又称随机服务系统理论课件

Chapter14.

QueuingModels第十四章.排队模型运筹学排队模型现实生活中的排队模型BankAirportHospitalRoadManufacturingHotelRestaurantWC……运筹学排队模型排队模型存在的问题如何以最经济的方式控制排队系统，使其达到特定的要求？提供过多的服务能力来控制排队系统将会造成过量的成本提供的服务能力不足将会导致过多的等待，降低顾客满意度并造成顾客流失，减少收益什么是排队论什么是排队论?什么是排队论排队论是研究排队系统的理论，又称随机服务系统理论，它提供了很多不同的排队模型，通过这些排队模型能够找到服务成本和服务水ABasicQueuingSystem排队系统的描述涉及的要素顾客队列服务台到达间隔时间服务时间排队规则运筹学排队模型排队系统的描述绩效测度等待顾客数顾客等待时间服务台忙期服务台闲期服务台利用率运筹学排队模型TableofContents(主要内容)ElementsofaQueuingModel(Section14.1)(排队模型的要素)SomeExamplesofQueuingSystems(Section14.2)(排队系统的一些实例)MeasuresofPerformanceforQueuingSystems(Section14.3)(排队系统的绩效测度)TableofContents(主要内容)ACaseStudy:TheDupitCorp.Problem(Section14.4)(案例研究：杜皮特公司问题)SomeSingle-ServerQueuingModels(Section14.5)(一些单服务台排队模型)SomeMultiple-ServerQueuingModels(Section14.6)(一些多服务排队模型)TableofContents(主要内容)PriorityQueuingModels(Section14.7)(有优先权的排队模型)SomeInsightsaboutDesigningQueuingSystems(Section14.8)(关于设计排队系统的一些启示)EconomicAnalysisoftheNumberofServerstoProvide(Section14.9)(服务台数量的经济分析)HerrCutter’sBarberShopHerrCutterisaGermanbarberwhorunsaone-manbarbershop.(赫尔卡特先生是一个德国理发师，开了一家单人理发店)HerrCutteropenshisshopat8:00A.M.(赫尔卡特每天早上8点开始工作)Thetableshowshisqueuingsysteminactionoveratypicalmorning.(下表显示了一个典型的上午排队系统情况)HerrCutter’sBarberShopArrivals(到达)Thetimebetweenconsecutivearrivalstoaqueuingsystemarecalledtheinterarrivaltimes.(连续两个顾客到达排队系统的时间间隔称为到达间隔时间)Theexpectednumberofarrivalsperunittimeisreferredtoasthemeanarrivalrate.(单位时间到达的期望数量称为平均到达率)Arrivals(到达)Thesymbolusedforthemeanarrivalrateis(平均到达率的符号如下)Themeanoftheprobabilitydistributionofinterarrivaltimesis(间隔时间的概率分布均值是)Arrivals(到达)Mostqueuingmodelsassumethattheformoftheprobabilitydistributionofinterarrivaltimesisanexponentialdistribution.(大多数排队模型假设到达间隔时间的概率分布形式是指数分布)EvolutionoftheNumberofCustomersTheExponentialDistributionforInterarrivalTimesThereisahighlikelihoodofsmallinterarrivaltimes,butasmallchanceofaverylargeinterarrivaltime.Thisischaracteristicofinterarrivaltimesinpractice.(小间隔时间出现的可能性很大，而大间隔时间出现的机会则很小，这个间隔时间的特征能在实践中观察到)PropertiesoftheExponentialDistribution指数分布到达间隔时间服从指数分布则到达过程服从泊松分布泊松分布Formostqueuingsystems,theservershavenocontroloverwhencustomerswillarrive.Customersgenerallyarriverandomly.(对于大多数排队系统，服务台无法控制顾客何时到达，顾客的到达一般是随机的)PropertiesoftheExponentialDistributionHavingrandomarrivalsmeansthatinterarrivaltimesarecompletelyunpredictable,inthesensethatthechanceofanarrivalinthenextminuteisalwaysjustthesame.