2022年湖北省襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟（一模）数学试题（解析版）

2022年襄阳市初中毕业生“新中考”文化课模拟考试

数学试题

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将其序号在答题卡上涂黑作答.

1.在百，；，0,—2这四个数中，为无理数的是（）

A.B.—C.0D.—2

【答案】A

【解析】

【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）选出即可.

【详解】解：4,0，—2是有理数，

有无理数，

故选A.

【点睛】本题考查了无理数的定义的应用，注意：无理数包括三方面的数：①含万的，②一些有规律的

数，③开方开不尽的根式.

2.下列几何体中，俯视图是矩形的是（）

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：选项A、D的俯视图是圆，选项B的俯视图是矩形，选项C的俯视图是三角形，故答

案选B.

考点：几何体的俯视图.

3.下列计算正确的是（）

A./+“3=”6B.a3-a2=a6C.（必『=加D.（a3）'=ab

【答案】D

【解析】

【分析】利用合并同类项的法则，累的乘方与积的乘方的法则，单项式乘单项式的法则对各项进行运算即

可.

【详解】解：A./+/=2/0〃6,故不符合题意；

B.03以2=。5。〃6,故不符合题意；

C.（〃。）2="从二。〃，故不符合题意；

D.（tz3）2=a6,故符合题意；

故选：D.

【点睛】本题主要考查合并同类项，同底数基的乘法，积的乘方与幕的乘方，解题的关键是对相应的运算法

则的掌握.

4.如图，直线a〃从RfZ\ABC的直角顶点C在直线b上.若Nl=50°,则N2的度数为（）

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】由平角的定义可求得NBC。的度数，再利用平行线的性质即可求得N2的度数.

【详解】解：如图所示：

VZ1=5O°,ZACB=90°,

：.ZBCD=\S00-Z1-ZBCD=40°,

'：a//b,

N2=NBCD=40。.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等.

5.下列说法正确的是（）

A.“三角形的外角和是360。”是不可能事件

B.调查某批次汽车的抗撞击能力适合用全面调查

C.了解北京冬奥会的收视率适合用抽样调查

D.从全校1500名学生中抽取100名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为1500

【答案】C

【解析】

【分析】根据不可能事件、全面调查、抽样调查和样本容量的概念对各选项分析判断后利即可.

【详解】解：A、三角形内角和为360°为必然事件；故选项错误，不符合题意；

B、调查某批次汽车的抗撞击能力具有破坏性，所以适合抽样调查，故选项错误，不符合题意；

C、调查北京冬奥会的收视率，调查人数众多不适合全面调查，适合抽样调查，故选项正确，符合题意；；

D、样本容量为100,故选项错误，不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了不可能事件、全面调查、抽样调查和样本容量的概念的概念，掌握它们的概念是解题

的关键.

选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法

进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往

选用普查.

在一定条件下不可能发生事件叫不可能事件.

样本容量是指一个样本中所包含的单位数量.

6.有一人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有121个人患了流行性感冒，设每轮传染中平均一个人传染

了x个人，则根据题意可列方程为()

A.l+x(x+l)=121B.(1+x)2=121

C.(l+x)x=121D.x+x(x+l)=121

【答案】B

【解析】

【分析】若每轮传染中平均一个人传染的人数为X人，则第一轮传染了X人，第二轮传染了X(1+X)人，

根据经过两轮传染后共有121人患了流行性感冒，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【详解】解：若每轮传染中平均一个人传染人数为x人，则第一轮传染了x人，第二轮传染了x(l+x)

人，

依题意得：1+x+x(1+x)=121.

即：（1+x）2=121

故选：B

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关

键.

7.如图，在AABC中，A3=AC,点O,E分别为边BC,AC的中点，延长OE至点F,且EF=DE,

则四边形ADCF一定是（）

C.正方形D.矩形

【答案】D

【解析】

【分析】由A8=AC,点。为2C的中点，可证明NA£）C=90°（等腰三角形三线合一）；再由题意E为

AC的中点，EF=DE,根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，可证明四边形4OC尸是平行四边

形，结合NADC=90°可证明四边形4OC尸是矩形.

【详解】解：；AB=AC,点。为8c的中点，

AADJ.BC,即NAZ）C=90。，

••,E为AC的中点，

AE=CE,

又•:DE=FE，

：.四边形AOC尸是平行四边形，

又•••ZADC=90°,

四边形AOC尸是矩形.

