2023届四川省眉山市高三第一次诊断性考试数学（文）试题

眉山市高中2023届第一次诊断性考试

数学(文史类)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案

写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1,已知集合4={幻(%+3)(%-2)<0},8W-1<X<3L则AcB=（）

A.(-1,2)B.(-1,3)C.（2,3）D.（0,3）

3+4i

2.己知i为虚数单位，则——=()

1-i

17.

A.-l+7iB.7+7iC.---1—iD.

22

3.采购经理指数(PMI),是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指

数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通

用的检测宏观经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用.制造业PMI高于50%

时，反映制造业较上月扩张；低于50%,则反映制造业较上月收缩.下图为我国2021年1

月一2022年6月制造业采购经理指数(PMI)统计图.

2021年:2022年

根据统计图分析，下列结论最恰当一项为（）

A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩

B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张

C.2022年1月至4月制造业逐月收缩

D.2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张

4.已知函数/（x）=2，+/（xeR）,则“X）的图象（）

A.关于直线x=l对称B.关于点（1,0）对称C.关于直线x=0对称D.关于原

点对称

5.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则构成该多面

体的面中最大的面积为（）

.9_972n9^3

A.Jo.y------LJ.1

222

6.己知命题p：VXGR,3'>2'，命题03x0eR,使得lnx0=-2,则下列命题是真

命题的为（）

A."4B.（「p）八qC.D.

7.某班有包括甲、乙在内的4名学生到2个农场参加劳动实践活动，且每个学生只能到一

个农场，每个农场2名学生.则甲、乙两名学生被安排在不同农场的概率为（）

113

A.-B."C.-D.一

3234

8.如图所示形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角

垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….如图所示的程

序框图，输出的S即为小球总数，则S=（）

/输大s/

A35B.56C.84D.120

9.过抛物线C：V=2Pxm°）的焦点F且倾斜角为锐角的直线4与C交于两点A,B（横

坐标分别为4，4,点A在第一象限），4为C的准线，过点A与4垂直的直线与4相交

于点M.^\AF\^\FM\,则要■=（）

XB

A.3B.6C.9D.12

10.已知sin&+£）=；，则sin（2tz+^）的值为（）

7

An472c4亚7

D.-

9999

22

11.已知椭圆C：亍+方=1（0<〃<2）的左焦点为"，直线y=二kx（k工0）与C交于点M,

Q

M若NM6N=120°,|5|.“剧=3,则椭圆C的离心率为（）

A.|B.—C.正D.星

2223

12.设a=1.02,b*。25，c=0.9+2sin0.06,则“，b,c的大小关系是（）

A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.

c<a<b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量。=（/一1,3）,力=（2,T）,若则实数/的值为.

x-2y-4<0

14.若x,y满足约束条件3一220,则z=2x-3y最大值为.

15.若函数/'（x）=Asinx-cosx的一个零点为四，则4=；.

16.如图，在长方体ABC。—A4G。中，底面A88为正方形，E,F分别为&G，CD

的中点，点G是棱G2上靠近Ci的三等分点，直线BE与平面所成角为45°.给出

以下4个结论：

①EF//平面BBQQ；②EE_L4G；

③平面£FC_L平面8RE；④B,E,F,G四点共面.

其中，所有正确结论的序号为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计.现收集了该产品的成本费y

（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量X（单位：吨）的20组数据.现分别用两种模型

①y=bx+a,②y=&+c进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值:

X

20合2020

£(再-可20.

Z(—)Z5-歹)(西-可-刃&-T)

Xy7/=1f=li=lZ=1

14100.0

6650.04-4504

58

之（K-犷

若用心=1一子---------刻画回归效果，得到模型①、②的R2值分别为R「=O.7891,

E（X-7）?

/=1

盾=0.9485.

（1）利用R「和42比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25

（吨）时y的预报值.