(随机到达意味着到达时间完全是不可预测的，下一分钟有顾客到达的概率和其他分钟相同)PropertiesoftheExponentialDistributionTheonlyprobabilitydistributionwiththispropertyofrandomarrivalsistheexponentialdistribution.(唯一符合随机到达的到达间隔时间分布是指数分布)Thefactthattheprobabilityofanarrivalinthenextminuteiscompletelyuninfluencedbywhenthelastarrivaloccurrediscalledthelack-of-memoryproperty.(下一分钟到达的概率完全不受上一次到达的影响的事实称为无记忆性)PropertiesoftheExponentialDistributionThenumberofcustomersinthequeue(orqueuesize)isthenumberofcustomerswaitingforservicetobegin.(队列中的顾客数也称队列大小或队列长度，是等候服务的顾客数量)Thenumberofcustomersinthesystemisthenumberinthequeueplusthenumbercurrentlybeingserved.(系统中的顾客数是队列中的顾客数加上正在接受服务的顾客数量)TheQueue(队列)Thequeuecapacityisthemaximumnumberofcustomersthatcanbeheldinthequeue.(队列容量是队列所能容纳的最大顾客数量)Aninfinitequeueisoneinwhich,forallpracticalpurposes,anunlimitednumberofcustomerscanbeheldthere.(无限队列是为了应用方便，可以容纳无限顾客数量的队列)TheQueue(队列)Whenthecapacityissmallenoughthatitneedstobetakenintoaccount,thenthequeueiscalledafinitequeue.(当容量很小，需要将其考虑在内时，这个队列就称为有限队列)TheQueue(队列)Thequeuediscipline

referstotheorderinwhichmembersofthequeueareselectedtobeginservice.(排队规则指选择队列中的成员接受服务的顺序)Themostcommonisfirst-come,first-served(FCFS).(最普通的排队规则是先到先服务)Otherpossibilitiesincluderandomselection,somepriorityprocedure,orevenlast-come,first-served.(其他的可能规则包括随机选择、有优先权的服务甚至后到先服务)TheQueue(队列)Whenacustomerentersservice,theelapsedtimefromthebeginningtotheendoftheserviceisreferredtoastheservicetime.(当一个顾客接受服务时，从服务开始到服务结束经过的时间称为服务时间)Basicqueuingmodelsassumethattheservicetimehasaparticularprobabilitydistribution.(基本的排队模型假设服务时间是一个特定的概率分布)Service(服务)Thesymbolusedforthemeanoftheservicetimedistributionis(用于表示服务时间分布均值的符号是)Service(服务)Theinterpretationofitselfisthemeanservicerate.(就是平均服务率) =Expectedservicecompletionsperunittimeforasinglebusyserver(一个连续工作的服务台单位时间完成的服务量的期望值)SomeService-TimeDistributionsExponentialDistribution(指数分布)Themostpopularchoice.(最常用的分布形式)Mucheasiertoanalyzethananyother.(比其它分布更容易分析)Althoughitprovidesagoodfitforinterarrivaltimes,thisismuchlesstrueforservicetimes.(尽管指数分布很适合描述到达间隔时间，但是却不太符合服务时间的特点)SomeService-TimeDistributionsProvidesabetterfitwhentheserviceprovidedisrandomthanifitinvolvesafixedsetoftasks.(服务是随机时，指数分布比较适合；服务包含一系列固定任务时，指数分布不太适合)Standarddeviation:s=Mean(标准差等于均值)ConstantServiceTimes(固定服务时间)Abetterfitforsystemsthatinvolveafixedsetoftasks.(更适合于包含一系列固定任务的系统)Standarddeviation(标准差):s=0.SomeService-TimeDistributionsErlangDistribution(爱尔朗分布)Fillsthemiddlegroundbetweentheexponentialdistributionandconstant.(服务时间的波动量介于指数分布和常量之间)Hasashapeparameter,kthatdeterminesthestandarddeviation.