时间序列分析(2)

第三章波动性模型一、经济时间序列的典型事实1.Mostoftheseriescontainacleartrend;2.Shockstoaseriescandisplayahighdegreeofpersistence;3.Thevolatilityofmanyseriesisnotconstantovertime;4.Someseriesseemtomeander;5.Someseriesshareco-movementswithotherseries.二、ARCH模型1、预备知识（1）条件均值和无条件均值对于平稳ARMA过程，如yt=a0+a1yt-1+εt，若要预测未来t+1时刻的序列值yt+1，如果我们没有任何已知信息，则只能以该序列的无条件均值作为其预测值，即有：

Eyt+1=a0+a1Eyt

Eyt+1=a0/(1-a1)

这一均值也就是序列{yt}的无条件均值。如果在时刻t我们已掌握了序列{yt}现在和过去的实际值，则就可以在已有信息的基础上对未来进行预测，有：

Etyt+1=E(yt+1|yt,yt-1,…)=a0+a1yt

这一均值就是在给定yt,yt-1,…的条件下yt+1的均值，即条件均值。二、ARCH模型（2）条件方差和无条件方差无条件均值预测的误差为[yt+1-a0/(1-a1)]，其方差称为无条件方差，有：

E[yt+1-a0/(1-a1)]2=E(εt+a1εt-1+a12εt-2+…)2=σ2/(1-a12)条件均值预测的误差为[yt+1-(a0+a1yt)]，其方差称为条件方差，有：

Et[yt+1-(a0+a1yt)]2=Et(εt+1)2=σ2由于|a1|<1，所以条件方差小于无条件方差，条件均值预测优于无条件均值预测。二、ARCH模型2、经济和金融时间序列中的异方差现象①观测变量序列的（条件）方差随某个变量值的变化而变化；②观测变量序列的大方差经常成串出现，小方差也经常成串出现，即观测变量序列往往具有一段段的剧烈波动时期，也有一段段的相对平静时期。二、ARCH模型3、计量经济学中处理异方差的方法假设被解释变量的（条件）方差随变量xt的变化而变化，为了简化，仅考虑被解释变量的方差，则可设定（条件）方差模型为：

yt+1=εt+1xt

从而有：Var(yt+1|xt)=xt2σ2

可见，yt+1的条件方差依赖于xt的实现值。若xt2大，则yt+1的条件方差也大；若xt2小，则yt+1的条件方差也小。若若xt序列相关，则yt+1的条件方差也序列相关。一般地，可将方差模型设定为：

yt+1=εt+1=Avt+1xtb

取对数即进行对数变换，可得同方差模型：

ln(yt)=a0+a1ln(xt-1)+et

其中Var(et)=constant，已为同方差模型。困难：如何选择解释变量xt?二、ARCH模型4、自回归条件异方差模型对于平稳ARMA过程，如yt=a0+a1yt-1+εt，通常均假设{εt}为白噪声过程，其方差为常数σ2。即有：

Var(yt+1|yt)=Et[(yt+1-a0-a1yt)2]=Et(εt+12)=σ2如果{εt}的条件方差不是常数，则其随机误差εt的平方也可用AR(q)模型来描述，有：

εt2=α0+α1εt-12+α2εt-22+…+αqεt-q2+νt

为了用极大似然方法同时估计序列{yt}的ARMA模型和其条件方差AR(q)模型，恩格尔(Engle,1982)将条件方差模型设计成乘积形式：

εt=vt(ht)1/2=vt(α0+α1εt-12+α2εt-22+…+αqεt-q2)1/2

其中vt为白噪声过程，σv2=1，且νt与εt-1相互独立。

称为q阶条件异方差模型，记为ARCH(q)。二、ARCH模型5、ARCH模型的性质——以ARCH(1)为例(1)序列{εt}的性质①εt的条件期望和无条件期望均为0，即：

Eεt=Evt(α0+α1εt-12)1/2=EvtE(α0+α1εt-12)1/2=0②εt的所有自协方差全为0，即：

Eεtεt-i=Evt(α0+α1εt-12)1/2vt-i(α0+α1εt-i-12)1/2=0③εt的无条件方差为常数，即：

Eεt2=Evt2(α0+α1εt-12)=Evt2E(α0+α1εt-12)=α0/(1-α1)④εt的条件方差非常数，即：

Et-1εt2=Et-1vt2(α0+α1εt-12)=Et-1vt2E(α0+α1εt-12)=α0+α1εt-12为了保证方差为正，要求α0>0，0<α1<1.二、ARCH模型5、ARCH模型的性质——以ARCH(1)为例(2)序列{yt}的性质①条件期望：Et-1yt=Et-1(a0+a1yt-1+εt)=a0+a1yt-1②无条件期望：Eyt=E(a0+a1yt-1+εt)=a0/(1-a1)③条件方差：

Var(yt|yt-1,…)=Et-1[yt-(a0+a1yt-1)]2=Et-1εt2=Et-1vt2(α0+α1εt-12)=α0+α1εt-12④无条件方差：

