14.1.4（2）整式的除法（原卷版）

八年级上册数学《第十四章整式的乘法》14.1.4（2）整式的除法同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式知识点一知识点一同底数幂的除法◆1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．字母表示为：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）．◆2、同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ap＝amnp（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）．◆3、同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）．◆4、同底数幂的乘除法的比较同底数幂的运算公式底数指数相乘aᵐ·aⁿ=am+n(m,n都是正整数)不变相加相除am÷an＝am﹣n(a≠0,m,n都是正整数,并且m＞n)不变相减【注意】①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．知识点二知识点二零指数幂的意义性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1.即：a0=1(a≠0).【注意】1、只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1.2、底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0.知识点三知识点三单项式除以单项式◆1、单项式除以单项式法则：单项式相除,把系数、同底数的幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连它的指数一起作为商的一个因式.◆2、单项式除以单项式分为三个步骤：（1）把系数相除，所得结果做为商的系数；（2）把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式；（3）把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．知识点四知识点四多项式除以单项式◆1、多项式与多项式相乘法则：多项式除以单项式，就是用多项式的除以这个单项式，再把所得的商相加．◆2、关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式．◆2、用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+bm÷n=a+b．【注意】1、计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.2、计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同．题型一同底数幂的除法题型一同底数幂的除法【例题1】（2022•长丰县校级模拟）计算x4÷（﹣x）的结果是（）A．﹣x3 B．﹣x4 C．x3 D．x4解题技巧提炼1、同底数幂相除，底数不变，指数相减．2、计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形为相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．【变式11】（2022秋•晋江市期末）（﹣a6）÷（﹣a）2的运算结果是（）A．a4 B．﹣a4 C．a3 D．﹣a3【变式12】（2022春•东港市期末）若（x2）3÷xm＝x4，则m＝．【变式13】（2023秋•青秀区校级期中）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a4 B．a2+a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a4＝a2【变式14】（2022•天宁区校级模拟）若a7＝m，a5＝n（a≠0），那么a2用含m和n的代数式表示为（）A．m•n B．mn C．nm D．m【变式15】（2023春•渭南期中）已知（ax）y＝a6，（ax）2÷ay＝a4，求xy﹣3（2x﹣y）的值．【变式16】（2023秋•朝阳区校级月考）计算：（1）（﹣1）3−16+|2﹣（2）（y3）2•y2；（3）x2•（x2）3÷x5；（4）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2．题型二题型二同底数幂的除法的逆运算【例题2】（2023秋•安溪县期中）若am＝6，an＝2，则am﹣n＝．解题技巧提炼1、单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2、在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错．【变式21】（2022秋•南岗区校级月考）若3x＝a，3y＝b，则3x﹣y等于（）A．a+1b B．ab C．2ab 【变式22】（2022春•顺德区校级期中）若am＝5，an＝2，则am﹣2n等于（）A．1 B．9 C．3 D．5【变式23】（2022秋•渝中区校级月考）已知3a＝6，9b＝2，则3a﹣2b＝（）A．3 B．18 C．6 【变式24】（2022秋•新会区校级期末）已知am＝2，an＝3，ap＝5，则a2m+n﹣p的值是．【变式25】（2023春•渠县校级期末）已知ka＝4，kb＝6，kc＝9，2b+c•3b+c＝6a﹣2，则9a÷27b＝．【变式26】（2022春•毕节市月考）按要求解答下列各小题．（1）已知10m＝12，10n＝3，求10m﹣n的值；（2）如果a+3b＝3，求3a×27b的值；（3）已知8×2m÷16m＝26，求m的值．