2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数~动态几何问题【含答案】

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：二次函数-动态几何问题

一'综合题

1.如图，已知抛物线经过A(-2,0)B(-3,3)及原点O,顶点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点是四边形是平行四边形，求点D的坐

标.

(3)P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM_Lx轴，垂足为M,是否存在点P,使得以

P、M、A为顶点的三角形ABOC相似？

2.已知抛物线丫=&/+。％+3经过点做一1,0)、B(3,0),与y轴交于点C,连接BC.

(1)求抛物线的解析式；

(2)在直线BC上方抛物线上取一点P,过点P作PQ1X轴交BC边于点Q,求PQ的最大值；

(3)在直线BC上方抛物线上取一点D,连接OD,CD.。。交8C于点F,当SACOF：SACDf=3：2

时，求点D的坐标.

3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C(0,-g),

OA=1,OB=4,直线1过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tanNOAD=,

(1)求抛物线的解析式；

(2)动点P从点B出发，沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动，动点Q从点A

出发，沿射线AE以每秒I个单位长度的速度向点E运动，当点P运动到点A时，点Q也停止运动,

设运动时间为t秒.

①在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t,使得aADC与4PQA相似，若存在，求出t的

值；若不存在，请说明理由.

②在P、Q的运动过程中，是否存在某一时刻t,使得4APQ与4CAQ的面积之和最大？若存在,

求出t的值；若不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)

三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)动点P运动到什么位置时，4PBC面积最大，求出此时P点坐标和4PBC的最大面积.

5.如图，抛物线丫=一%2+打+©与x轴交于71(-1,0),B(3,0)两点.

y

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得AQAC的

周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，已知抛物线Li：y=ix2-x-|,Li交x轴于A,B(点A在点B左边)，交y轴于C,

其顶点为D,P是Li上一个动点，过P沿y轴正方向作线段PQ〃y轴，使PQ=t,当P点在Li上运动

时，Q随之运动形成的图形记为L2.

(1)若t=3,求图形L2的函数解析式；

(2)过B作直线l〃y轴，若直线1和y轴及L,L2所围成的图形面积为12,求t的值.

7.如图1,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B(3,0)两点(A在B的左侧)，与y轴交于点C

(0,3),已知对称轴为x=l.

(1)求抛物线L的解析式；

(2)如图2,设点P是抛物线L在x轴上方任一点，点Q在直线x=-3上，△PBQ能否成为以

P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由.

8.已知抛物线y=ax?+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，直线L是抛物线的对称轴.

（3）设P点是直线L上的一个动点，当APAC的周长最小时，求点P的坐标.

9.如图，抛物线y=-x2+6x与x轴交于点O,A,顶点为B,动点E在抛物线对称轴上，点F在对称

轴右侧抛物线上，点C在x轴正半轴上，且EF幺0C,连接0E,CF得四边形0CFE.

（2）当tan/EOC=g时，显然满足条件的四边形有两个，求出相应的点F的坐标；

（3）当0<tanNEOC<3时，对于每一个确定的tan/EOC值，满足条件的四边形OCFE有两个,

当这两个四边形的面积之比为1：2时，求tanNEOC.

10.如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A,B两点，抛物线y=-x?+bx+c经过A,B两

点，点P在线段0A上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段

AB上，从点A出发，向点B以V2个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ,设运动时间为t秒.

(1)求抛物线的解析式；

(2)问：当t为何值时，4APQ为直角三角形；

(3)过点P作PE〃y轴，交AB于点E,过点Q作QF〃y轴，交抛物线于点F,连接EF,当EF〃PQ

时，求点F的坐标；

(4)设抛物线顶点为M,连接BP,BM,MQ,问：是否存在t的值，使以B,Q,M为顶点的三

角形与以O,B,P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

11.如图，二次函数y=x?+bx+c(c/0)的图象经过点A(-2,m)(m<0),与y轴交于点B,与x轴

交于C、D两点(C在D的左侧)，AB〃x轴，且AB：0B=2：3.

(2)求二次函数的解析式；

(3)在线段BC上是否存在点P,使AP0C为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在,

请说明理由.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx-：(a<0)与y轴交于点A,将点A向右平

移3个单位长度，得到点B,点B在抛物线上.