Var(yt)=E[yt-a0/(1-a1)]2=E(εt+a1εt-1+a12εt-2+…)2=[1/(1-a12)][α0/(1-α1)]二、ARCH模型5、ARCH模型的性质——以ARCH(1)为例(3)ARCH模型如何显示波动聚集成串的特性？由于条件方差本身也是自回归过程：

Et-1εt2=Et-1vt2(α0+α1εt-12)=α0+α1εt-12

其中α1>0，如果前一误差εt-1较大，则α1εt-12也较大，εt的方差也就较大。如果前一误差εt-1较小，则α1εt-12也较小，εt的方差也就较小。从而就有大的波动紧跟着大的波动，小的波动紧跟着小的波动的特征。Thus,theARCHmodelisabletocaptureperiodsoftranquilityandvolatilityinthe{yt}series.二、ARCH模型6、GARCH模型(1)GARCH模型的形式及其性质

Bollerslev(1986)将Engle的ARCH模型一般化，扩展成ARMA形式为：

εt=vt(ht)1/2ht=α0+α1εt-12+…+αqεt-q2+β1ht-1+…+βpht-p性质：①期望为0，即Eεt=Evt(ht)1/2=0②条件方差为ht，即Et-1εt2=Et-1vt2(ht)=ht二、ARCH模型6、GARCH模型(2)检验条件异方差的方法①用时间序列{yt}的最佳拟合ARMA模型估计拟合误差序列{}，并计算残差的样本方差：

②计算并绘出残差平方序列的样本自相关图：

③对残差平方序列的样本自相关进行显著性检验。单个ρi=0的检验：ρi/(1/T)1/2~N(0,1)。

多个ρi=0的联合检验：Ljung-BoxQ检验。二、ARCH模型6、GARCH模型(3)拉格朗日乘子(LM)检验

——检验ARCH模型阶数的方法①用OLS法估计时间序列{yt}的最佳自回归模型或ARMA模型：

A(L)yt=B(L)εt②用残差序列建立辅助回归方程：计算辅助回归方程的判定系数R2，构造LM统计量:

TR2~χ2(q)

检验假设H0：α1=α2=…=αq=0(无ARCH)。

三、通货膨胀的条件异方差模型1、ARCH和GARCH模型的作用

——用于估计特定时间序列的条件方差(1)资产定价模型：风险升水(riskpremium)依赖于预期收益和收益的方差(资产持有的风险)。(2)风险价值(value-at-risk)：风险的评估用资产收益的条件分布决定。(3)劳资谈判过程(wage-bargainingprocess)：工资合同依赖于预期的通货膨胀率和预期精度的不确定性(风险：用条件方差表示)。估计条件方差的重要性：理性预期假说认为，行为人不会浪费信息，对时间序列的预测用条件分布。三、通货膨胀的条件异方差模型2、恩格尔(Engle,1982)的英国通货膨胀模型(1)模型所用变量和样本范围

pt—CPI的对数，wt—名义工资指数的对数

πt=pt-pt-1，rt=wt-pt

；样本：1958:2-1977:2(2)常数方差模型

πt=0.0257+0.334πt-1+0.408πt-4-0.404πt-5+0.0559rt-1+εt(0.0057)(0.103)(0.110)(0.114)(0.0136)(3)ARCH模型

πt=0.0328+0.162πt-1+0.264πt-4-0.325πt-5+0.0707rt-1+εt(0.0049)(0.108)(0.089)(0.099)(0.0115)

ht=1.4E-5+0.955(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-42)

(8.5)(0.298)三、通货膨胀的条件异方差模型3、Bollerslev（1986）的美国通货膨胀模型(1)模型所用变量和样本范围

πt=通货膨胀率（GNP平减指数的对数的差分）样本：1948:2-1983:4(2)常数方差模型

πt=0.240+0.552πt-1+0.177πt-2+0.232πt-3-0.209πt-4+εt(0.080)(0.083)(0.089)(0.090)(0.080)(3)ARCH模型

πt=0.138+0.423πt-1+0.222πt-2+0.377πt-3-0.175πt-4+εt(0.059)(0.081)(0.108)(0.078)(0.104)

ht=0.058+0.802Σ8[(9-i)/36]εt-i2

(0.003)(0.265)三、通货膨胀的条件异方差模型3、Bollerslev（1986）的美国通货膨胀模型(3)ARCH模型

πt=0.138+0.423πt-1+0.222πt-2+0.377πt-3-0.175πt-4+εt(0.059)(0.081)(0.108)(0.078)(0.104)

ht=0.058+0.802Σ8[(9-i)/36]εt-i2

(0.003)(0.265)(4)GARCH模型

πt=0.141+0.433πt-1+0.229πt-2+0.349πt-3-0.162πt-4+εt(0.060)(0.081)(0.110)(0.077)(0.104)

ht=0.007+0.135εt-12+0.829ht-1

(0.006)(0.070)(0.068)四、美国PPI的GARCH模型1、变量与样本变量：πt=Δln(PPIt)；样本：1960:1-2002:12、Box-Jenkins方法的ARMA模型