(有一个形状参数k决定其标准差)爱尔郎分布ErlangDistribution(爱尔朗分布)StandardDeviationandMeanforDistributionsLabelsforQueuingModelsToidentifywhichprobabilitydistributionisbeingassumedforservicetimes(andforinterarrivaltimes),aqueuingmodelconventionallyislabeledasfollows:(为了表示服务时间[以及到达间隔时间]服从什么概率分布，基本排队系统的排队模型通常用如下的符号表示)LabelsforQueuingModelsThesymbolsusedforthepossibledistributionsare(用于表示可能的分布的符号是)M=Exponentialdistribution(Markovian)指数分布(马尔科夫)D=Degeneratedistribution(constanttimes)退化分布(固定时间)运筹学排队模型LabelsforQueuingModelsEk=Erlangdistribution(shapeparameter=k)(爱尔朗分布[形态参数=k])GI=Generalindependentinterarrival-timedistribution(anydistribution)(独立的到达间隔时间的一般分布[允许任意类型的分布])G=Generalservice-timedistribution(anyarbitrarydistribution)(服务时间的一般分布[允许任意类型的分布])SummaryofUsualModelAssumptionsInterarrivaltimesareindependentandidenticallydistributedaccordingtoaspecifiedprobabilitydistribution.(到达间隔时间独立同分布)Allarrivingcustomersenterthequeuingsystemandremainthereuntilservicehasbeencompleted.(所有到达的顾客都进入排队系统，并待在那里直到服务结束)SummaryofUsualModelAssumptionsThequeuingsystemhasasingleinfinitequeue,sothatthequeuewillholdanunlimitednumberofcustomers(forallpracticalpurposes).(排队系统有一个无限队列，因此队列将可以容纳无限量的顾客[出于应用的原因])Thequeuedisciplineisfirst-come,first-served.(排队规则是先到先服务)SummaryofUsualModelAssumptionsThequeuingsystemhasaspecifiednumberofservers,whereeachserveriscapableofservinganyofthecustomers.(排队系统拥有特定数量的服务台，每一个服务台能够为任意一位顾客提供服务)SummaryofUsualModelAssumptionsEachcustomerisservedindividuallybyanyoneoftheservers.(每一位顾客由一个服务台单独提供服务)Servicetimesareindependentandidenticallydistributedaccordingtoaspecifiedprobabilitydistribution.(服务时间是独立的，服从特定的概率分布)ExamplesofCommercialServiceSystemsthatAreQueuingSystemsExamplesofInternalServiceSystemsThatAreQueuingSystemsExamplesofTransportationServiceSystemsThatAreQueuingSystemsChoosingaMeasureofPerformanceManagerswhooverseequeuingsystemsaremainlyconcernedwithtwomeasuresofperformance:(检查排队系统的管理人员主要考虑两种绩效测度)Howmanycustomerstypicallyarewaitinginthequeuingsystem?(排队系统中有多少顾客在等待)Howlongdothesecustomerstypicallyhavetowait?(这些顾客要等待多少时间)ChoosingaMeasureofPerformanceWhencustomersareinternaltotheorganization,thefirstmeasuretendstobemoreimportant.(当顾客是提供服务的组织[内部服务系统]的内部顾客时，第一个测度比较重要)Havingsuchcustomerswaitcauseslostproductivity.(让内部服务系统的顾客等待会导致损失生产力)ChoosingaMeasureofPerformanceCommercialservicesystemstendtoplacegreaterimportanceonthesecondmeasure.(商业服务系统[外部顾客接受商业组织的服务]会认为第二个测度更加重要)Outsidecustomersaretypicallymoreconcernedwithhowlongtheyhavetowaitthanwithhowmanycustomersarethere.