(1)求点B的坐标(用含a的式子表示)和抛物线的对称轴；

(2)当B的纵坐标为3时，求a的值；

(3)已知点P(11),Q(3,3).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，请结合函数图象

直接写出a的取值范围.

13.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点(1,-4)和(-2,5),请解答下列问题：

(1)求抛物线的解析式，并求出对称轴及顶点坐标；

(2)若与x轴的两个交点为A、B,与y轴交于点C.在该抛物线上找一点D,使得aABC^AABD

全等，求出D点的坐标.

14.如图，抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M是抛物线上一动点，且在第三象限，当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最

大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标.

15.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于4(一4,0),B(l,0)两点，与y轴相交于点C,

直线y=kx+bt经过点A,C.

(1)求抛物线和直线AC函数解析式；

(2)若点D是y轴左侧抛物线上一点，且DC=DA,求点D的坐标；

(3)在抛物线对称轴上是否存在一点E,使线段EA绕点E逆时针旋转90。得到线段瓦%且公

刚好落在抛物线上？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

16.已知抛物线y=x?+bx-3(b是常数)经过点A(-1,0).

(1)求该抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)P(m,t)为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'.

①当点P落在该抛物线上时，求m的值；

②当点P落在第二象限内，PA?取得最小值时，求m的值.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：设抛物线的解析式为尸ax2+bx+c(a/0),

将点A(-2,0),B(-3,3),O(0,0),代入可得：

4a—2力+c=0

9a—3b+c=3,

c=0

a=1

解得：b=2，

=0

所以函数解析式为：y=x2+2x

（2）解：①以AE为边时，,:A,O,D,E为顶点的四边形是平行四边形,

DE=AO=2,D在x轴向方不可能，

；.D在x轴上方，且DE=2,当D点在对称轴直线x=-1的右侧时，D的坐标为（1,3）；

当D点在对称轴直线x=-1的左侧时，根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（-3,3）,

②以AO为对角线时，则DE与AO互相平分，

,点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为-1,

由对称性可知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（-l,-1）,

综上点D的坐标为（1,3）或（-3,3）（-1,-1）

（3）解:假设存在点P,使以P,M,A为顶点的三角形与ABOC相似，如图

设P(x,y),由题意知x>0,y>0,且y=x?+2x,

由题意，/XBOC为直角三角形，ZCOB=90°,且OC：OB=1：3,

①若△PMAs^COB,则需=黑，

即x+2=3(x2+2x),得

xi=,X2=-2(舍去)，当x=1•时，y=V，即P(称,盲)；

②若△PMAs—OC,第=盥，

UCDU

即：x2+2x=3(x+2),

得：xi=3,X2=-2(舍去)当x=3时，y=15,即P(3,15)

故符合条件的点p有两个，分别T，5）或（3,15）

2.【答案】(1)解：•••抛物线3/=。%2+8%+3经过点4(一1,。)、B(3,0),

(a—b+3=0

19a+3b+3=0

解得｛1二J

・•・抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3

(2)解：・.・抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3

令％=0,则y=3

/.C(0,3)

vF(3,0)

设直线BC的解析式为y=kx+b

解%二：

直线BC的解析式为：y=-x+3

过点P作PQ，x轴交BC于点Q,设P点坐标为(％,-/+2%+3),

则Q点坐标为(久，一久+3),

则PQ=(一*2+24+3)-(—X+3)

=—X2+3%

39

=-(%-))?+4

.♦.PQ的最大值是标

住

(3)解：•.•△COF与ACDF共高，面积比转化为底边比，

OF：DF=SACOF：SACDF=3：2

过点D作BC的平行线交x轴于G,交y轴于E,

根据平行线分线段成比例，

OF：FD=OC：CE=3：2

VOC=3,

AOE=5,

・・・E(0,5)

・・・直线EG解析式为：y=・x+5

联立方程，得：—x?+2x+3=—x+5

解得：=1,久2=2

则点D的坐标为(1,4)或(2,3)；

3.【答案】(1)解:VOA=1,OB=4

?.A(1,0),B(-4,0)

设抛物线的解析式为产a(x+4)(x-1)

•.,点C(0,-1)在抛物线上

二-g=ax4x(-1)

解得a=1

.•.抛物线的解析式为产!(x+4)(x-1)=jx2

(2)解：存在3使得aADC与4PQA相似.