附：对于一组数据（X，匕），（*2，兀），…，（七，”），其回归直线亍=A+/x的斜率和截

EU-J）（x-y）

距的最小二乘法估计分别为6=J-----------，a=y-ftx.

才（均-才

/=!

18.已知｛a“｝为等差数列，且q=l,。6=3（%一%）-

（1）求数列｛q｝的通项公式；

（i127

N*），｛〃｝的前〃项和为S“，求S”<——成立的

⑵若数列也｝满足：bn=-ne

,128

〃的最大值.

2cosAcosRcosc

19.已知二4?C的内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且「一=——+一

beabac

（1）求角A的大小；

（2）若C=3,且_A8C的面积为36,求的周长.

20.如图，在三棱柱ABC-44G中，侧面AAgB为正方形，AA，平面ABC,

AB=BC=2,ZABC=\20°,E,F分别为棱AB和8片的中点.

（1）在棱A4上是否存在一点力，使得G。〃平面EFC?若存在，确定点。的位置，并给

出证明；若不存在，试说明理由；

（2）求三棱锥A-EbC的体积.

21.已知函数/（尤）=疣*一〃1；X2+苫-1）.

（1）若a=-l,求/（x）的极值；

（2）若x20,/W>0,求。的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则

按所做的第一题记分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

v—+1cosex.

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为〈（f为参数）.以坐标原点

y=tsina

8

为极点，X轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线。的极坐标方程为229=-----------,直线

5-3cos2夕

/与曲线C相交于A,B两点,M,0）.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若AM=2MB，求直线/的斜率.

［选修4・5：不等式选讲］

23.已知。>0,b>0,且。+力=2.

259

(1)证明：寸<(。+2)9-+(z〃+1)-<17；

(2)若不等式|3%+加+1|+|3%—加一1|之，4+3+\/<+3对任意xwR恒成立,求机的取

值范围.

眉山市高中2023届第一次诊断性考试

数学（文史类）

1【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】C

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.【答案】-2

14.【答案】8

15.【答案】①.G1

16.【答案】①②③

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为

必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.

（-）必考题：共60分.

17.某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计.现收集了该产品的成本费y

（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据.现分别用两种模型

①y=法+a,②y=@+c进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：

20、202020

之（尤，-可

2(—)2,-9)(西-可

Xy7»=1i=li=li=l

14.100.0

6650.04-4504

58

E（x-y）2

若用我2=］一----------刻画回归效果，得到模型①、②的夫2值分别为R:=0.7891,

E（^-y）2

i=\

/?/=0.9485.

（1）利用和比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25

（吨）时y的预报值.

附：对于一组数据（不，匕），（巧，兀），…，（%，％），其回归直线»=2+的斜率和截

f（X,-可（％-刃

距的最小二乘法估计分别为方=------------，a=y-px.

£（玉-叶

»=1

【答案】（1）选择模型②，理由见解析；

（2）6.

【解析】

【分析】（1）根据己知根据Az的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模

型②；

（2））与，可用线性回归来拟合，有3=2+3,求出系数,得到回归方程5=10（），+2,

即可得到成本费y与同批次产品生产数量X的回归方程为£=U&+2,代入x=25,即可

X

求出结果.

【小问I详解】

应该选择模型②.

由题意可知，&2>,则模型②中样本数据的残差平方和t（y,->'）2比模型①中样本

数据的残差平方和小，即模型②拟合效果好.

【小问2详解】

由已知/=工，成本费y与/可用线性回归来拟合，^y=dt+c.

X

20

4

由己知可得，2=•■菊一冽——=——=ioo,

XU-O2004

/=!

所以£一方=10-100x0.08=2,

则y关于，的线性回归方程为$=ioo，+2.

成本费y与同批次产品生产数量x的回归方程为£=U独+2,

X

当x=25（吨）时，亍=鬻+2=6（万元/吨）.

所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.

18.已知｛%｝为等差数列,且4=1,4=3（。4—出）,

（1）求数列｛。,,｝的通项公式；

(]\an127

）,也｝的前〃项和为求成立的

⑵若数列出｝满足：bn=-(/7eN*S.，S,,V——

,128

n的最大值.