故选：D

【点睛】本题主要考查了矩形的判定，解题关键是熟练掌握矩形的判定条件.

2

8.对于反比例函数y=-一，下列说法不正确的是（）

x

A.图象分布第二、四象限B.图象关于原点对称

C.图象经过点（1,-2）D.若点A（x「x）,8（乙,%）都在该函数图象上，

且芭<w，则M<必

【答案】D

【解析】

【分析】根据反比例函数图象与性质对各选项进行判断即可.

【详解】解：2<0,

图象在第二、四象限，关于原点对称，

故A,B正确，不符合题意；

将％=1代入解析式得y=-2

...图象经过点(1,-2)

故C正确，不符合题意；

根据反比例函数在x<o或x>o上，y随着x的增大而增大，

...当王<*2时，X，%的大小无法确定

故D错误，符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质.解题的关键在于熟练掌握反比例函数的性质.

9.如图，点A,B,C在正方形网格的格点处，sin/ABC等于()

C

A.-B.@C.还D.-

2555

【答案】B

【解析】

【分析】由勾股定理求出AC,AB,BC的长度，由勾股定理的逆定理判断AABC是8c为斜边的直角三角

形，即可求得sin/ABC.

详解】解：由勾股定理可得

AC=jF+22=&,AB=722+42=275-8c=/32+42=5

•/AC'+AB'=(V5)2+(2>/5)2=25=BC2

AABC是8c为斜边的直角三角形

/.sinZABC=—=—

BC5

故选：B

【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，求正弦，解答本题的关键是判断出AA8C的形状.

10.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）

A.2a+b<0B.abc>0

C.b2-4ac>0D.3a+2h+c>0

【答案】A

【解析】

【分析】根据图象可知。，上c的取值范围，进而可判断B的正误；根据对称轴大于1小于2,计算可判断

A的正误；根据方程的根的个数可判断c的正误；由图象可知x=G时，y>0,有

a+6b+c=3a+6b+c>4,2b>6b，进而可判断D的正误.

b

【详解】解：由图象可知a<0,c<0,1<---<2

2a

.*./?>0,〃+2。>0

故A错误，符合题意；

abc>0

故B正确，不符合题意；

・・•方程办2+法+c=o,有两个不等的实数根

△=b2-4ac>0

故C正确，不符合题意；

V〃+\/§/?+c=3Q+G〃+C>0,2b>6b

***3。+2〃+c>3。+6b+c>0

故D正确，不符合题意；

故选A.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，与一元二次方程的关系.解题的关键在于熟练掌握二次函数

的图象与性质.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)把答案填在答题卡的相应位置上.

H.计算：卜2|+3°=_____.

【答案】3

【解析】

【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数嘉法则计算即可得到结果.

【详解】解：原式=2+1=3,

故答案为:3.

【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

x+2>0

12.不等式组《“八、，的解集为______.

2(x+l)2x-l

【答案】x>-2

【解析】

【分析】分别求出①②的解集，再找到其公共部分即可.

【详解】解：,+匠-1②

由①得，x>-2,

由②得，x>-3,

不等式组解集为x>-2.

故答案为x>-2.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟悉“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小

解不了”是解题的关键.

13.2022年2月4日北京冬奥会开幕后，冬奥会吉祥物冰墩墩彻底火了.小明和小华各自从短道速滑、花

样滑冰、跳台滑雪三类冰墩墩徽章中随机购买一枚，他们购买的徽章类型相同的概率是.

【答案】-

3

【解析】

【分析】根据题意用树状图列出所有可能性，即可得到购买的徽章类型相同的概率

【详解】设小明和小华分别用甲、乙表示，短道速滑、花样滑冰、跳台滑雪分别用A、3、。表示，画树

状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中小明和小华购买的徽章类型相同的有3种结果，即AA,

31

BB，CC三种结果，所以小明和小华购买的徽章类型相同的概率为三=彳，

93

故答案为：一.

3

【点睛】本题考查了用列举法求概率，解答本题的关键是理解题意并画出树状图.

14.如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m,当平行于墙面的边长为

m时，菜园的面积最大.

------[8m--------

墙一

菜园

【答案】15

【解析】

【分析】设平行于墙面的边长为xm,则垂直于墙的边长为:(30-x)m,则

1V

S菜园二—Q(X—15)4——(0<x<18),由此求解即可.