πt=0.003+0.768πt-1+εt-0.358εt-1+0.297εt-4

问题：通过Ljung-Box检验，残差平方序列非平稳。3、ARCH误差的检验(1)辅助回归与LM检验：存在条件异方差(2)ARCH(4)对ARCH(8)的检验

ARCH(1)对ARCH(4)的检验四、美国PPI的GARCH模型4、ARMA(1,(1,4))-ARCH(4)模型

πt=0.0033+0.5727πt-1+εt-0.0389εt-1+0.2830εt-4(0.167)(6.12)(-0.370)(3.47)ht=4.53E-5+0.094εt-12+0.299εt-22-0.055εt-32+0.307εt-42

(5.04)(1.08)(2.18)(-1.38)(2.90)5、ARMA(1,(1,4))-约束ARCH(4)模型

πt=0.0026+0.5800πt-1+εt-0.1162εt-1+0.2827εt-4(2.52)(4.20)(-0.77)(3.74)ht=4.92E-5+0.6005(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-42)

(4.25)(3.38)四、美国PPI的GARCH模型6、ARMA(1,(1,4))-GARCH(1,1)模型

πt=0.0050+0.7155πt-1+εt-0.283εt-1+0.2647εt-4(1.82)(7.42)(-2.26)(2.67)ht=1.74E-5+0.2100εt-12+0.6410ht-1

(1.54)(2.14)(3.62)7、模型的诊断与预测五、风险的GARCH模型1、Holt-Aradhyula的烤鸡供给模型(1990)

qt=a0+a1pte-a2ht-a3pfeedt-1+a4hatcht-1+a5qt-4+ε1t(1-β1L-β2L2-β3L3-β4L4)pt=β0+ε2t

式中：qt—t期烤鸡生产量

pt—t期烤鸡的市场价格

pte—t期烤鸡的预期价格(pte=Et-1pt)ht—预期的t期烤鸡价格的条件方差

pfeedt-1—t-1期烤鸡饲料的实际价格

hatcht-1—t-1期烤鸡鸡雏的数量

εit—随机冲击五、风险的GARCH模型2、烤鸡供给模型的估计结果烤鸡价格的GARCH模型

(1-0.511L-0.129L2-0.130L3-0.138L4)pt=1.632+ε2t(0.092)(0.098)(0.094)(0.073)(1.347)ht=1.353+0.162ε2t-1+0.591ht-1(0.747)(0.80)(0.175)烤鸡供给模型

qt=2.767pte-0.521ht-4.325pfeedt-1+1.887hatcht-1+0.603qt-4+ε1t(0.585)(0.344)(1.463)(0.205)(0.065)六、ARCH-M模型1、模型的背景在资本市场上，风险厌恶(risk-averse)的投资者持有风险资产必然会要求得到补偿，风险越大，要求的补偿就越高。如果风险用收益的方差表示，则风险补偿即风险升水(riskpremium)将是收益条件方差的增函数。2、ARCH-M模型的形式持有风险资产的超额收益：yt=μt+εt

风险升水：

μt=β+δht

收益的条件方差：ht=α0+α1εt-12+α2εt-22+…+αqεt-q2六、ARCH-M模型3、ARCH-M模型的例子

——美国半年期国库券的超额收益模型(1)半年期国库券超额收益的计算记三个月期国库券的季度利率为rt，半年期国库券的季度利率为Rt，则持有半年期国库券的超额收益为：

yt=(1+Rt)2-(1+rt+1)(1+rt)2Rt-rt+1-rt样本期：1960:1-1984:2六、ARCH-M模型3、ARCH-M模型的例子

——美国半年期国库券的超额收益模型(2)条件异方差性检验

超额收益方程：yt=0.142+εt(4.04)

残差平方的辅助回归方程：

ht=α0+α1(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-q2)

检验假设H0：α1=0

检验统计量：LM=TR2=10.1>6.635=χ20.01(1)

检验结论：拒绝原假设，认为存在条件异方差。六、ARCH-M模型3、ARCH-M模型的例子

——美国半年期国库券的超额收益模型(3)ARCH-M模型的极大似然估计结果

超额收益方程：yt=-0.0241+0.687ht+εt(-1.29)(5.15)

超额收益的条件方差模型：

ht=0.0023+1.64(0.4εt-12+0.3εt-22+0.2εt-32+0.1εt-q2)(1.08)(6.30)七、GARCH过程的性质1、GARCH模型的一般形式均值模型(modelofthemean)：

yt=a0+βxt+εt

xt~ARMA(pm,qm)，可含外生变量

方差模型(modelofthevariance)：

εt=vtht1/2，vt~IID(0,1)

ht=α0+α1εt-12+…+αqεt-q2+β1ht-1+…+βpht-p

其中有：Eεt=0，Et-1εt2=ht七、GARCH过程的性质2、GARCH(1,1)误差过程的性质(1)GARCH(1,1)误差过程模型

εt=vtht1/2，ht=α0+α1εt-12+β1ht-1，vt~IID(0,1)

