标准正态分布互补误差函数高斯通道下当发射+1与-1的概率相同时，得到的接收信号pdf函数为：Evaluation

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•w误it差h函A数spose.Slides

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Ltd.误差函数和互补误差函数的主要性质Evaluation

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Ltd.8误差函数的其他表示方法许多通信系统采用Q(X)函数表示误码率9Evaluation

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Ltd.两种误差函数关系的推导Evaluation

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Ltd.10带通系统中的高斯噪声1位作缓慢随机变化。定义与表达式高斯噪声通过以ωc

为中心的窄带系统可形成窄带高斯噪声。特点：频谱局限在±Eωvac

附lu件a很ti窄o的n频on率l范y.围内，包络和相11ed

•wi窄th带A高s斯po噪s声e.nS(tl)i可de表s示f为or

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Ltd.ρ(t)为噪声

n(t)的随机包络，φ(t)为噪声

n(t)的随机相位。窄带高斯噪声的另外一种表达式为•式中

nc(t)及ns(t)分别称为

n(t)的同相分量和正交分量。Evaluation

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Profi其中

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Ltd.2

统计特性(1)一个均值为零，方差为σ

2

的窄带高斯噪声

n(t)，假定它是其中x

c

s这里，σ

2、σ

2、σ

2分别表示窄带高斯噪声

n(t)、同相分量nc(t)和正交分量

ns(t)的方差（亦即功率）。x平稳随机过程，则它的同相分量

nc(t)、正交分量

ns(t)同样是平稳高斯噪声，且均值都为零，方差也相同，即Evaluation

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Ltd.13(2)一个均值为零，方差为σ

2

的窄带高斯噪声

n(t)，假定它是x平稳随机过程，则其随机包络ρ(t)服从瑞利分布，相位φ(t)服从均匀分布，即p(ρ)和p(φ)的波形E如v下al图u所at示i。on

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Ltd.14在通信系统中，概率论与随机过程是重要的数学工具。

接收机的设计：接收机的作用是设法去除信道对随机信源的影响，恢复出原始的随机信源信号。

系统性能评估：性能评估实际上是对接收机恢复原始信源能力的评估。这种评估一般用错误概率来表示。接收信号的数学描述：系统评估准则（使误差最小化）：Evaluation

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Aspose.Sli接d收信e号s

信f道o特r征.信N源ET噪3声.5

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Profi（随机） （随机）（随机）（随机）Copyright

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Ltd.接收机的主要工作是根据接收信号估计出发射信号：在任何通信系统中，高斯噪声都是存在的，它作为加性噪声叠加到接收信号上高斯噪声的表达式Evaluation

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Ltd.16联合事件考虑两个事件，其联合概率记做P(A,B)，联合概率满足以下条件;17;Evaluation

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wi且th

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Ltd.统计独立事件A

的发生不依赖事件B

的发生，即Evaluation

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Ltd.高斯噪声符合这一准则：18随机变量的和假设

Xi,

i=1,2,…n

是统计独立且同分布的随机变量，有限均值

mx

，有限方差

x2。Y

定义为归一化总和，称为样本平均Evaluation

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Profi19Y

的均值Copyright

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Ltd.Y

的方差若Y

没有被归一化，即，其它条件同上，则有均值：方差：Evaluation

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wi结th论A:s方p差os只e是.S原l来id的ens倍f!or

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Ltd.问题:在高斯信道中，将固定数据重复发送后，求系统信噪比的变化信噪比的定义为：20结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射两次，接收端将两次接收结果相加，则接收信号信噪比有2倍的提高。为了提高接收端的信噪比，可以将一个数据重复发送并在接收端进行求和，可以提高接收信号的信噪比解答:单发一次时，信号能量

若同样信号发送两次，接收端将两次信号相加，则有此时信号能量为

，噪声方差为接收信号相加之后，噪声的方E差v变al为uat，io信n号o的n幅l度y加.倍，能量则变为21ed原w来i的t4h倍A。spose.Slides

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Profi则信噪比变为C：opyright

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Ltd.22扩展：结论：在加性高斯白噪声通道中，若某发射信号重复发射N次，接收端将N次接收结果相加，则接收信号信噪比有N倍的提高。思考题：的特性，假设发射信号的平均功率为1，需要自己产生高斯噪声2，假设同样信号传输8次，那么产生的高斯噪声的均值与方差是多少？Evaluation

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with假设A你sp在o进s行e通.信S系l统id仿e真s，现f现o在r需要.N仿E真T系统3.信5噪比C为l为i10edBn时t

