专题1.1 二次函数的图像与性质（一）（六大题型）（解析版）

专题1.1二次函数的图像与性质（一）（六大题型）重难点题型归纳【题型1判断二次函数的个数】【题型2利用二次函数的概念求字母的值】【题型3二次函数的一般式】【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】【题型1判断二次函数的个数】【典例1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，⑥y＝x2++5其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：①y＝2x﹣1是一次函数；②y＝﹣2x2﹣1是二次函数；③y＝3x3﹣2x2不是二次函数；④y＝2（x+3）2﹣2x2不是二次函数；⑤y＝ax2+bx+c不一定是二次函数；⑥y＝x2++5不是二次函数；∴②是二次函数，共1个，故选：A．【变式1-1】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2（x+3）2﹣2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：②是二次函数，共1个，故选：A．【变式1-2】已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解答】解：②④是二次函数，共2个，故选：B．【变式1-3】已知函数：①y＝ax2；②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2；④y＝+x．其中，二次函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：根据定义②y＝3（x﹣1）2+2；③y＝（x+3）2﹣2x2是二次函数故选：B．【变式1-4】下列函数中，是二次函数的有（）①y＝9x2﹣（3x﹣1）2；②；③y＝x（1﹣x）；④y＝（1﹣2x）2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①y＝9x2﹣（3x﹣1）2＝9x2﹣9x2+6x﹣1＝6x﹣1，不是二次函数；②y＝，不符合二次函数的定义，不是二次函数；③y＝x（1+x）＝x2+x，是二次函数；④y＝（1﹣2x）2＝4x2﹣4x+1，整理后是二次函数．故选：B．【变式1-5】下列函数中，是二次函数的有（）①y＝1﹣3x2；②y＝；③y＝x（1+x）；④y＝（1﹣2x）（1+2x）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①y＝1﹣3x2，是二次函数；②y＝，不符合二次函数的定义，不是二次函数；③y＝x（1+x），整理后是二次函数；④y＝（1﹣2x）（1+2x），整理后是二次函数；故选：C．【题型2利用二次函数的概念求字母的值】【典例2】已知y关于x的二次函数解析式为y＝（m﹣2）x|m|，则m＝（）A．±2 B．1 C．﹣2 D．±1【答案】C【解答】解：由题意得：|m|＝2且m﹣2≠0，∴m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2，故选：C．【变式2-1】有二次函数y＝xm﹣2﹣2x+1，则m的值是（）A．4 B．2 C．0 D．4或2【答案】A【解答】解：∵函数y＝xm﹣2﹣2x+1是二次函数，∴m﹣2＝2，解得m＝4．故选：A．【变式2-2】已知y＝mx|m﹣2|+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．0 B．1 C．4 D．0或4【答案】C【解答】解：由题意得：|m﹣2|＝2，且m≠0，解得：m＝4，故选：C．【变式2-3】若函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a≥1 C．a≤﹣1 D．a≠﹣1【答案】D【解答】解：∵函数y＝（a+1）x2+x+1是关于x的二次函数，∴a+1≠0，解得a≠﹣1．故选：D．【变式2-4】如果函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，那么m的值为﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）x|m﹣1|+3x﹣1是二次函数，∴|m﹣1|＝2，且m﹣3≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．【变式2-5】若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，则a的取值范围是a≠2．【答案】a≠2．【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣3x+4是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故答案为：a≠2．【题型3二次函数的一般式】【典例3】二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．3【答案】C【解答】解：二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是﹣2，故选：C．【变式3-1】将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（）A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x【答案】D【解答】解：y＝x（x﹣1）+3x＝x2+2x，即y＝x2+2x．故选：D．【变式3-2】把二次函数y＝﹣（x+3）2+11变成一般式是（）A．y＝﹣x2+20 B．y＝﹣x2+2 C．y＝﹣x2+6x+20 D．y＝﹣x2﹣6x+2【答案】D【解答】解：y＝﹣（x+3）2+11＝﹣x2﹣6x﹣9+11＝﹣x2﹣6x+2．故选：D．【变式3-3】把二次函数y＝﹣（x+3）（x+4）+11变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为（）A．﹣1，﹣1 B．﹣1，1 C．﹣1，7 D．﹣1，﹣7【答案】D【解答】解：y＝﹣（x+3）（x+4）+11＝﹣（x2+7x+12）+11＝﹣x2﹣7x﹣12+11＝﹣x2﹣7x﹣1，故二次项系数和一次项系数分别为：﹣1，﹣7．故选：D．【变式3-4】二次函数的一般形式为（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝ax2+bx+c（a≠0） C．