(2)均值：Eεt=E(vtht1/2)=EvtEht1/2=0(3)方差：条件：Et-1εt2=Et-1(vt2ht)=htEt-1vt2=ht

无条件:Eεt2=α0+(α1+β1)Eεt-12=α0/(1-α1-β1)(4)自协方差：条件：Et-1εtεt-j=0

无条件:Eεtεt-j=E(vtht1/2

vt-jht-j1/2)=0(5)波动的持久性：由Eεt2=α0+(α1+β1)Eεt-12，可知若(α1+β1)<1，则方差指数衰减。(6)自相关图：GARCH(p,q)过程的ACF类似于ARMA(m,p)过程的ACF，其中m=max(p,q)。七、GARCH过程的性质3、GARCH模型拟合的评价方法(1)残差平方和

(2)类AIC和SBCAIC´=-lnL+2nSBC´=-lnL+nln(T)

其中：lnL为样本序列的对数似然函数：

七、GARCH过程的性质4、GARCH模型的诊断检验(1)GARCH模型恰当的标志若GARCH模型恰当，则GARCH模型的残差不存在序列相关，也没有剩余的条件波动。

(2)模型的诊断检验方法①根据GARCH模型的残差计算标准化残差序列：

②对标准化残差序列用Ljung-BoxQ统计量检验假设H0：ρ1=ρ2=…=0，ρi为标准化残差的ACF。若拒绝了此假设，则表明均值模型不恰当。③对标准化残差平方序列用Ljung-BoxQ统计量检验H0：ρ1=ρ2=…=0，ρi为标准化残差平方的ACF。若拒绝了此假设，则表明条件方差模型不恰当。七、GARCH模型的性质5、GARCH模型的预测(1)yt的预测：yt=a0+βxt+εt

向前1步：Etyt+1±2(ht+1)1/2

向前j步：Etyt+j±2(ht+j)1/2(2)条件方差的预测：ht=α0+α1εt-12+β1ht-1

向前1步：Etht+1=α0+α1εt2+β1ht

向前j步：Etht+j=α0+α1Etεt+j-12+β1Etht+j-1

因为：Etεt+j2=Et(vt+j2ht+j)=Et(ht+j)

所以：Etht+j=α0+(α1+β1)Etht+j-1

=α0[1+(α1+β1)+(α1+β1)2+…+(α1+β1)j-1]+(α1+β1)jht

若(α1+β1)<1，则当j

时，Eht=

0/(1-1-1).八、GARCH模型的极大似然估计由GARCH模型：yt=a0+βxt+εt，

εt=vtht1/2，vt~iid(0,1)

ht=α0+α1εt-12+…+αqεt-q2+β1ht-1+…+βpht-p对于序列{εt}的T个实现值ε1,ε2,…,εT,可构造出似然函数为：取对数，得对数似然函数为：

选取参数值，通过迭代方法使此对数似然函数达到最大，即可求得模型的极大似然估计。九、条件方差模型的扩展1、IGARCH模型(1)模型背景：在金融时间序列中，条件波动常常具有持久性。若估计GARCH(1,1)模型，将会有α1与β1之和很接近于1。因此，Nelson(1991)提出了给定约束α1+β1=1的GARCH(1,1)模型：

ht=α0+(1-β1)εt-12+β1ht-1

由于该模型中条件方差的行为类似于单位根过程，所以称为IGARCH模型。(2)条件方差的预测向前1步：Etht+1=α0+(1-β1)Etεt2+β1ht=α0+ht

向前j步：Etht+1=α0+(1-β1)Etεt+j-12+β1ht+j-1=α0j+ht九、条件方差模型的扩展2、具有解释变量的GARCH模型就象可以在均值模型中包含外生解释变量一样，条件方差模型也可以含有外生解释变量。如要确定2001年9月11日美国的恐怖袭击是否增加了资本市场的波动性，就可设定一个带虚拟变量的GARCH模型为：

ht=α0+α1εt-12+βht-1+γDt

其中Dt在911以前取值为0，以后取值为1。九、条件方差模型的扩展3、非对称模型：TARCH和EGARCH模型(1)杠杆效应(leverageeffect)：股票收益增加时，股票价格波动性减小；收益减少时，波动性增大，即坏消息导致的波动比好消息大，称为杠杆效应。九、条件方差模型的扩展3、非对称模型：TARCH和EGARCH模型(2)TARCH模型由于好消息和坏消息有不同的效应，其分界值为εt-1=0，称为门槛值或门限值。给定一个虚拟变量dt，当坏消息出现时取值1，否则取值0，则可设定一个非对称的ARCH或GARCH模型为：

ht=α0+α1εt-12+λ1dt-1εt-12+βht-1

称为门限ARCH或门限GARCH模型(threshold-GARCH)。在TARCH模型中，坏消息对条件方差的影响为(α1+λ1)εt-12，好消息的影响为α1εt-12。九、条件方差模型的扩展3、非对称模型：TARCH和EGARCH模型(3)EGARCH模型标准的GARCH模型要求所有参数的估计值为正，这给估计带来了麻烦。Nelson(1991)提出了一个不要求非负约束的条件方差模型为：

ln(ht)=α0+α1(εt-1/ht-10.5)+λ1|εt-1/ht-10.5|+β1ln(ht-1)