Profi并加到Co发p射y信r号i上g，h问t

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Ltd.1，假设每个信号只传输一次，那么产生的高斯噪声的均值与方差是多少？问题扩展

同样的信号重复发送两次，两次的幅度可能不同，经过信道叠加噪声之后分别为和比例合并：，接E收v收a端lu对at两io个n接on收l信y.号以一定23ed

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Ltd.讨论：接收端以怎样的比例合并可以使接收信噪比达到最大？问题分析已知：求为了使：假设：1.每次发送时的加性高斯噪声功率不变原始信号功率原始信噪比Evaluation

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Ltd.理论推导接收信号为：25信号平均功率为：Evaluation

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Profi噪声平Co均p功yr率i为gh：t

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Ltd.信噪比为：理论推导对

求导：Evaluation

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Ltd.26理论推导结论：Evaluation

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Ltd.27上述合并方法被称为最大比合并讨论如下信号的合并方法2T28当信号有加性高斯噪声，如何得到最大信噪比的信合并后的信噪比增大了多Evaluatio号n？only.ed

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for.N少E倍T？3.5

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ProfiCTopyright

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Ltd.讨论如下信号的合并方法2T当信号有加性高斯噪声，如何得到最大信噪比的信号？合并后的信噪比增大了多Evaluatio少n倍o？nly.ed

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Profi29CTopyright

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Ltd.讨论如下信号的合并方法这也是匹配滤波的原理30当接收信号有加性高斯噪声时，如果发端信号为Sinc(x)，接收端将信号合并时，也应采用Sinc(x)作Evaluatio为n其o信n号l加y权.的权重ed

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for.N这E就T是3接.收5端最C大li比e合n并t，ProfiCopyright

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Ltd.关于最大比合并中噪声的讨论要保证接收信号的信噪比为某一确定值，在采样率确定情况下，如何在信号采样点上加噪声？Evaluation

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Ltd.3132高斯信号的产生方法应用中心极限定理应用随机信号的函数的方法Evaluation

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Ltd.中心极限定理假设Xi,i=1,2,…n

是统计独立且同分布的随机变量，有限均值mx，有限方差2。x令33定义归一化随机变量(零均值和单位方差)Evaluation

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Profi当n时，Y

的极限分布为高斯分布。Copyright

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Ltd.[0~1]的均匀分布(一次记录)rand();高斯信号产生方法134Evaluation

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Ltd.多次[0~1]的均匀分布的PDF直方图35Evaluation

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Ltd.6次事件相加，高斯分布？36Evaluation

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Ltd.60次事件相加，高斯分布？37Evaluation

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Ltd.随机变量的函数设随机变量X，已知其概率密度函数为p(x)，设有另一个随机变量Y

可以表示成X

的确定函数。求随机变量Y

的pdf函Ev数aluation

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Profi该问题C的op引y申ri：ght

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Ltd.--给定某随机序列并已知其概率密度函数，将该随机序列进行特定变换后得到序列的pdf函数是什么？--给定某随机序列并已知其概率密度函数，现在需要根据该随机序列得到符合某种pdf函数的随机序列，如何进行？例：设随机变量X，概率密度函数给定p(x)，另一个随机变量Y

定义为：x390求Y的pdf函数Evaluation

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wi第t一h

步As：p确os定eY.S的l概id率e分s

布fo函r数.NET

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Ltd.第二步：微分，得到Y的概率密度函数则Evaluation

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w也i可th以A写s成pose.Slides

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Ltd.上述的结果相应的是方程的两个解。40一般情况，如果x1,x2,...,xn

是方程g(x)=y

的实数解(即用y表示的解)，x的概率密度函数为p(x)，则随机变量Y=g(X)的概率密度函数为Evaluation

only.41ed

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Ltd.高斯信号产生方法2产生(0,1)之间的均匀分布序列U（相位） Y（复数）得到参数为σ的瑞利分Eval布uX（a幅t度io）n

only.42ed

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A[0s,p2πo)之se间.的Slides

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3.得5到NC(l0,iσ2e)nt

ProfiC均o匀p分y布rθight

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Aspo的s高e斯分P布ty

Ltd.43仿真中出现的实际问题如何观察噪声的大小实部与虚部叠加的噪声方法仿真经验Evaluation

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Ltd.44利用星座图观察噪声正确的星座图Evaluation

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Ltd.45利用星座图观察噪声错误的星座图1噪声实部大于虚部Evaluation