理由：①在Rt^AOC中，OA=1,OC=J

则tan/ACO=器=,

VtanZOAD='

ZOAD=ZACO

•.•直线1的解析式为y=*(x—1)

AD(0,-1)

•.•点C(0,-1)

，CD=4_3__7_

3-4-12

由AC2=OC2+OA2,得AC=I

75

则有¥=寻或宇=手

312

Vti<2.5,t2<2.5

存在t=翳或t=,使得aADC与APQA相似

②存在t,使得aAPQ与aCAQ的面积之和最大

理由：作PFJ_AQ于点F,CNJ_AQ于N

在4APF中，PF=AP«sinZPAF=|(5-2t)

在aAOD中，由AD2=OD2+OA2,得AD=/

在△ADC中，由SAADC==

*7

CDOA_T2X1_7

Z.CN=AD~~5~~15

4

SAQP+SAQC==一一等＞+

AA^AQ{PF+CN)=-^-t[1-(5—2t)+£]

.•.当t=等时，4APQ与4CAQ的面积之和最大

4.【答案】(1)解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,

a—b+c=0(a=二1

把A、B、C三点坐标代入可得16a+4b+c=0，解得：\b=-3,

c=—4\c=-4

・•・抛物线解析式为y=x2-3x-4；

(2)解：：点P在抛物线上，

...可设P(t,t2-3t-4),

过P作PELx轴于点E,交直线BC于点F,如图1,

VB(4,0),C(0,-4)

...直线BC解析式为y=x-4,

：.F(t,t-4),

APF=(t-4)-(t2-3t-4)=-t2+4t,

1111

===

*'­SAPBCSAPFC+SAPFB《+PF9E+^PFFE=]PF，(OE+BE)=PF-OB

=(-产+4t)x4=-2(t-2)2+8,

2

**•当t=2时，SAPBC最大值为8,此时t-3t-4=-6,

・••当P点坐标为(2,-6)时，APBC的最大面积为8.

5.【答案】⑴解:将A(-1,0),B(3,0)代产市+bx+c中得

{"Q1=n,解得：『七•

二抛物线解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)解:存在.

理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=l对称，

直线BC与x=l的交点即为Q点，此时aAQC周长最小，

y

y=—x2+2x+3,

.••C的坐标为：(0,3),

设直线BC解析式为y=kx+b

将C(0,3),B(3,0)代入可得

fb=3解得.尸一1

l3fc+b=0肿仔Ib=3

直线BC的解析式为：y=-x+3,

Q点坐标即为｛屋二；3,解得，

AQ(1,2)

6.【答案】(1)解：Q点运动的图形，相当于抛物线向上平移t个单位，如下图:

即：L2的图象为：y='X2—x—1+t,

t=3,L2的函数解析式为：y=gx2—x+1

(2)解：L2的图象为：y=|x2-x-|+t,

直线1和y轴及L1,L2所围成的图形面积=平行四边形DDBB面积+平行四边形DDCO的面积,

即：S=D'D・(XB-XC)=1X3=12,

故t=4.

7.【答案】(1)解：•.•对称轴为直线x=l,且抛物线经过点B(3,0),C(0,3),

/=1

9a+3b+c=0'

c=3

a=-1

解得:b=2

c=3

.•.抛物线L的解析式为：y=-x2+2x+3；

(2)解：过点P作PM，直线x=-3,过点B作BNLx轴，PM与BN交于点D,

,/△PBQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形，

；.PQ=PB,ZBPQ=90°,

：BN，x轴，PML直线x=-3,

.\ZPMQ=ZPDB=90°,

，ZMQP+ZMPQ=90°,ZBPD+ZMPQ=90°,

/.ZMQP=ZBPD,

.,.△MPQ^ADBP(AAS),

.,.MP=BD,

设P点坐标为(x,-x2+2x+3),

•.•点P是抛物线L在x轴上方一点，

.'.BD=-x2+2x+3,PM=x-(-3)=x+3,

/.-x2+2x+3=x+3,

解得：x=0或x=l,

当x=0时，-x?+2x+3=3,

当x=l时，-x?+2x+3=4,

综上，符合条件的点P的坐标为(0,3)或(1,4).