【详解】解：设平行于墙面的边长为xm,则垂直于墙的边长为:(30-x)m,

S菜园=x-g(3。-力-9+i5x=—；(x-15)-+言(0<x418),

.•.当x=15时，S有最大值，

...当平行于墙面的边长为15m时，菜园的面积最大.

故答案为：15.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出面积与平行于墙的边长

之间的关系.

15.点4,B,C为。。上不同的三点，若NAOB=100°,则a4c8为.

【答案】50°或130°

【解析】

【分析】如图，ZACB=ZACtB,ZACB=ZAC2B,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接

四边形对角互补，计算求解即可.

【详解】解:如图，

由题意知NAGB=gNAOB=50°,^C2B=\80°—50°=130°

NACB的度数为50°或130°

故答案为：50。或130。.

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角是圆心角的一半，圆内接四边形对角互补.解题的关键在于全面考

虑两种情况.

16.如图，AABC为等边三角形，点。，E分别在边AB,AC上，BD=3,将沿直线OE翻折得

到VFDE,当点F落在边BC上，且户时，Z)E-AE的值为

A

【解析】

【分析】根据△ABC为等边三角形，ZVIOE与△FQE关于力E成轴对称，可证△B£>FsZ\CFE,根据

BF=4CF,可得CP=4,根据4尸为轴对称图形对应点的连线QE为对称轴，可得OELA居

Jnopi

根据SEliimADFE--DE-AF=S&CEF=-SSKEF,进而可求£)E-AF-........—.

23

【详解】解：如图，作aABC的高A3作△BO尸的高。H,

ABC为等边三角形，△4£)£：与△/£>£关于OE成轴对称,

:.NDFE=/DAE=60°,AD=DF,

:.NCFE+NFEC=NCFE+NDFB=120°,

/DFB=Z.CEF,

又N8=NC=60°,

:ABDFsACFE,

.BDCF

••=,

BECE

设CF=x(x>0),

■;BF=4CF,

：.BF=4X9

*.•BD=3f

BC=BF+CF=4x+x=5x,

4x2

・•・AD=AB—BD=BC—BD=DF=5x-3,AE=EF=5x--

•:/XBDFS&CFE,

DFBD

EFCF

5x-33

u4xx

5x——

3

解得:x=2,

/.CF=4,

/.BC=5x=10,

・・,在心△48L中，ZB=60°f

：.AL=ABsin600=10X3=5百，

2

SAABU—x10x5>/3—25*\/3,

2

■:在Rf/XBHD中,BD=3,NB=600,

・・.D/7=BDsin60°=3x—=，

：.S^DF--BFDH=-xSx—=6y/3，

222

"：/XBDF^^CFE,

•黑也」㈣2⑶2=2

S«CFEICFJbJ4’

又..乂尸为轴对称图形对应点的连线QE为对称轴,

：.AD=DF,△/!£)尸为等腰三角形，DELAF,

SVHHDHADFE--DE-AF-S^CEF=~S^BC~S&CEF

2

.256一6舁述=迪，

33

.“人厂9873

・・DE•AF=-----•

3

故答案为：见叵.

3

【点睛】本题主要考查等边三角形的和折叠的性质，一线三等角证明a型相似，以及“垂美四边形”的性

质：对角线互相垂直的四边形的面积=对角线乘积的一半.

三、解答题(本大题共9个小题，共72分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，并

且写在答题卡上每题对应的答题区域内.

【答案】--

x-2

【解析】

【分析】先进行因式分解和通分，然后乘除运算即可.

—x2+4x+4(4、

【详解】解：—i-------x—

X2+2XIX)

32)2.产“

x(x+2)1x,

_x+2x

x(x+2)(x-2)

1

x—2

【点睛】本题考查了分式的化简，分式的加减运算.解题的关键在于熟练掌握因式分解与通分.

18.某校对九年级400名男生立定跳远成绩(单位：cm)进行统计.现随机抽取10名男生的成绩数据进行

分析：

收集数据：

190,256,218,244,235,240,242,235,245,205

整理数据：

不及格及格良好优秀

成绩x(cm)

(x<193)(193<x<221)(221<x<241)(x>241)

人数1234

分析数据:

项II平均数中位数众数方差

数据231ab375

(1)填空：a=b=；补全条形图(直接在图中补出);

(2)若该校九年级女生立定跳远成绩的方差为200,那么九年级男女生立定跳远成绩更整齐的是_____生

(填‘'男"或"女")；

(3)某男生立定跳远成绩为230cm,他认为该校九年级至少有一半男生立定跳远成绩没他好，他的观点

(填“正确”或“错误”)；

(4)该校九年级男生立定跳远成绩优秀的约有人.