(比起已经有多少顾客在等待，顾客更关心他们会等待多久)DefiningtheMeasuresofPerformanceL=Expectednumberofcustomersinthesystem,includingthosebeingserved(thesymbolLcomesfromLineLength).DefiningtheMeasuresofPerformanceLq=Expectednumberofcustomersinthequeue,whichexcludescustomersbeingserved.DefiningtheMeasuresofPerformanceW=Expectedwaitingtimeinthesystem(includingservicetime)foranindividualcustomer(thesymbolWcomesfromWaitingtime).DefiningtheMeasuresofPerformanceWq=Expectedwaitingtimeinthequeue(excludesservicetime)foranindividualcustomer.DefiningtheMeasuresofPerformanceThesedefinitionsassumethatthequeuingsystemisinasteady-statecondition.(这些定义假设排队系统处于平稳条件中)运筹学排队模型RelationshipbetweenL,W,LqandWq并且知其一即知其四UsingProbabilitiesasMeasuresofPerformanceInadditiontoknowingwhathappensontheaverage,wemayalsobeinterestedinworst-casescenarios.(除了知道系统性能指标的各种平均值之外，我们还可能对最坏情况感兴趣)Whatwillbethemaximumnumberofcustomersinthesystem?(Exceedednomorethan,say,5%ofthetime.)(在95%的时间里，系统的最大顾客数不会超过某个值?)UsingProbabilitiesasMeasuresofPerformanceWhatwillbethemaximumwaitingtimeofcustomersinthesystem?(Exceedednomorethan,say,5%ofthetime.)(在95%的时间里，系统的顾客最大等待时间不会超过某个值?)Statisticsthatarehelpfultoanswerthesetypesofquestionsareavailableforsomequeuingsystems(统计手段在回答这类问题时非常有用，因此它也可用于一些排队系统中):UsingProbabilitiesasMeasuresofPerformancePn=Steady-stateprobabilityofhavingexactlyncustomersinthesystem.(在系统中有n个顾客的平稳概率)P(W≤t)=Probabilitythetimespentinthesystemwillbenomorethant.(在系统中的时间消耗不超过t的概率)P(Wq≤t)=Probabilitythewaittimewillbenomorethant.(等待时间不超过t的概率)UsingProbabilitiesasMeasuresofPerformanceExamplesofcommongoals(常用目标的一些例子):Nomorethanthreecustomers95%ofthetime:P0+P1+P2+P3≥0.95(在95%的时间里系统中的顾客数不超过3个)Nomorethan5%ofcustomerswaitmorethan2hours:P(W≤2hours)≥0.95(等待时间超过2小时的顾客数不超过总顾客数的5%)TheDupitCorp.ProblemTheDupitCorporationisalongtimeleaderintheofficephotocopiermarketplace.Dupit’sservicedivisionisresponsibleforprovidingsupporttothecustomersbypromptlyrepairingthemachineswhenneeded.Thisisdonebythecompany’sservicetechnicalrepresentatives,ortechreps.TheDupitCorp.Problem杜皮特公司在办公复印机市场上长期处于领导地位杜皮特公司的服务部门负责为公司的顾客提供高质量的服务支持，在需要的时候维修公司的设备。这项工作由公司的技术服务代表完成TheDupitCorp.ProblemCurrentpolicy:Eachtechrep’sterritoryisassignedenoughmachinessothatthetechrepwillbeactiverepairingmachines(ortravelingtothesite)75%ofthetime.Arepaircallaverages2hours,sothiscorrespondsto3repaircallsperday.Machinesaverage50workdaysbetweenrepairs,soassign150machinesperrep.TheDupitCorp.Problem目前的政策：每一位技术服务代表的地域应当有足够多的机器设备，使得技术服务代表在75%的时间里都处于维修工作状态(或在前往维修地点的路上)每台设备的平均维修时间是2小时，一天平均要接到3个维修电话机器平均50个工作日需要维修一次，因此为每位技术服务代表分配150台机器目前存在的问题刚买了一款新式彩色打印-复印机，现在出了问题，等了这么久还没有人来维修，服务水平太差了，我要投诉！！