8.【答案】(1)解：设抛物线解析式为产a(x+1)(x-3),把C(0,3)代入得(-3)=3,解

得a=-1,

所以抛物线解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3

(2)解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

所以抛物线的顶点坐标为(1,4)

(3)解：连结BC交1于P,如图,•.•点A与点B关于直线1对称,

，PA=PB,

；.PC+PA=CB,

此时APAC的周长最小，

设直线BC的解析式为y=kx+b,

把C(0,3),B(3,0)代入得｛功仁3,解得｛2=3

3k+o=0k=—1

・,・直线BC的解析式为y=-x+3,

当x=l时，y=-x+3=2,

・••点P的坐标为(1,2).

9.【答案】(1)解：y=-x2+6x=-(x-3)2+9,

AB(3,9)

(2)解：抛物线的对称轴为直线x=3,直线x=3交x轴于H,如图，

VtanZEOC=g,即tanZEOH=g,

.EH_4

•'OH-3'

・・・EH=4,

・・・E点坐标为(3,4)或(3,-4),

当y=4时，-(x-3)2+9=4,解得xi=3-V5(舍去)，X2=3+V5,

当y=-4时，-(x-3)2+9=-4,解得xi=3-V13(舍去)，X2=3+,

，F点坐标为(3+V5)或(3+V13，-4)

(3)解：如图，・・•平行四边形OEFC和平行四边形OEFC等高,

・・・这两个四边形的面积之比为1：2时，OC=2OC,

设OC=t,则0C=2t,

.••F点的横坐标为3+t,F点的横坐标为3+2t,

而点F和F的纵坐标互为相反数，

2

-(3+t-3)+9+[-(3+2t-3)2+9]=0,解得ti=,t2=-(舍去),

••.F点坐标为(3+率，警)，

r.E(3,羽)，

10.【答案】(1)解：：y=-x+3与X轴交于点A,与y轴交于点B,

・••当y=0时,x=3,即A点坐标为(3,0),

当x=0时，y=3,即B点坐标为(0,3),将A(3,0),B(0,3)代入y=-x?+bx+c,得｛-9+，2：。=°

解得g:；•••抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

(2)解：VOA=OB=3,NBOA=90。，

AZQAP=45°.

如图①所示：/PQA=90。时，设运动时间为t秒，则QA=V^t,PA=3-t.

在RtZ\PQA中，铝=坐，即：出=?,解得：t=l；

如图②所示：NQPA=90。时，设运动时间为t秒，则QA=V2t,PA=3-t.

在RtZ\PQA中，器=孚，即：等=孚，解得：(=|.

综上所述，当t=l或t=g时，4PQA是直角三角形；

设点P的坐标为(t,0),则点E的坐标为(t,-t+3),贝IjEP=3-t,点Q的坐标为(3t,t),点F

的坐标为(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),则FQ=3t-t2.

,.•EP〃FQ,EF〃PQ,

，EP=FQ.即：3-t=3t-t2.

解得：tl=l,t2=3(舍去).

将t=l代入F(3-t,-(3-t)2+2(3-t)+3),得点F的坐标为(2,3).

(4)解：如图④所示:

x

④

设运动时间为t秒，则OP=t,BQ=(3-t)V2.

Vy=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

.•.点M的坐标为(1,4).

/.MB=VP+12=V2.

当△BOPs^QBM时，骑=照即：曜=(3一产,整理得：t2-3t+3=O,

UrUDt3

△=32-4x”3VO,无解:

当△BOPsaMBQ时，罂=/即：?=(3T)=,解得t=为.

UDUr3t4

.•.当t=*时，以B,Q,M为顶点的三角形与以O,B,P为顶点的三角形相似.