【答案】（1）an=n

（2）7

【解析】

【分析】（1）代入公式求出公差即可求通项公式;

（2）代入等比数列的前〃项和公式即可.

【小问1详解】

设数列｛。“｝的公差为：d，

4=3（%-。2），4=1

%+5d=3（4+3d—%—d）,

・'•d=1.

「・an=q+(〃

【小问2详解】

2=(；)(〃eN*)，4=n，

XT,

•••数列｛bn｝为等比数列,所以S,=一”=i-J_

1-12"

2

1271127

由g|Jl--<—,

"1282"128

化简得：—,解得(”eN')，

1282"''

127

所以，要使S“W——成立的”的最大值为：7.

"128

「2cosAcos3cosC

19.已知_ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且------=------+------.

beabac

(1)求角A的大小；

(2)若c=3,且_A8C的面积为3石，求一ABC的周长.

［答案］(1)—

3

⑵V13+7

【解析】

【分析】(1)由已知等式可得2。€：0$人=。(：0$3+/^0$(7,结合正弦定理与三角形内角关

系可求得cosA=1，即可得角A的大小

2

(2)由三角形得面积公式可得6=4,又结合余弦定理得a二=届，从而得U3C的周长.

【小问1详解】

…-2COSACOSBCOSCccosB+bcosC

解：由题意有「一=——+-----=----------------，

beahacahc

即有2。COSA=ccosB+Z?cosC,

由正弦定理得：

2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sin（7i-A）=sinA,

又Ae（O,7i）,所以sinAwO,则cosA=4，所以A=^；

【小问2详解】

解：由（1）知A=],因为c=3,且..ABC的面积为3相，

由SAbe='",sin4得：3月=‘x3/?-sin'=史史，所以"=4，

2234

由余弦定理得：cT=-b~+c2-2.bccosA=16+9—2x4x3x—=13,所以a=JT^，

2

所以一ABC的周长为a+b+c=a+7.

20.如图，在三棱柱ABC-44G中，侧面AAgB为正方形，AA，平面ABC,

AB=BC=2,ZABC=\20°,E,F分别为棱AB和8片的中点.

（1）在棱上是否存在一点。，使得CQ〃平面EFC?若存在，确定点。的位置，并给

出证明；若不存在，试说明理由；

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）答案见解析；

⑵立.

2

【解析】

【分析】（1）A4的中点。，4B1的中点M,可证明DM//EF，MCJ/EC,根据面面平

行的判定定理可得平面MDQ//平面EFC,即可证明C{DH平面EFC；

（2）点C到AB的距离为h,根据等面积法可求h=6,由面面垂直的性质可得点C到AB

的距离即为点C到平面4sg4的距离，利用匕=匕_&"=；XS"E「X〃可求解.

【小问1详解】

存在点。，使得G。〃平面EFC.

取人4的中点。，的中点M,连接。厕。

因为E,尸分别为棱A8和8M的中点，

所以EF//AB,，所以DMHEF.

连接历G,则MC//EC.

因为£>A/cMC[=M,DM,MC\u平面MDC},EFcEC=E,EF,ECu平面EFC，

所以平面MOG〃平面EFC.

因为GOu平面MDC,，所以GO〃平面EFC.

所以存在D（D为A4中点），使得G。〃平面EFC.

—-------

【小问2详解】

B

求三棱锥A-EFC的体积相当于求三棱锥C-\EF的体积.

因为A4_L平面ABC,44,<=平面4844,所以平面AB44，平面ABC.

设点。到A3的距离为力，则有LAB/=，A3-BC-sinl20°,其中A3=3C=2,

22

解得h=V3.

因为平面AB44_L平面ABC,平面AB耳A。平面ABC^AB,

所以点C到AB的距离即为点C到平面ABB,At的距离，为〃=百.