TheDupitCorp.ProblemProposedNewServiceStandard:Theaveragewaitingtimebeforeatechrepbeginsthetriptothecustomersiteshouldnotexceedtwohours.(建议的新服务标准：在技术服务代表开始前往顾客所在地修理设备之前，顾客的平均等待时间不应超过两个小时)AlternativeApproachestotheProblemApproachSuggestedbyJohnPhixitt:Modifythecurrentpolicybydecreasingthepercentageoftimethattechrepsareexpectedtoberepairingmachines.(约翰建议的做法：修改目前的政策，降低期望技术服务代表进行维修工作的时间百分比。减少分配数量，增加服务代表)AlternativeApproachestotheProblemApproachSuggestedbytheVicePresidentforEngineering:Providenewequipmenttotechrepsthatwouldreducethetimerequiredforrepairs.(工程副总裁建议的做法：为技术服务代表提供新的装备，以减少设备修理时间)AlternativeApproachestotheProblemApproachSuggestedbytheChiefFinancialOfficer:Replacethecurrentone-persontechrepterritoriesbylargerterritoriesservedbymultipletechreps.(首席财务总监建议的做法：将现在的单个技术服务代表负责区域转变为较大的区域，由多个技术服务代表提供服务)AlternativeApproachestotheProblemApproachSuggestedbytheVicePresidentforMarketing:Giveownersofthenewprinter-copierpriorityforreceivingrepairsoverthecompany’sothercustomers.(营销副总裁建议的做法：授予这种新的打印-复印机的所有者比公司的其他顾客优先接受维修服务的权利)TheQueuingSystemforEachTechRepThecustomers:Themachinesneedingrepair.(顾客：需要修理的设备)Customerarrivals:Thecallstothetechreprequestingrepairs.(顾客到达：打给每一个技术服务代表要求修理的电话)Thequeue:Themachineswaitingforrepairtobeginattheirsites.(队列：顾客所在地等待修理的所有设备)Theserver:Thetechrep.(服务者：技术服务代表)TheQueuingSystemforEachTechRepServicetime:Thetotaltimethetechrepistiedupwithamachine,eithertravelingtothemachinesiteorrepairingthemachine.(Thus,amachineisviewedasleavingthequeueandenteringservicewhenthetechrepbeginsthetriptothemachinesite.)TheQueuingSystemforEachTechRep服务时间：技术服务代表花在一台设备上的总时间，包括到待修设备所在地的行进时间和维修时间(因此当技术服务代表开始前往设备所在地时，这台设备就可以视作已经离开队列进入服务系统了)NotationforSingle-ServerQueuingModelsNotationforSingle-ServerQueuingModels运筹学排队模型TheM/M/1ModelAssumptions(假设)Interarrivaltimeshaveanexponentialdistributionwithameanof.(到达间隔时间服从均值为的指数分布)Servicetimeshaveanexponentialdistributionwithameanof1/m.(服务时间服从均值为1/m的指数分布)Thequeuingsystemhasoneserver.(排队系统有一个服务台)TheM/M/1Model运筹学排队模型TheM/M/1Model运筹学排队模型TheM/M/1ModelThe

probabilityofhavingexactlyncustomersinthesystemis(系统中刚好有n个顾客的概率为)Theprobabilitythatthewaitingtimeinthesystemexceedstis(在系统中的等待时间超过t的概率是)TheM/M/1ModelTheprobabilitythatthewaitingtimeinthequeueexceedstis(在队列中的等待时间超过t的概率是)运筹学排队模型M/M/1QueuingModelfortheDupit’sCurrentPolicyJohnPhixitt’sApproach(ReduceMachines/Rep)Theproposednewservicestandardisthattheaveragewaitingtimebeforeservicebeginsbetwohours(i.e.,Wq