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Ltd.46利用星座图观察噪声错误的星座图2噪声仅有实部Evaluation

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Ltd.利用星座图观察噪声xnoisy

=

x

+

sigma

*

randn(size(x));Evaluation

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Ltd.47利用星座图观察噪声xnoisy

=

x

+

sigma

*

randn(size(x))

*

(1

+

i);Evaluation

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Ltd.4849利用星座图观察噪声xnoisy_imag

=

imag(x)

+

sigma

*

randn(size(x));正确的加噪声方法是给实部和虚部分别加噪声xnoisy_real

=

real(x)

+

sigma

*

randn(size(x));Evaluation

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ProfixnoisCyo=pyxnroiigshyt_r2e0a0l4+-i2*01x1noAisspy_oismeagP;ty

Ltd.50利用星座图观察噪声正确的星座图Evaluation

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Ltd.不同信噪比下接收信号星座图51Evaluation

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Ltd.52Evaluation

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Aspos随e.机S机li信d信es号for分.N析ET

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Ltd.53关于发射信号频谱特性的讨论关于功率谱密度概率论与随机过程的几个基本定义关于独立随机过程关于自相关函数Evaluation

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•wi关th于As两po个se随.S机li变de量s的fo互r

相.N关ET函3.数5

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Ltd.概率分布函数

(cdf)Evaluation

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wi概th率A密sp度os函e数.Slides

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Ltd.54Evaluation

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Ltd.55多维随机变量联合概率分布函数和概率密度函数离散序列（时间、幅度均离散）：56Evaluation

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Ltd.均值N

阶矩方差几个概率统计函数的定义57Evaluation

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Ltd.N

阶中心矩随机过程是带有参数t的随机变量，t一般是时间。在任一确定时刻，随机过程都是一个随机变量。随机过程可以由它的多维联合概率密度函数来描述。Evaluation

only.ed

wi随t机h

变As量p可os以e表.S示l为i为dXe(st)f,orX(.tN)E可T以3是.5连C续l的ie也n可t

以Profi是离散的。Copyright

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Ltd.随机变量的取样:t1>

t2>

t2>…

tnX

t1

,

X

t2

,…

,

X

t2随机过程58平稳随机过程（严平稳，狭义平稳）如果对于所有的t

和n满足Evaluation

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w即itphdfA函s数po不s随e.时S间l间i改de变s，f统or计.特N性ET不3随.时5

间Cl改i变en。t

Profi否则随C即o过py程r是ig非h平t平稳2稳0的04。-2011

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Ltd.59统计平均随机过程Xt

的两个取样X

ti,i=1,2（两个随机变量）。X

ti,i=1,2的相关函数定义为Xt

的自相关函数对于平稳过程，有关，则有：Evalu是at不io随nt

o变n化ly的.，其值只是与60ed

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2004-2其01中1

A=stp1-ots2

e

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Ltd.自相关函数的性质：偶函数宽平稳随机过程：过程的均值与时间无关，此时只需满足关于平稳随机过程：宽平稳：不随时间变化，即x(t)的均值不随时间变化。狭义平稳：p(x)不随时E间va变l化ua；tion

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Profi自协方差C函o数pyright

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Ltd.对于平稳过程6162自相关函数连续函数自相关函数•意义：函数值v(t)与Ev自a身lu平a移tio后n的o函nl数y值.

v(t

-

)之间的62ed

wi相th似A性spose.Slides

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Profi自相关C系op数y：ri归g一ht化2的0自04相-关2关0函11数Aspose

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Ltd.6363离散序列的自相关函数离散序列的自相关函数表示过程Xt的平均功率意义：序列x(n)与自Ev身a平lu移amt后io的n值oxn(ln-ym.)之间的相似性ed

•wi离th散A序s列po的s自e.相S关li系d数es：f自o相r相关.关N函ET数3的.归5一Cl化ient

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Ltd.64自相关函数的物理意义：

(

)的物理意义在于表征随机变量x(t)在相隔时间间隔情况下其取值的相关性（相似程度）的平均值。问题：2.序列为高斯噪声随机序列，序列的每个取值都不具有相关性，那么其自相关函数是怎样的？Evaluation

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w1i.t某h

时As间p函os数e为.Sf(lti)d=e1s，f-o∞r<t.<N∞E，T

那3.么5其C自li相e关nt函P数r是ofi怎样的？Copyright

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Ltd.65例：随机函数的变化快慢与自相关函数的对应关系设：1.X1(t)较之X2(t)随时间变化慢。2.两随机函数采样时间间隔相同问：如下两个自相关函数的图分别对应X1(t)与X2(t)中的哪一个？X1(t)