11.【答案】(1)解：：AB〃x轴，A(-2,m),.".AB=2.

XVAB：OB=2：3,，OB=3,...点B的坐标为(0,-3),；.m=-3；

(2)解：•.•二次函数与y轴的交于点B,；.c=-3.

又•.•图象过点A(-2,-3),A-3=4-2b-3,，b=2,...二次函数解析式为y=x?+2x-3；

(3)解：当y=0时，Wx2+2x-3=0,解得x1=-3,X2=l,由题意得：C(-3,0).

若△POC为等腰三角形，则有：

①当PC=PO时，点P(_|,-|)；

②当PO=CO时，点P(0,-3)；

③当PC=CO时•，设直线BC的函数解析式为产kx+n,则有｛0413*曹，，解得：｛:二;，

•••直线BC的函数解析式为y=-x-3.

22

设点P(x,-x-3),由PC=CO,得：[-(x+3)]2+[-(-X-3)]=3,解得：xi=-3+|>/2,x2=

-3-|V2(不合题意，舍去)，，P(-3+|加，-|>/2).

综上所述：存在点p(一|)或P(O,-3)或p(-3+,VL-企)，使apoc为等腰

三角形.

12.【答案】（1）解：当x=0时，y=-i,

a

.•.点A的坐标为：（0,

•・•将点A向右平移3个单位长度，得到点B,

点B（3,—

.•.点A,B是对称点，

对称轴为直线x=亨=1.5

二对称轴为直线x=1.5；

（2）解：当-4=3时，a=-[

（3）解：当aW—/时满足题意

13.【答案】（1）解：由题意，得日+?。：=一?，

解得，?=一"

所以，该抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；

抛物线y=x2-2x-3的对称轴为：％=-二=1,

把x=1代入y=x2-2x-3得，y=-4,

.•.抛物线的顶点坐标为（1,-4）

（2）解：根据轴对称的性质，点C关于x=l的对称点D即为所求,

此时，AC=BD,BC=AD,

在aABC和4BAD中，

AB=BA

'.'\AC=BD,

BC=AD

/.△ABC^ABAD（SSS）.

在y=xz-2x-3中，令x=0,得y=-3,

则C（0,-3）,根据C点、D点关于x=l对称，则D点坐标为（2,-3）.

14.【答案】(1)解：••？=(x+1)2+k与y轴交于点C(0,-3)

-3=1+k,得，k=-4

.•.抛物线解析式为y=(x+1)2-4,

即y=x2+2x-3.

(2)解:如图1所示：

,图1

连接AC,过点M作MDJ_AC,交AD于点D.

令y=0得：x2+2x-3=0,

解得X|=-3,X2=l,

?.A(-3,0)、B(1,0).

设直线AC的解析式为y=kx+b.

•将A(-3,0)、C(0,-3)代入得：厂3/+呼0,

lb=-3

解得k=-1,b=-3.

・•・直线AC解析式为y=-x-3.

设M(x,x2+2x-3),则D(x,-x-3),则MD=-x?-3x.

,/四边形AMCB的面积=ZSABC面积+aAMC面积，

四边形AMCB的面积=^MD-AO+^AB-OC

11

=2x(-/-3x)x3+]X4x3

329

F另+6

33775

=-2(%+2)+豆

二当x=—1•时，S最大值为普，点M的坐标为(-'!，-学).

15.【答案】(1)解：把点A、B的坐标分别代入二次函数的解析式，得

f—16—4h+c=0

I-l+b+c=O

解得｛b=一:

故二次函数的解析式为y=-x2-3x+4

令x=0,则y=4

故点C的坐标为(0,4)

把A、C的坐标分别代入y=kx+b1,得

(―4/c+=0

t。1=4

解得也工

故一次函数的解析式为y=%+4

(2)解：设点D的坐标为(m,—m2—3m4-4)

DC=yjm2+(—m2—3m+4-4)2，DA=yj(m4-4)2+(-m2-3m+4)2

・••DC=

・,・,沅2+(一小2_3nl+4_4)2=,(7n+4)2+(_7n2_3rH+4)2

化简得：m24-2m—4=