≤1/4day).(建议的新服务标准是将每一个服务开始前的平均等待时间降为2小时)JohnPhixitt’sApproach(ReduceMachines/Rep)JohnPhixitt’ssuggestedapproachistolowerthetechrep’sutilizationfactorsufficientlytomeetthenewservicerequirement.(约翰建议的方法是降低技术服务代表的有效因子以适应新的服务要求)JohnPhixitt’sApproach(ReduceMachines/Rep)运筹学排队模型M/M/1ModelforJohnPhixitt’sSuggestedApproach(ReduceMachines/Rep)方案1的结果指定给每一位技术服务代表的设备数从150下降到100现有的技术服务代表人数10000人，工资约6亿美元/年公司大约要增加5000位技术服务代表，增加的费用大约为3亿美元/年TheM/G/1ModelAssumptions(假设)：Interarrivaltimeshaveanexponentialdistributionwithameanof1/l.(到达间隔时间服从均值为1/l的指数分布)Servicetimescanhaveanyprobabilitydistribution.Youonlyneedthemean(1/m)andstandarddeviation(s).(服务时间可以为任何概率分布，仅需要知道均值和标准差)Thequeuingsystemhasoneserver.(排队系统有一个服务台)Theprobabilityofzerocustomersinthesystemis(系统中没有顾客的概率是)Theexpectednumberofcustomersinthequeueis(队列中的顾客期望数是)TheM/G/1ModelTheM/G/1ModelTheexpectednumberofcustomersinthesystemis(系统中的顾客期望数是)Theexpectedwaitingtimeinthequeueis(队列中的期望等待时间是)Theexpectedwaitingtimeinthesystemis(在系统中的期望等待时间是)TheM/G/1Model运筹学排队模型运筹学排队模型VPforEngineeringApproach(NewEquipment)Theproposednewservicestandardisthattheaveragewaitingtimebeforeservicebeginsbetwohours(i.e.,Wq

≤1/4day).(建议的新服务标准是将每一个服务开始前的平均等待时间降为2小时)VPforEngineeringApproach(NewEquipment)TheVicePresidentforEngineeringhassuggestedprovidingtechrepswithnewstate-of-the-artequipmentthatwouldreducethetimerequiredforthelongerrepairs.(工程副总裁建议为技术服务代表提供新式的设备以大大降低需要较长时间的修理工作)VPforEngineeringApproach(NewEquipment)Aftergatheringmoreinformation,theyestimatethenewequipmentwouldhavethefollowingeffectontheservice-timedistribution:(收集了更多的信息之后，他们估计新设备对服务时间分布将产生如下影响)Decreasethemeanfrom1/4dayto1/5day.(均值减少)Decreasethestandarddeviationfrom1/4dayto1/10day.(标准差减少)M/G/1ModelfortheVPofEngineeringApproach(NewEquipment)方案2的结果：可以满足要求，增加的费用大约5亿美元(一次性投入)TheM/M/sModelAssumptions(假设)：Interarrivaltimeshaveanexponentialdistributionwithameanof1/l.(到达间隔时间服从均值为的指数分布)Servicetimeshaveanexponentialdistributionwithameanof1/m.(服务时间服从均值为的指数分布)Anynumberofservers(denotedbys).(任意数量的服务台，用s表示)Withmultipleservers,theformulafortheutilizationfactorbecomes(对于多服务台系统，有效性因子的公式变为)TheM/M/sModelbutstillrepresentsthataveragefractionoftimethatindividualserversarebusy.(仍然代表服务台处于繁忙状态下的时间比例)ValuesofLfortheM/M/sModelforVariousValuesofsCFOSuggestedApproach(CombineIntoTeams)Theproposednewservicestandardisthattheaveragewaitingtimebeforeservicebeginsbetwohours(i.e.,Wq