称为指数GARCH模型(exponential-GARCH)。在EGARCH模型的特点有：①对数线性形式，隐含ht为正，允许参数为负；②条件方差是标准化残差水平的函数；③允许有杠杆效应。九、条件方差模型的扩展4、杠杆效应的检验方法1：检验TARCH或EGARCH模型中的参数λ1是否为0。

ht=α0+α1εt-12+λ1dt-1εt-12+βht-1

ln(ht)=α0+α1(εt-1/ht-10.5)+λ1|εt-1/ht-10.5|+β1ln(ht-1)方法2：估计标准化残差平方对滞后标准化残差的回归，检验全部回归系数是否为0。标准化残差：检验回归方程：st2=a0+a1st-1+a2st-2+…

检验原假设H0:a1=a2=…=0

检验统计量：F九、条件方差模型的扩展4、杠杆效应的检验方法3：Engle-Ng符号偏差检验——估计标准化残差平方对虚拟变量的回归，检验其系数是否为0。记dt-1=1,若st-1<0；dt-1=0,若st-10.

检验回归方程：st2=a0+a1dt-1+ε1t

检验原假设H0:a1=0方法4：估计标准化残差平方对虚拟变量和滞后标准化残差与虚拟变量的乘积的回归，检验全部回归系数是否为0。检验回归方程:st2=a0+a1dt-1+a2dt-1st-1+a3(1-dt-1)st-1+ε1t

检验假设H0:a1=a2=a3=0九、条件方差模型的扩展5、非正态误差(1)金融资产收益率分布的特点①非对称(asymmetry)②厚尾(fat-tailed)(2)非正态误差设定的方法——设定为t分布。十、纽约证交所综合指数模型1、数据样本：1995.1.3—2002.8.302、均值模型由于综合指数是非平稳序列，所以要进行对数差分变换：

rt=ln(COMPOSITEt/COMPOSITEt-1)

经过变换后的变量rt为日收益率。序列{rt}的ACF:ρ1=0.068,ρ2=-0.0458，显著非0。用AIC和SBC选择模型，得:MA(2):rt=0.000353+εt+0.0705εt-1-0.0413εt-2MA(1):rt=0.000353+0.0705εt-1+εt十、纽约证交所综合指数模型3、检验GARCH误差

F=37.77，prob-value=0.000，拒绝无GARCH的假设。

4、各种模型的估计(1)MA(2)-GARCH(1,1)模型

rt=7.24E-4+εt-0.1034εt-1-0.0003εt-2(3.42)(-4.17)(-0.13)ht=1.33E-6+0.119ε2t-1+0.877ht-1(4.09)(11.58)(83.48)问题？十、纽约证交所综合指数模型4、各种模型的估计(2)MA(1)-GARCH(1,1)模型

rt=7.25E-4+εt-0.1030εt-1(3.47)(-4.29)ht=1.32E-6+0.119ε2t-1+0.878ht-1(4.09)(12.42)(85.00)问题？(3)MA(1)-IGARCH(1,1)模型

rt=7.26E-4+εt-0.1031εt-1(3.42)(-4.27)ht=1.18E-6+0.1219ε2t-1+(1-0.1219)ht-1(6.00)(12.65)十、纽约证交所综合指数模型4、各种模型的估计(4)ARCH-M模型(i)rt=1.20E-4+εt-0.103εt-1+0.081ht(0.189)(-4.26)(1.00)

问题？(ii)rt=3.70E-4+εt-0.103εt-1+5.61ht0.5(0.116)(-4.25)(1.41)

问题？

十、纽约证交所综合指数模型5、模型诊断检验—IGARCH(1,1)模型的诊断

诊断检验序列：标准化残差序列(1)剩余序列相关检验序列{st}的Ljung-BoxQ统计量：

Q(5)=6.39，Q(10)=10.36，Q(25)=29.63

都不显著，不能拒绝{st}无序列相关的假设。(2)剩余GARCH效应检验辅助回归：st2=0.95-0.001s2t-1+0.0351s2t-2H0:a1=a2=0，F=1.18，p=0.38，不能拒绝H0.