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac≥0） D．y＝ax2+bx+c（b2﹣4ac＝0）【答案】B【解答】解：根据一元二次方程的一般形式的概念知，应为y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），故选：B．【变式3-5】把抛物线y＝（x﹣1）2+1化成一般式是y＝x2﹣2x+2．【答案】y＝x2﹣2x+2．【解答】解：y＝（x﹣1）2+1＝x2﹣2x+1+1＝x2﹣2x+2．故答案为：y＝x2﹣2x+2．【变式3-6】把y＝（3x﹣2）（x+3）化成一般形式后，一次项系数与常数项的和为1．【答案】1．【解答】解：y＝（3x﹣2）（x+3）＝3x2+7x﹣6，其中一次项系数为7，常数项为﹣6，∴一次项系数与常数项的和为：7+（﹣6）＝1，故答案为：1．【题型4根据实际问题列二次函数-销售问题】【典例4】某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（）A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）【答案】D【解答】解：当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个，∴销售单价为x元时，每天的销售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天销售纪念品获得的利润w＝（x﹣40）y，∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．故选：D．【变式4-1】某商品现在的售价为每件60元，每星期可销售300件．商场为了清库存，决定让利销售，已知每降价1元，每星期可多销售20件，那么每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为（）A．W＝（60+x）（300+20x） B．W＝（60﹣x）（300+20x） C．W＝（60+x）（300﹣20x） D．W＝（60﹣x）（300﹣20x）【答案】B【解答】解：依题意，每星期的销售额W（元）与降价x（元）的函数关系为W＝（60﹣x）（300+20x），故选：B．【变式4-2】“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（）A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）] B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）] C．w＝（x﹣50）（200+×10） D．w＝（x﹣50）（200+×10）【答案】D【解答】解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+×10）件，根据题意得：w＝（x﹣50）（200+×10），故选：D．【变式4-3】2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（）A．w＝（200+×4）（x﹣48） B．w＝（200﹣×4）（x﹣48） C．w＝（200﹣×4）（x﹣34） D．w＝（200+×4）（x﹣48）【答案】C【解答】解：设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为：w＝（200﹣×4）（x﹣34）．故选：C．【变式4-4】某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，那么y与x的函数关系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．【答案】y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．【解答】解：每件商品的售价上涨x元，则每件的利润为60﹣50+x＝（10+x）元，每月销售量减少10x件，根据题意可得，y＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000，∵每件售价不能高于72元，∴0≤x≤12．∴y与x的函数关系式是y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．故答案为：y＝﹣10x2+100x+2000（0≤x≤12）．【变式4-5】某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表．x（元∕件）15182022…y（件）250220200180…按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是w＝﹣10x2+500x﹣4000．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图表中数据得出y与x是一次函数关系，设解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400；故日销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣10x+400）＝﹣10x2+500x﹣4000．故答案为：w＝﹣10x2+500x﹣4000．【变式4-6】某商店销售一种进价为50元/件的商品，当售价为60元/件时，一天可卖出200件；经调查发现，如果商品的单价每上涨1元，一天就会少卖出10件．设商品的售价上涨了x元/件（x是正整数），销售该商品一天的利润为y元，那么y与x的函数关系的表达式为y＝﹣10x2+100x+2000．（不写出x的取值范围）【答案】见试题解答内容【解答】解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60﹣50+x）元，总销量为：（200﹣10x）件，商品利润为：y＝（10+x）（200﹣10x）＝﹣10x2+100x+2000．故答案为：y＝﹣10x2+100x+2000．【变式4-7】新华商场销售某种品牌的童装，每件进价为60元，市场调研表明：在一个阶段内销售这种童装时，当售价为80元，平均每月售出200件；售价每降低1元，平均每月多售出20件．