【答案】(1)图见解析,237.5,325

(2)女(3)错误

(4)10

【解析】

【分析】(1)根据众数和中位数的定义即可得出a和b的的值，根据表中数据补全条形图；

(2)比较女生立定跳远成绩的方差和男生立定跳远成绩的方差即可得出答案；

(3)根据中位数的意义，即可进行判断；

(4)求出男生立定跳远成绩优秀的百分比，然后乘以400计算即可得解.

【小问1详解】

解:：10名男生的成绩从小到大为：190,205,218,235,235,240,242,244,245,256

•••女生立定跳远成绩的方差为200,男生立定跳远成绩的方差为375,

.\200<375

立定跳远成绩更整齐的是女生；

【小问3详解】

•••男生立定跳远成绩的中位数为237.5

•••该校九年级至少有一半男生立定跳远成绩为237.5

他的观点错误

【小问4详解】

4

400x—=160A.

10

【点睛】本题考查了频率分布直方图，用样本估计总体，众数，中位数的定义，读图时要全面细致，同

时，解题方法要灵活多样，切忌死记硬背，要充分运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际

问题.

19.如图，襄阳古城昭明台是为纪念南朝梁昭明太子萧统而建，也是襄阳市的重点文物保护单位.某校数

学兴趣小组准备利用所学的数学知识来测量昭明台AB的高度.在点C处测得顶部A的仰角为22。，沿CB

方向前行51米到达点力处，测得顶部A的仰角为45。.求昭明台4B的高度（结果保留整数.参考数据：

sin22°«0.37,cos22°«0.93,tan22°»0.401y/2«1.41)•

【答案】34米

【解析】

【分析】设AB=x,在RtZ\ABC和RtZsAB。中，用x把CB和8用三角形函数表示出来，列出关于x的

方程，解方程即可.

【详解】解：设在RtZ\ABC中，

ZC=22°,

ABxx5

..CB—....=------=—=—x,

tanCtan22°0.42

在RtAABD中，

：ZAD5=45°,

ccABx

DB=--------=------=x,

tanZADBtan45°

'：CD=5],

.5「

・・一x-x=51,

2

解得：x=34,

答：昭明台AB的高度为34米.

【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，根据三角函数表示出线段长度，列出方程是解决问题的关键.

20.如图，在AABC中，NB4C=90°,AC=6,BC=10.

（1）尺规作图，作C。平分NACB交AB于点。（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）求）。的长.

【答案】（1）作图见解析

（2）AO的长为3

【解析】

【分析】（1）如图1，在线段BC上取点/使CV=AC,分别以A、尸为圆心，大于‘AF为半径画弧,

2

交点为E，连接CE与A5的交点即为。；

(2)如图2,作DWJL8C于“，由角平分线的性质可知AT>=DM，证明

RtAACD咨Rt酬CD(HL),可得BM=4,在ABC中，由勾股定理得AB=JBC?一AC?=8,设

AD=DM^x,则BO=8-x,在RsBDM中,由勾股定理得的〃=—ZW?即

42=(8-X)2-X2,计算求解x的值即可.

【小问1详解】

解：如图1,在线段上取点E使CE=AC,分别以A、尸为圆心，大于‘A尸为半径画弧，交点为

2

E，连接CE与A3的交点即为£).

【小问2详解】

解：如图2,作DWJ.BC于M

图2

由角平分线的性质可知AD=DW

在阳八4。£)和Rt^MCD中

CD=CD

AD=DM

：.RtAACD^R•CD(HL)

：.CM=AC^6

3M=4

在中，由勾股定理得AB=J_BC2_AC2=8

设AO=OM=x,则30=8—%

在RsBDM中,由勾股定理得=%>2—。“2即4?=(8-x)2-%2

解得x=3

，AO的长为3.

【点睛】本题考查了角平分线的画图，角平分线的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识.解

题的关键在于对知识的灵活运用.

21.探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的

过程.结合已有的学习经验，请画出函数y=等的图象并探究该函数的性质.

x+1

（1）绘制函数图象

①列表：下表是x与｝，的几组对应值，其中。=

・,・_33…

X-2-1012

~2~222

288882

y1a1

55

②描点：根据表中的数值描点（X,y）,请补充描出点（0,«）；

③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象.