序列{st2}的Ljung-BoxQ统计量：

Q(5)=3.89，Q(10)=4.57，Q(25)=11.15

都不显著，不能拒绝{st2}无序列相关的假设。十、纽约证交所综合指数模型5、模型诊断检验—IGARCH(1,1)模型的诊断(3)杠杆效应检验(i)F检验st2=0.964-0.157st-1-0.250st-2-0.084st-3(21.29)(-3.49)(-5.49)(-1.85)H0：a1=a2=a3=0，F=15.23，p=0.000，显著，存在杠杆效应。(ii)Engle-Ng符号检验

记dt-1=1,若st-1<0；dt-1=0,若st-10.st2=0.858+0.245dt-1(13.04)(2.70)dt-1的系数显著，存在杠杆效应，负冲击增加收益rt的条件方差。十、纽约证交所综合指数模型6、非对称模型(1)TARCH模型

ht=1.81E-6-0.0064εt-12+0.1947dt-1εt-12+0.893ht-1(6.48)(-0.662)(12.33)(96.85)问题？(2)EGARCH模型

rt=2.77E-4+0.1186εt-1+εt(1.45)(5.00)

lnht=-0.4321-0.1553εt-1/ht-10.5+0.1236|εt-1/ht-10.5|+0.9646lnht-1(-9.61)(-13.71)(7.72)(230.71)负冲击对条件方差的影响：-(-0.1553)+0.1263=0.2816正冲击对条件方差的影响：-0.1553+0.1263=-0.0290十、纽约证交所综合指数模型6、非对称模型(3)非对称模型EGARCH的诊断检验(i)标准化残差的序列相关性检验对序列{st2}进行序列相关和符号偏差检验，没有发现残差中还有剩余信息。(ii)模型拟合优度检验比较IGARCH和EGARCH的RRS’、AIC’和SBC’，发现IGARCH拟合较好。(iii)标准化残差正态性检验用标准化残差作累计分布图，并与标准正态分布的累计分布图比较。7、用EGARCH模型预测收益的方差第四章趋势模型一、确定趋势和随机趋势1、线性随机差分方程通解的构成

yt=趋势+平稳成分+噪声2、趋势的两种类型(1)确定趋势(DT—deterministictrend)yt=y0+a0t+A(L)εt(2)随机趋势(ST—stochastictrend)yt=y0+Σ1tεi+a0t

或：Δyt=a0+εt一、确定趋势和随机趋势3、随机游走模型

yt=yt-1+εt或：Δyt=εt通解：

yt=y0+Σ1tεi(1)均值：无条件：Eyt=Eyt-s=y0

条件：Etyt+1=Et(yt+εt+1)=yt(2)方差：Var(yt)=Var(εt+εt-1+…+ε1)=tσ2

Var(yt-s)=Var(εt-s+εt-s-1+…+ε1)=(t-s)σ2(3)自协方差：E(yt-y0)(yt-s-y0)=E(εt+εt-1+…+ε1)(εt-s+εt-s-1+…+ε1)=(t-s)σ2(4)自相关函数：ρs=(t-s)/[t(t-s)]1/2=[(t-s)/t]1/2随机游走过程的自相关函数具有轻微的衰减趋势。一、确定趋势和随机趋势4、带漂移的随机游走模型

yt=yt-1+a0+εt或：Δyt=a0+εt通解：

yt=y0+a0t+Σ1tεi特点：yt的行为由两个非平稳成分控制：一个线性确定趋势和一个随机趋势，没有平稳成分。无条件均值：Eyt=y0+a0t

Eyt+s=y0+a0(t+s)条件均值：Etyt+s=Et(yt+a0s+Σ1sεt+i)=yt+a0s一、确定趋势和随机趋势5、随机趋势模型的一般化(1)带噪声的随机游走模型

yt=y0+Σ1tεi+ηt或：Δyt=εt+Δηt性质：

(1)序列yt含有随机趋势和纯噪声，εt对yt有持久影响，而ηt对yt只有暂时影响。(2)对于给定的初值，yt的均值为常数。Eyt=Eyt-s=y0(3)方差:Var(yt)=Var(εt+εt-1+…+ε1+ηt)=tσ2+ση2

Var(yt-s)=Var(εt-s+εt-s-1+…+ε1+ηt)=(t-s)σ2+ση2(3)自协方差：E(yt-y0)(yt-s-y0)=E(εt+εt-1+…+ε1+ηt)(εt-s+εt-s-1+…+ε1+ηt-s)=(t-s)σ2(4)自相关函数：ρs=(t-s)σ2/{[tσ2+ση2][(t-s)σ2+ση2]}1/2一、确定趋势和随机趋势5、随机趋势模型的一般化(2)带噪声的趋势模型

yt=y0+a0t+Σ1tεi+ηt

或：Δyt=a0+εt+Δηt(3)带不规则变动的一般趋势模型

yt=y0+a0t+Σ1tεi+A(L)ηt二、剔除趋势的方法1、剔除趋势的意义时间序列的经典建模方法是建立在平稳可逆随机过程基础之上的，而含有趋势的随机过程是不平稳的，不满足经典建模方法的基本假设。在非平稳过程中，随机冲击对变量序列有持久的影响，且变量序列不会向一个长期水平回归。剔除趋势的方法有两种：