设售价为x元，则这种童装在这段时间内，平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式是y＝﹣20x+1800；平均每月的销售利润W（元）与x满足的函数关系式是W＝﹣20x2+3000x﹣108000．【答案】见试题解答内容【解答】解：设售价为x元，则平均每月的销售量y（件）与x满足的函数关系式为：y＝200+20（80﹣x），化简整理，得y＝﹣20x+1800；平均每月的销售利润W（元）与x满足的函数关系式是：W＝（x﹣60）（﹣20x+1800），化简整理，得W＝﹣20x2+3000x﹣108000．故答案为y＝﹣20x+1800；W＝﹣20x2+3000x﹣108000．【题型5根据实际问题列二次函数-面积类】【典例5】将一根长为50cm的铁丝弯成一个长方形（铁丝全部用完且无损耗）如图所示，设这个长方形的一边长为x（cm），它的面积为y（cm2），则y与x之间的函数关系式为（）A．y＝﹣x2+50x B．y＝x2﹣50x C．y＝﹣x2+25x D．y＝﹣2x2+25【答案】C【解答】解：设这个长方形的一边长为x（cm），则另一边长为（50﹣x）cm，根据题意可得：y＝（50﹣x）•x＝﹣x2+25x．故选：C．【变式5-1】长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y＝x2B．y＝12﹣x2C．y＝（12﹣x）•x D．y＝2（12﹣x）【答案】C【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），∴长方形的另一边长为12﹣x，∴y＝（12﹣x）•x．故选：C．【变式5-2】长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，则y与x之间的关系式是（）A．y＝32﹣4x（0＜x＜6） B．y＝32﹣4x（0≤x≤6） C．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0＜x＜6） D．y＝（10﹣x）（6﹣x）（0≤x≤6）【答案】A【解答】解：∵长方形的长为10cm、宽为6cm，它的各边都减少xcm，得到的新长方形的周长为ycm，∴y与x之间的关系式是：y＝2[（10﹣x）+（6﹣x）]＝32﹣4x（0＜x＜6）．故选：A．【变式5-3】如图，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，该农场计划用木材围成总长24m的栅栏，设面积为s（m2），垂直于墙的一边长为x（m）．则s关于x的函数关系式：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）（并写出自变量的取值范围）【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则：s＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x由图可知：24﹣4x＞0，x＞0，所以x的取值范围是0＜x＜6，故答案为：s＝﹣4x2+24x（0＜x＜6）．【变式5-4】如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为S＝﹣3x2+24x；自变量x的取值范围为≤x＜6．【答案】S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．【解答】解：设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为：S＝（21﹣3x+3）x＝﹣3x2+24x；由题意可得：，解得：≤x＜6．故答案为：S＝﹣3x2+24x，≤x＜6．【变式5-5】如图，某农场要盖一排三间同样大小的长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏，栅栏的总长为24m，设羊圈的总面积为S（m2），垂直于墙的一边长为x（m），则S关于x的函数关系式为S＝﹣4x2+24x．（不必写出自变量的取值范围）【答案】S＝﹣4x2+24x．【解答】解：根据题意可知，三间羊圈与旧墙平行的一边的总长为（24﹣4x），则：S＝（24﹣4x）x＝﹣4x2+24x，故答案为：S＝﹣4x2+24x．【变式5-6】有一长方形纸片，长、宽分别为8cm和6cm，现在长宽上分别剪去宽为xcm（x＜6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y＝x2﹣14x+48，其中x是自变量，y是因变量．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵剩余部分是一个长方形，而长方形面积＝长×宽，∴y＝（6﹣x）（8﹣x）＝x2﹣14x+48，y因x的变化而变化，∴x是自变量，y是因变量．故答案为：x2﹣14x+48，x，y．【题型6根据实际问题列二次函数-几何类】【典例6】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：△PBQ的面积S随出发时间t（s）成二次函数关系变化，∵在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，∴BP＝12﹣2t，BQ＝4t，∴△PBQ的面积S随出发时间t（s）的解析式为：S＝（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t，（0＜t＜6）．【变式6-1】如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为20cm，AC与MN在同一条直线上，开始时点A与点N重合，让△ABC以2cm/s的速度向左运动，最终点A与点M重合，求重叠部分的面积ycm2与时间ts之间的函数关系式．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴重叠部分也是等腰直角三角形，又∵AN＝2t，∴AM＝MN﹣AN＝20﹣2t，∴MH＝AM＝20﹣2t，∴重叠部分的面积为y＝（20﹣2t）2＝2t2﹣40t+200．【变式6-2】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵PB＝6﹣t，BE+EQ＝6+t，∴S＝PB•BQ＝PB•（BE+EQ）＝（6﹣t）（6+t）＝﹣t2+18，∴S＝﹣t2+18（0≤t＜6）．【变式6-3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AC向C以2mm/s的速度移动，动点Q从点C开始沿边CB向B以4mm/s