（2）探究函数性质

2

请写出函数的两条性质：①______；②______；

x'+\

（3）运用函数图象及性质

根据函数图象，写出不等式一一21的解集是.

x+1

【答案】（1）①2；②答案见详解；③答案见详解；

（2）①函数图像关于y轴对称；②函数在x=0时取得最大值为y=2；

（3）-1<X<1.

【解析】

2

【分析】⑴①将广。代入产"即可"②描出点（0,6③请画出函数图象.

（2）写出两条符合图象的性质即可;

（3）根据图象即可求得.

【小问1详解】

2

①当X=0时，产—...=2,即67=2,

0"+1

故答案为2；

②如图，

③如图,

【小问2详解】

由图象可知，①函数图像关于y轴对称；②函数在x=0时取得最大值为产2；

故答案为：①函数图像关于y轴对称；②函数在40时取得最大值为）=2；

【小问3详解】

由图象可知，不等式一一21-的解集是-1勺区1.

x~+1

故答案为：-I姿1.

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，数形结合解题是关键.

22.如图，AABC内接于。。，点。是的中点，AD交BC于点E,。b〃5C交A8的延长线于点

F.

O.

9c

FD

(i)求证：。尸是。。的切线；

(2)若。。的半径为4,DE=币,BE=3CE,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)见解析(2)号万一3百

3

【解析】

【分析】(1)连接OB,OC,0D,根据力是BC的中点得出OCBC,根据£>F〃BC,得出。力，。尸，即

可证明。F是。。切线；

(2)设。M=x,根据勾股定理列出方程，解方程得出。M的值，进而求出。M,BM,CM,EM的值，根

据三角函数得出NOCM的度数，用扇形的面积减去△0cM不必OEM的面积得出阴影部分的面积即可.

【小问1详解】

证明：连接OB,OC,0D,设0。交BC于点M,如图所示：

是的中点，

NBOD=ZCOD,

"：OB=OC,

：.ODLBC,

NOA/B=90°,

•：DF〃BC,

：.ZODF=ZOMB=90°,

J.ODLDF,

是。。的半径,

是。。切线.

【小问2详解】

V0D1BC,

:・BM=CM,

■:BE=3CE,BE=BM+EM,BC=BE+CE,

,BM=2EM,

：.BM2=4EM2,

设DM=x,则OM=4—x,

在用△OBM中，由勾股定理得：

BMP=OB2-OM2=41-(4-x)2=8x-x2,

在心△£>西中，由勾股定理得：

/._\2

EI^1=DE1-DMt2=I<7j-x2=7-x2,

/.8x—x2=4(7—x2),

4

解得：尢=2或1=-§(舍去)，

：.DM=29

：.OAf=4-2=2,

BM=CM=18x2-22=2百，

EM=LBM=LX26=6

22

在RfZSOCM中，0M=2,0c=4,

1

sin

OC2

NOCM=30°,

AZC(?D=60°,

2

_60乃x4_8乃

扇形—―360-T

S„=(X2X2G=26

S&DEM=△

,•S阴影=S扇形-SGOCM~S△DEM-—7T—2A/3—y/3-—7T—3^3.

33

【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理和扇形面积公式，正确作出辅助线是解题得关键.

23.某草莓种植基地出售草莓的单价为〃元/斤，在临近春节时;该基地进行促销活动：一次性购买草莓

100斤以上，超过100斤部分的单价打8折.一超市每天都从该基地购进草莓进行销售，该超市购进草莓

的付款金额y（元）与购进量x（斤）之间的函数图象如图所示.

（1）求a的值；

（2）若该超市每天购进草莓不少于90斤，以35元/斤的价格进行销售，当天都能销售完，设每天销售草

建的利润为w元（不考虑销售过程中的损耗）.

①求w与x的函数关系式，并写出x的取值范围；

②超市每天在限定时间段以25元/斤的价格销售一定数量的特价草莓来回馈顾客.当购进量不超过100斤

时，特价草莓占购进量的W％（〃?为正整数）；当购进量超过100斤时，特价草莓占购进量的2m％.若超

市每天销售草莓的利润要超过810元，求m的最大值.

vv=10x(90<x<100)

【答案】（1）25②9

vv=15x-500(x>100)

【解析】

【分析】（1）由图象直接得a的值；

（2）①分900W100和x>100两种情况，根据总利润=单件利润x数量直接写出函数解析式;

②分90WxW100和x>100两种情况得到不等式分别求解，取m的最大值.