(1)差分(diffencing)；(2)退势(detrending)。二、剔除趋势的方法2、差分方法(1)带漂移的随机游走过程的差分

yt=y0+a0t+Σ1tεi

差分：Δyt=a0+εt

均值：EΔyt=E(a0+εt)=a0

方差：Var(Δyt)=E(Δyt-a0)2=E(εt)2=σ2自协方差：Cov(Δyt,Δyt-s)=E(εtεt-s)=0可见：差分后的序列为二阶平稳过程。二、剔除趋势的方法(2)带噪声的随机游走过程的差分

yt=y0+Σ1tεi+ηt

差分：Δyt=εt+Δηt均值：EΔyt=E(εt+Δηt)=0方差：Var(Δyt)=E(εt+Δηt)2=σ2+2ση2自协方差：Cov(Δyt,Δyt-1)=E(εt+Δηt)(εt-1+Δηt-1)=-ση2

Cov(Δyt,Δyt-s)=E(εt+Δηt)(εt-s+Δηt-s)=0,s>1.自相关函数：ρ1=ση2/[σ2+2ση2]=-1/[2+σ2/ση2]

-0.5<ρ1<0ρs=0，s>1.

可见：此过程的自相关图类似于MA(1)的自相关图。二、剔除趋势的方法(3)ARIMA(p,d,q)过程对于一般ARMA过程：

A(L)yt=B(L)εt若A(L)有d个单位根，而B(L)的根都在单位圆外，则可将A(L)因子分解为A(L)=(1-L)dA*(L)，就有：

(1-L)dA*(L)yt=B(L)εt

定义变量yt*=(1-L)dyt=Δdyt，则有平稳ARMA过程为：

A*(L)yt*=B(L)εt在ARIMA(p,d,q)过程中，变量yt是d阶差分序列yt*之d阶和，称为是d阶和分的(integrated)，记为yt~I(d)。二、剔除趋势的方法3、退势方法对于确定趋势过程，如：

yt=a0+a1t+a2t2+…+antn+et，et~平稳过程.

要剔除趋势，则需先估计回归方程：

ytT=a0+a1t+a2t2+…+antn

然后计算残差：

et=yt-ytT

则此残差序列就是剔除趋势后的平稳序列。二、剔除趋势的方法4、剔除趋势方法使用不当的后果(1)确定趋势过程使用差分的后果对于确定趋势带纯噪声过程，如：

yt=y0+a1t+εt

若进行差分，则有：

Δyt=a1+εt-εt-1

由于(εt-εt-1)中有1个单位根，所以差分后的序列Δyt是不可逆的，即不能表示为自回归形式，因此不能进行模型的估计。二、剔除趋势的方法4、剔除趋势方法使用不当的后果(1)确定趋势过程使用差分的后果对于一般的确定趋势过程，如：

A(L)yt=a0+a1t+B(L)εt

若进行差分，则有：

A(L)Δyt=a1+(1-L)B(L)εt

从而使模型的MA部分出现了1个单位根，导致差分后的序列Δyt是不可逆的，因此不能进行模型的估计。二、剔除趋势的方法4、剔除趋势方法使用不当的后果(2)随机趋势去势的后果对于含有随机趋势的过程，如：

yt=y0+a1t+Σ1tεi+A(L)ηt

若估计确定趋势：

ytT=y0+a1t

计算残差，则有：

et=yt-ytT=Σ1tεi+A(L)ηt

可见，随机趋势并没有被剔除，仍然存在于残差序列之中，退势后的序列仍然非平稳。二、剔除趋势的方法5、经济变量是DT还是ST?Nelson和Plosser(1982)在“TrendsandRandomWalksinMarcoeconomicTimeSeries”(JournalofMonetaryEconomics，9，139-162)一文中对美国13个宏观经济变量的年度序列进行了检验，检验结果表明，除了失业率一个变量不是ST和有弱的证据表明实际GNP是一个DT以外，绝大部分经济变量都是ST过程。Nelson和Plosser的文章引发了这方面的大量的研究。Franses和Kleibergen的预测检验(1996)