在正方形中，4?=2，则EF=4BE?+BF?=+『=④,

222222

AiE=^AE+AA]=Vl+2=45,AiF=JB尸+48：=Vl+2=6.

取EE的中点N,连接4N,则ANLEF,

所以A%==J(右)一,=之坐・

所以5"防=《£尸-4'=(><0*¥=3,

所以j_EFC=匕.&'=；*5"仃乂%=；*^乂6=9.

所以三棱锥4一EFC的体积为且.

2

21.已知函数/(%)=疣*一。13/+%-1).

(1)若a=-l,求/(x)的极值；

(2)若xNO,/(x)>0,求a取值范围.

【答案】⑴"X)的极小值为一一―=,无极大值.

e2

⑵[o，e。]

【解析】

【分析】⑴由。=一1得，/(x)=xe'+1x2+x-l,求导函数得了'(x)=(x+D(e'+l),

根据xeR,判断函数单调性即可得/(x)的极值；

(2)求导函数可得/'(x)=(x+*e*-a),分别讨论当a<l时，当a>l时，函数的单

调性，确定是否满足xNO,/(x)wo恒成立，从而可得a的取值范围.

【小问1详解】

解：若〃=一1,则/(x)=xe'+gd+冗一1,xeR

所以f(x)=e"+xev+x+l=(x+])(e」+]),

则当无<—1时，r(x)<0,所以在(—8,—1)上单调递减；

当力>—1时,/”)>0,所以/'(%)在(-1,+8)上单调递增；

所以，当x=—1时，/(X)取得极小值为—-—无极大值.

【小问2详解】

解:由题得，/,(%)=ev+xex-a(x+l)=(x+l)[eA-«),

由于xNO,则e*21

当时,可知r(x)NO,函数“X)单调递增，

故xNO时，f(x)Nf(O)=aNO,所以OWaWl满足条件；

当〃>1时，/'(x)=0,得x=lna,则可得0<x<lna时,尸卜)<0,/(x)单调递减;

x>lna时，网火>0,7(x)单调递增.

所以在区间[0,+8)上，当x=lna时，/(x)取得极小值，也即为最小值.

由于xNO,〃x)zo恒成立.

则篇,(xN/anablndeiM-agira+lna—l〉。，即有

alna-a(gln2a+lna-l)»0,又。>1,

所以可得51n之a41,解得l<a《e血，

综上，a的取值范围是[0,e&].

【点睛】本题考查了函数与不等式的综合应用，涉及了利用导数研究函数的单调性与极值、

利用导数研究函数的最值，对于不等式恒成立问题，常见的解法有：参变量分离法、数形结

合法、最值法等，属于中档题.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则

按所做的第一题记分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

v-J3+tCOSOL

22.在直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为《（，为参数）.以坐标原点

y=tsina

8

为极点，X轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为。92=----------,直线

5-3cos2〃

/与曲线C相交于A,8两点，M（6,0）.

（1）求曲线C的直角坐标方程；

（2）若AM=2MB，求直线/的斜率.

r2

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）±^-

一2

【解析】

x=pcosO

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化（y=psin。,运算求解；（2）联立直线

222

/的参数方程和曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.

【小问1详解】

.28________________8_______________4

。5-3cos265（cos?e+sin?0）—3（COS2O—sin?6）cosZe+dsin*'则

p1cos20+4夕2sin26=4,

2

AX2+4/=4,即?+/=1,

v-2

故曲线C的直角坐标方程为上+y2=］.

4-

【小问2详解】

将直线/的参数方程为1尤=6+'c°sac为参数）代入曲线c的直角坐标方程为

y=tsina

X*22,石+/COSQ),

1+y=1，得^——-一^-+(/sina)2=r

整理得(cos2a+4sin?a^r+(2百cose)/-1=0,

设A,B两点所对应的参数为小弓，则

26cosa

t+t=----2---------；-9

}2cosa+4sirracos2a+4sin2a

,•*AM=2MB-则GN，

4出