【小问1详解】

解：2500+100=25,

故a的值是25；

【小问2详解】

解：①当90WxW100时,

阴=35x-25x=10x；

当x>100时，

犷=35x-[25x100+25x0.8(xT00)]=15x-500

vv=10x(90<x<100)

故卬与X的函数关系式是

vv=15x-500(x>100)

②当90<xW100时,

35x(1-/%)+25x•/%-25X>810

整理得*

*>810

当后100时，相<19；

当x=90时,10

要使超市每天销售草莓的利润超过810元，

则修<10,

：机是正整数，

,"./n=9；

当x>100时,

35x(l-2加％)+25衣2/%-25x100-25x0.8(xT00)>810

7k一rn

整理得>1310

5

Vx>100,

〃?<9.5；

・・・〃2是正整数，

/.m=9；

综上所述，〃，的最大值是9.

【点睛】本题考查一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是分类思想的应用.

24.(1)证明推断

如图1,在正方形ABCO中，点E是对角线8。上一点，过点E作AE,B力的垂线，分别交直线BC于点

F,G.

BG

图1

EF

①求证：△ABEGFGE；②推断：一的值为.

AE

（2）类比探究

如图2,在矩形A8C。中，一=加，点E是对角线8。上一点，过点E作AE,8。的垂线，分别交直线

BC

BC于点片G.探究一的值（用含机的式子表示），并写出探究过程;

AE

图2

（3）拓展运用

在（2）的条件下，连接CE,当机=」，CE=C£＞时，若CG=1,求EF的长.

2

【答案】（1）①证明见解析；②1

EF

（2）—=m,过程见解析

AE

（3）|V10

【解析】

【分析】（1）①推出aSEG是等腰三角形，从而BE=EG,再推出ZAE8=/GERNABE=NG,从而

命题得证；

②根据①求得结果；

（2）根据（1）NAEB=NGEF,NEFG=NBAE,进而得出△ABEs△尸GE,进一步求得结果；

（3）作CHLBO于H,作EQLAB于。，设CZ）=a,根据“子母”型得出△CHOS/XBCZ）,表示出

DH,CH,EH,根据△BEGsaB/fC,从而求得a的值，再根据△BQEs^BA。求得QE和A。，进一步

求得结果.

【详解】解：（1）①证明：：四边形A8C。是正方形，

/ABC=90°,NABE=NGBE=45°,

'：EF±AE,EGLBD,

：.ZAEF=ZBEG=90°,

:.NAEF-NBEF=NBEG-NBEF,NG=90°-NEBG=45°,

：.NAEB=NFEG,NABE=/EBG=NG,

:.BE=EG,

在△ABE和△/GE中,

ZABE=ZG

<BE=FG,

ZAEF=ZFEG

：./XABE^/XFGE(ASA)；

②由①知：△ABEWAFGE,

：.AE=EFf

故答案是：1;

(2)•・,四边形ABC。是矩形，

：.CD=AB,ZC=90°,

由(1)得，

ZAEB=ZFEG,

VZABE=ZAEF=90°,

AZABE+ZAEF=90°+90°=180°,

：.ZBAE+ZBFE=\S0°,

9：ZBFE+ZBAE=]S00,

：.ZEFG=ZBAEf

：.MABEsXFGE,

.EFEG

，9~AE~~BE9

9：ZBEG=ZC=90°,ZCBD=ZEBG,

：./\BEG^/\BCDf

EGCDAB

..----=-----=-----=m,

BEBCBC

EF

(3)如图,

作CH_L8O于H,作EQ_LAB于Q,

设C£)=a,则BC=2a,

BD=yJcD2+BC2=石

■:NCDH=NCDB,ZCHD^ZBCD=90°,

:.△CHDS^BCD,

.PHCD_CH

"'~CD~~BD~^BC'

.PH_aCH

a亚a2a

:.DH=袅a，CH=^-a，

55

•：CD=CE,

：.EH=DH^—a，

5

:.BE=BD-DE=^~a，BH=-45a,

55

,JEG//CH,

:.丛BEGs丛BHC,

.BGBEEG

~~CH'

•_2_a__-_l__3__E_G_

2a~4~~CH，

."=2,

：.BE=^y/5,CH=与亚,

.\EG=^^,

5

•：QE//AD,

：.^BQE^>^BAD,

.QEBE_BQ

,•茄一茄一茄’

,QE_3_BD

••----------，

452

64

：.AQ=AB-BQ=2-y=y，

:.AE气AQ2+QE2，

由（2）得，

EFEG_1

~AE^~BE~2'

EF——AE=—VlO.