Note:A”+”indicatesthattheSTmodelhasasmallerRMSPEthanthatoftheDTmodel.Variable

Forecastprocedure(for36years)One-stepaheadOne-stepaheadh-stepahead(Rollingregressions)RealGNPNominalGNPRealGNPpercapitaIndustrialproductionEmploymentGNPdeflatorConsumerpricesWagesRealwagesNominalmoneystockVelocityBondyieldStockpricesUnemployment+++++++-+----++++++--+++++++--+++++++++---三、单位根与回归残差1、虚假回归(spuriousregression)所谓虚假回归，就是估计的回归方程有高的R2值和显著的t值，但是回归方程本身却没有任何经济意义。虚假回归通常发生于非平稳变量的回归方程。假设有两个变量yt和zt，二者都是随机游走过程，且相互独立，有：

yt=yt-1+εyt，zt=zt-1+εzt

则二者的回归方程没有任何实际意义。但是，若用经典回归分析方法建立回归模型：

yt=a0+a1zt+et

则该回归方程通常会有很高的R2，并且Granger和Newbold通过模拟表明，在5%的显著性水平上，约有75%的情形会拒绝a1=0的零假设。三、单位根与回归残差2、虚假回归的特征在非平稳变量的虚假回归中，回归残差也是非平稳的，并且高度自相关。如在两独立随机游走变量的回归yt=a1zt+et中，其残差为：

et=yt-a1zt=Σ1tεyi-a1Σ1tεzi

此残差的均值为0，其方差和自协方差为：

Var(et)=t(σy2+a12σz2)，Cov(et,et-s)=(t-s)(σy2+a12σz2)由此得自相关函数为：

ρ=(t-s)/[t(t-s)]1/2=[(t-s)/t]1/2非平稳变量的回归之所以出现虚假回归是因为违背了经典回归模型要求变量平稳的基本假设，使得通常的R2值和t检验以及F检验都不可用。三、单位根与回归残差3、时间序列回归的四种情形(1)序列yt和zt都是平稳的，经典回归是适当的。(2)序列yt和zt是同阶和分的，残差序列含有随机趋势，则二者的回归是虚假回归。在此情形，通常应建立差分回归模型：

Δyt=a1Δzt+Δet

yt和zt及et都含有1个单位根，差分后都是平稳的。(3)序列yt和zt是不同阶和分的，二者的回归是虚假回归。(4)序列yt和zt是同阶和分的，且回归残差是平稳的，则称序列yt和zt是协和的(cointegreted)，回归模型反映了二者的长期均衡关系。四、MonteCarlo方法1、单位根检验的统计量的分布要检验一个序列是否为随机游走过程，即是否含有单位根，可建立回归方程：

yt=a1yt-1+εt

并检验零假设H0:a1=1。然而，在此零假设下，传统的t检验统计量即使在极限的情况下也不服从标准的正态分布，而是当T

时，有：其中W(r)为标准布朗运动(Brownianmotion)，或称维纳过程(Weinerprocess)。四、MonteCarlo方法2、单位根检验统计量概率分布表的编制要用解析方法给出单位根检验的概率分布值表是困难的，Dickey和Fuller(1979)用MonteCarlo方法编制出了这一概率值表。方法如下：(1)用计算机生成一个标准正态分布的随机数序列{εt}；(2)根据随机游走模型yt=yt-1+εt生成变量序列{yt}；(3)估计回归方程Δyt=γyt-1+εt，并计算检验零假设H0:γ=0(γ=a1-1)的t统计量值；(4)重复1-3步上万次，列出统计量t的频率分布即为其概率分布。五、Dickey-Fuller检验1、基本的Dickey-Fuller检验(DF检验)辅助回归方程：视序列是否有趋势，选择下列三个方程之一：

Δyt=γyt-1+εtΔyt=a0+γyt-1+εtΔyt=a0+a2t+γyt-1+εt检验统计量：t=γˆ/σγˆ检验临界值：分别为：τ、τμ、ττ。五、Dickey-Fuller检验2、扩展的Dickey-Fuller检验(ADF检验)考虑到序列可能是高阶过程，为了保证辅助回归方程的残差为白噪声，将辅助回归方程扩展为：

Δyt=γyt-1+β2Δyt-1+β3Δyt-2+…+βpΔyt-p+1+εtΔyt=a0+γyt-1+β2Δyt-1+β3Δyt-2+…+βpΔyt-p+1+εtΔyt=a0+a2t+γyt-1+β2Δyt-1+β3Δyt-2+…+βpΔyt-p+1+εt检验统计量：

t=γˆ/σγˆ检验临界值：分别为：τ、τμ、ττ。五、Dickey-Fuller检验3、联合F统计量检验Dickey-Fuller(1981)还给出了辅助回归方程中各参数的联合检验方法。检验的零假设分别有：

H01:γ=a0=0；H02:a0=γ=a2=0；H03:γ=a2=0

检验统计量分别记为Φ1、Φ2、Φ3，都是F统计量：这三个统计量的概率值表也是通过MonteCarlo方法编制出来的。五、Dickey-Fuller检验4、例子——联邦储备局的生产指数的单位根检验Dickey-Fuller(1981)对联邦储备局的生产指数进行了单位根检验。辅助回归方程分别为：

Δyt=0.52+0.00120t-0.119yt-1+0.498Δyt-1+εt

(0.15)(0.00034)(0.033)(0.081)

SSR=0.056448

Δyt=0.0054+0.447Δyt-1+εt

SSR=0.063211Δyt=0.511Δyt-1+εt

SSR=0.065966各参数的联合检验分别为：

H02:a0=γ=a2=0；Φ2=5.95，2.5