X2(t)5

10

5无线系统实际意义：对于随距离变化的信道参数，以相同的时间间隔，不同的移动速度取样Evaluation

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.NEt

T

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Ptrofi

Copyr(

i)ght

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Pt(

y)Ltd.66互相关函数

设实信号为

v(t)

与

w(t)，为考察两函数的相似性，定义互相关函数

为：意义：函数v(t)与E函v数alwu(att)i平o移n

on后l之y.间的相似性。ed

wi相th关A函s数po与s信e.号S幅li度d有es关f!or

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Profi设离散C信op号y为rixg(nh)t和2y0(0n4)，-2定0义11互A相s关po函s数e数Pty

L为t：d.6667随机信号的互相关函数

设x(t),y(t)为随机变量，p(x,y)为其联合概率密度函数则x,y的联合二阶矩为Evaluation

only.67ed

wi联th合A二s阶po矩s给e.出S了li函d数esx,fyo的r相.N似E性T

3.5

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Profi

设m,nC为op离y散ri随g机ht变2量0，04p-(m2,0n1)1为A其s联p联o合se概P率t密y度Lt函d数.，则m,n的联合二阶矩为68联合中心矩：协方差Evaluation

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这wi里tmhx,Amsyp为oxs,ey.的Sl均i值de。s

for

.NET

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Profi联合中C心op矩y给ri出g了ht函2数0x0,4y-与20各1自1均As值p之os差e的P相ty关L性t。d.68协方差(Covariance)几点讨论相关函数：表征两个Ev随a机lu变a量ti值o的n相on似l性y.ed

wit协h方A差sp：o表se征.两Sl个i随de机s变f量o变r

化.N的E相T

似3.性5

Client

Profi相关C系o数py：r协ig方h差t

的20归0一4-化2，01表1征A两sp个o随se机变Pt量y变Ltd.化的相似性（不考虑变量的值）6970互相关系数的求法离散随机变量相关系数的实际求法：70连续随机变量：Evaluation

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Profi离散随机C变o量py：right

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Ltd.tEvaluation

only.tX(t)y(t)互协方差函数的物理意义；两个随机变量相对于其均值变化的相关性ed

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Ltd.互相关函数的物理意义；两个随机变量取值的相关性关于独立与相关的讨论相互独立(Statistically

independent)：概率密度函数没有相互关系不相关独立相关函数(Correlation

function)：Evaluation

only.ed•wi不t相h关(AUsncpororesleat.edS)：li乘d积e的s均值fo等r于均.值N的E乘T积3.5

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Ltd.两信号独立则一定是不相关的，但不相关不能保证独立正交(Orthogonality)72正交(Orthogonality)不相关(Uncorrelated)关函数只和有关，否则和t与 均有关。，Evaluation

only.73ed

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Profi结论C：op如yr果i随gh机t

过20程04是-平20稳11的A，sp那os么e他P们ty的L相td.74例子考虑股票涨跌股票A均值为100；股Ev票aBl均ua值ti为o1n0；only.ed

涨wi跌th情A况sp完o全se不.S同li，d统es计f独or立.，NE其T协3.方5差Cl为i0e，nt

Profi根据公式Co得p到yr相ig关ht系2数00（4均-2值01的1乘As积p）os=e10P0t0y；Ltd.结论：两个随机量的变化相关性不能使用相关函数，而应使用协方差函数（将均值去掉）或相关系数。仿真问题：

给出一个随机序列x=(a1,a2,…ak,…)，仿真如何求出该随机变量的均值，方差序列的自相关函数Evaluation

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wit•h自A相sp关o系se数.Slides

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Profi给出两Co个py随r机ig序ht列2x0=0(a41-,2a021,1…Aaskp,…os)e，Pty

Ltd.y=(b1,b2,…bk,…)，仿真如何求出该随机变量的互相关函数互协方差函数互相关系数复随机过程自相关函数Evaluation

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Ltd.76注意：随机变量共轭对于两个复随机过程and自相关函数Evaluation

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Ltd.77注意：随机变量共轭例设信号序列

Sk

满足递推式,

其中

，为噪声，噪声和信号相互独立。未加噪声时信号方差为1，求加噪声后信号序列的自相关函

，

。解：如何产生一个带有一定自相关系数的随机变量Evaluation

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