25

【点睛】本题考查了正方形性质，等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知

识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

25.已知顶点为。的抛物线y=-f+（加一1）%+加与X轴交于点A,8（点A在点B左边），直线y=〃与

抛物线分别交于点M,N（点M在点N左边）.

（1）如图，已知点。的横坐标为1.

①求抛物线的解析式；

②若直线丫=〃与线段DB交于点尸，求PN的最大值；

（2）若NDMN=45。,直接写出：

①”关于m的函数关系式；

②当时，机的取值范围.

-1

【答案】（1）@y=—x2+2x+3,②5

（2）①〃=《（m+l）2—1,②一54机v一1一2百或28-14加43

4

【解析】

【分析】（1）①根据点。的横坐标可求，*的值，即可求出函数解析式；

②根据函数解析式先求出点8点、。的坐标，再作垂线。C、NE构造直角三角形，利用相似比例即可表示

PN的关系式，配方即可求出最大值；

（2）①利用ZDMN=45°,构造等腰直角三角形△DWf，用含机的式子表示点例、点N坐标，继而

在表示线段长即可得到n与m的函数关系；

②根据〃与机的函数关系代入〃的取值范围求解即可.

【小问I详解】

解：①当点。的横坐标为1时，

bm-\

则对称轴》=一二=

2a2x(-1)

解得：m=3

抛物线解析式为：y=-x2+2x+3.

②如图，过点。作。交AB于点C

过点N作NELMN交BD于点E

令一%2+2%+3=0，得玉=-1，々=3

.•.点B坐标为（3,0）

对称轴x—1

...点。坐标为（1,4）,

则8=4,BC=2

设直线BD解析式为y=丘+伙女工0）

将点。(1,4),点B(3,0)代入y=fcr+b

G=3k+b

得：〈

A=k+h

k=-2

解得：〈

b=6

/.直线BD解析式为y=-2x+6

设点N横坐标为a,则纵坐标为_/+2a+3

则点E坐标为(a,-2。+6)

NE———ci~+2a+3—(—2a+6)

--a1+4。-3

CD//EN

：.AD=ZNEP,ZBCD=/ENP

△BCD^PNE

.CDBC

''~EN~~PN

.CDNE

...-P--E-=2c

PN

：,PN==PE

2

11,1,1

/.PN=_NE=_(-a、4a_3)=——(a-2)2+-

2222

的最大值为二.

【小问2详解】

解：①连接OM,过点、D作DHLMN交MN于点H

ZDMN=45°

AADMH为等腰直角三角形

•，点。为函数顶点

:,MH=DH=PN

：,2DH=MN

由y=-x2+(m-l)x+m

-r，口八.，•一位1(m+l)2

可得。的坐标为(-----------)x

24

/77—1

则”的坐标为(——,ri)

2

・nu(加+1)2

..DH=---------n

4

由一¥+(m-l)x+m=n

得：x2-{m-l)x-m+n=0

设4,x?为直线MN与抛物线交点的横坐标，即点M、点N的横坐标

：.MN=\x}-x2\

则玉+/二机-1,X)•x2=n-m

・.・(王一尢2)2=(玉+入2)2-4项工2，2DH=MN

・•・4DH2=MN2

可得：4""+D——n=(/T?-1)2-4(/?-m)

4

-

一)2

+D——n=—(7?z2-2m+1-4〃+4m)

4J4

——»2

(〃2+1)~1/2。iA\

---------n=­(m~4-2m+1-4n)

4J4

——12

(”+l)--n=-(7?z+l)2-n

4J4

——12l—

("+D——n-—(m+1)2-n=0

44

；（加+1）2-〃][；（加+1）2_〃一]卜0

11

可得：一（加+1）92-〃=0（舍）或一（加+1y7一〃-1=0

44

.•.刎+1）2_〃_]=0

1,

关于"的函数关系式为：〃=一（〃2+1）2—1.

4

②•；2<n<3

1