≤1/4day).(建议的新服务标准是将每一个服务开始前的平均等待时间降为2小时)CFOSuggestedApproach(CombineIntoTeams)TheChiefFinancialOfficerhassuggestedcombiningthecurrentone-persontechrepterritoriesintolargerterritoriesthatwouldbeservedjointlybymultipletechreps.(首席财务官建议将目前的单人技术服务代表区域合并为一些较大的区域，由多位技术服务代表一起提供服务)CFOSuggestedApproach(CombineIntoTeams)M/M/sModelfortheCFO’sSuggestedApproach(CombineIntoTeamsofTwo)CFOSuggestedApproach(TeamsofThree)M/M/sModelfortheCFO’sSuggestedApproach(CombineIntoTeamsofThree)ComparisonofWqwithTerritoriesofDifferentSizes方案3的结果如果将三个连续的单人技术服务代表区域合并为一个大区域，由三个相同的技术服务代表提供服务，能够满足要求没有直接增加额外更多的成本缺点增加技术代表前往设备所在地的时间团队作业的协调困难个性化服务减弱个体自豪感下降团队成员的摩擦问题ValuesofLfortheM/D/sModelforVariousValuesofsValuesofLfortheM/Ek/2ModelforVariousValuesofkPriorityQueuingModelsGeneralAssumptions:Therearetwoormorecategoriesofcustomers.Eachcategoryisassignedtoapriorityclass.Customersinpriorityclass1aregivenpriorityovercustomersinpriorityclass2.Priorityclass2haspriorityoverpriorityclass3,etc.PriorityQueuingModels一般假设：有两类或更多类的顾客。每一类都具有一个优先级。优先级1的顾客将比优先级2的顾客优先接受服务。如果优先级多于两个，优先级2的顾客将具有优先于优先级3的顾客的权利PriorityQueuingModelsGeneralAssumptions(一般假设):Afterdeferringtohigherprioritycustomers,thecustomerswithineachpriorityclassareservedonafirst-come-fist-servedbasis.(除了在较高优先级的顾客后面接受服务外，同一优先级内的顾客服从先到先服务的规则)PriorityQueuingModelsTwotypesofprioritiesNonpreemptivepriorities:Onceaserverhasbegunservingacustomer,theservicemustbecompleted(evenifahigherprioritycustomerarrives).However,onceserviceiscompleted,prioritiesareappliedtoselectthenextonetobeginservice.PriorityQueuingModels两类优先权无强制的优先规则：当一个服务台开始为一个顾客服务时，服务必须在不被打断的条件下完成，即使在服务过程中有更高优先级的顾客到来。然而，这个服务一完成，如果队列中有顾客，将根据优先权从中选出一个顾客进行服务。被选中的顾客是在具有最高优先级的顾客中等待时间最长的一个PriorityQueuingModelsTwotypesofprioritiesPreemptivepriorities:Thelowestprioritycustomerbeingservedispreempted(ejectedbackintothequeue)wheneverahigherprioritycustomerentersthequeuingsystem.PriorityQueuingModels两类优先权强制优先规则：当一个具有更高优先权的顾客进入排队系统时，正在接受服务的最低优先级的顾客被挤出(退回到队列中)。当一个服务台成功完成了一个服务工作后，下一个开始接受服务的顾客将以上面无强制优先规则描述的相同规则选出PreemptivePrioritiesQueuingModelAdditionalAssumptions(附加假设)：Preemptiveprioritiesareusedaspreviouslydescribed.(强制优先级如上所述)Forpriorityclassi(i=1,2,…,n),theinterarrivaltimesofthecustomersinthatclasshaveanexponentialdistributionwithameanof1/li.(对于优先级i，这个优先级顾客的到达间隔时间服从均值为的指数分布)PreemptivePrioritiesQueuingModelAdditionalAssumptions(附加假设)：Allservicetimeshaveanexponentialdistributionwithameanof1/m,regardlessofthepriorityclassinvolved.(不管优先级是多少，所有服务时间服从均值为的指数分布)Thequeuingsystemhasasingleserver.(排队系统有一个服务台)PreemptivePrioritiesQueuingModelTheutilizationfactorfortheserveris(服务台的有效因子是)运筹学排队模型NonpreemptivePrioritiesQueuingModelAdditionalAssumptions(附加假设)：Nonpreemptiveprioritiesareusedaspreviouslydescribed.(无强制优先级如上所述)Forpriorityclassi(i=1,2,…,n),theinterarrivaltimesofthecustomersinthatclasshaveanexponentialdistributionwithameanof1/li.(对于优先级i，这个优先级顾客的到达间隔时间服从均值为的指数分布)NonpreemptivePrioritiesQueuingModelAdditionalAssumptions(附加假设)：Allservicetimeshaveanexponentialdistributionwithameanof1/m,regardlessofthepriorityclassinvolved.(不管优先级是多少，所有服务时间服从均值为的指数分布)Thequeuingsystemcanhaveanynumberofservers.(排队系统可以有任意数量的服务台)NonpreemptivePrioritiesQueuingModelTheutilizationfactorfortheserversis(服务台的有效因子为)：运筹学排队模型VPofMarketingApproach(PriorityforNewCopiers)Theproposednewservicestandardisthattheaveragewaitingtimebeforeservicebeginsbetwohours(i.e.,Wq

≤1/4day).TheVicePresidentofMarketinghasproposedgivingtheprinter-copierspriorityoverothermachinesforreceivingservice.Therationaleforthisproposalisthattheprinter-copierperformssomanyvitalfunctionsthatitsownerscannottoleratebeingwithoutitaslongasothermachines.VPofMarketingApproach(PriorityforNewCopiers)建议的新服务标准是将每一个服务开始前的平均等待时间降为2小时营销副总裁建议给打印-复印机高于其他设备的接受服务的优先权。理由是打印-复印机有很多的关键功能，如果这台设备的停机等待维修时间与其他设备一样长，其拥有者是无法忍受的VPofMarketingApproach(PriorityforNewCopiers)Themeanarrivalratesforthetwoclassesofcopiersare(这两类复印机的平均到达率分别是)：Theproportionofprinter-copiersisexpectedtoincrease,soinacoupleyears(据估计在几年里这种打印-复印机的比例会增加，于是)NonpreemptivePrioritiesModelforVPofMarketing’sApproach(CurrentArrivalRates)NonpreemptivePrioritiesModelforVPofMarketing’sApproach(FutureArrivalRates)ExpectedWaitingTimeswithNonpreemptivePriorities方案4的结果可以满足目前的要求将优先权和多服务台单队列相结合可以满足将来的要求无需增加更多额外费用缺点降低没有优先权的顾客的服务水平和多服务台单队列模型相同的其它缺点TheFourApproachesUnderConsiderationsTheFourApproachesUnderConsiderationsDecision:Adoptfourthproposal(exceptforsparselypopulatedareaswheresecondproposalshouldbeadopted).(决策：采用第四个方案[对于人口分散的区域则采用第二个方案])SomeInsightsAboutDesigningQueuingSystemsWhendesigningasingle-serverqueuingsystem,bewarethatgivingarelativelyhighutilizationfactor(workload)totheserverprovidessurprisinglypoorperformanceforthesystem.(当设计一个单服务台排队系统时，注意相对较高的服务台有效因子[工作强度]将使得系统的绩效测度令人吃惊地低下)SomeInsightsAboutDesigningQueuingSystemsDecreasingthevariabilityofservicetimes(withoutanychangeinthemean)improvestheperformanceofaqueuingsystemsubstantially.(降低服务时间的波动[不改变均值]可以大