题型三零指数幂题型三零指数幂【例题3】（2022•丰泽区校级模拟）﹣50的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣1 D．1解题技巧提炼1、多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2、注意：(1)不要漏乘；(2)符号问题；(3)最后结果应化成最简形式(是同类项的要合并).【变式31】（2022春•阜宁县期末）n为整数，则下列运算结果不是1的为（）A．1n B．（﹣1）2n C．（π﹣3）0 D．（﹣1）2n+1【变式32】（2022•思明区校级二模）在0，2，（﹣3）0，﹣2这四个数中，最小的数是（）A．0 B．2 C．（﹣3）0 D．﹣2【变式33】（2023春•泰安期中）若a2，b＝﹣32，c＝（﹣3）0，那么a、b、c三数的大小为（）A．a＞c＞b B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a【变式34】（2022秋•广丰区期末）式子（x+2）0无意义时，x＝．【变式35】（2022春•庐阳区校级期中）已知(x−1)x2A．2 B．﹣1或1 C．﹣1或1或2 D．﹣1或2【变式36】（2023春•金寨县期末）计算：﹣14+（12）3×2﹣（﹣2）0【变式37】（2022秋•韩城市期末）计算：（﹣2）2﹣12022+（π﹣3.14）0．题型四单项式除以单项式题型四单项式除以单项式【例题4】（2023春•茂名期末）计算12a4b3c÷（﹣4a3b2）的结果是（）A．3a2bc B．﹣3a2bc C．﹣3abc D．3abc解题技巧提炼掌握单项式除以单项式的运算法则是解题的关键，注意在计算过程中，有乘方的先算乘方，再算乘除．【变式41】（2022春•沈北新区期中）计算：−12a2b÷（A．12a B．12a3b2 C．−12a D．−【变式42】（2022•合肥模拟）计算（2x）3÷（﹣x2）结果是（）A．﹣8x B．﹣2x C．2x D．.8x【变式43】（2022•安徽模拟）计算（2a2）3÷2（﹣a2）3的结果是（）A．﹣3 B．﹣4 C．4 D．﹣1【变式44】（2022•安徽二模）计算（﹣m2n3）6÷（﹣m2n3）2的结果是（）A．m8n12 B．m5n2 C．﹣m8n12 D．﹣m5n9【变式45】（1）计算：（﹣2ab）2•3b÷（−13ab（2）（2022春•通州区期末）计算：32（x3y2z）3÷（﹣8x5y4z2）．（3）（2022春•金凤区校级期中）（3a2b3）•（﹣2ab4）÷（6a2b3）．（4）（2022春•西安期末）计算：a•a2•a3+（﹣2a3）2﹣（2a4）2÷a2．题型五多项式除以单项式题型五多项式除以单项式【例题5】（2022秋•双阳区期末）计算（﹣4a2+12a3b）÷（﹣4a2）的结果是（）A．1﹣3ab B．﹣3ab C．1+3ab D．﹣1﹣3ab解题技巧提炼多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决．计算过程中，要注意符号问题.【变式51】（2022秋•曲靖期末）计算(3aA．32a2−12a+1C．6a4﹣2a3+a2 D．6a2﹣2a【变式52】A．x2+3x﹣1 B．x2+2x C．x2﹣1 D．x2﹣3x+1【变式53】已知一个多项式与单项式﹣7x5y4的积为21x5y7﹣14x7y4+（2x3y2）2，求该多项式．【变式54】（2023•五华县校级开学）（25x3y﹣10x2y2+15xy3）÷（﹣5xy）【变式55】（2022秋•惠东县校级月考）计算：（8x4﹣6x3﹣4x2+10x）÷（﹣2x）．题型六整式的混合运算题型六整式的混合运算【例题6】（1）（2022秋•朝天区期末）计算：（2a4b7﹣6ab2）÷2ab+（﹣ab2）3．（2）（2022秋•淮南期末）计算：（2a+b）（a﹣b）﹣（8a3b﹣4a2b2）÷4ab．解题技巧提炼在进行每一种运算时，要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法则与幂的各种运算性质，同时要注意运算顺序，计算过程中或结果中若有同类项，要注意合并同类项.【变式61】（2022春•碑林区校级月考）计算：a9÷a2•a+（a2）4﹣（﹣2a4）2．（2022春•陈仓区期末）计算：（x2）3•x3﹣（﹣x）2•x9÷x2．【变式62】（2022秋•伊通县期末）计算：[x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y．【变式63】[2x（x2y2﹣xy）﹣y（x2﹣x3y）]÷3x2y【变式64】（3x2y2﹣xy2）÷xy•（3x+1）．[2a5b4﹣a2（4a2b2+2b）]÷2a2b．【变式65】（2023秋•镇平县月考）已知A、B均为整式，A＝（xy+1）（xy﹣2）﹣2x2y2+2，小马在计算A÷B时，误把“÷”抄成了“﹣”，这样他计算的正确结果为﹣x2y2．（1）将整式A化为最简形式；（2）求整式B；（3）求A÷B的正确结果．题型七整式的化简求值题型七整式的化简求值【例题7】（2023春•达州期中）化简求值：[（x﹣y）2﹣x（3x﹣2y）+（x+y）（x﹣y）]÷2x，其中x＝1，y＝﹣2．解题技巧提炼1、先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．2、有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．【变式71】【变式72】（2022秋•克东县期末）先化简，再求值：[（−12x3y4）3+（−16xy2）2•3xy2]÷（−12xy2）3【变式73】先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）+（4ab3﹣8a2b2）÷4ab，其中a＝2，b＝1．【变式74】【变式75】题型八利用整式的除法求多项式中的未知项题型八利用整式的除法求多项式中的未知项【例题8】解题技巧提炼多项式除以单项式，结果中的各项分别是多项式里各项除以单项式的商，从等式中可以找出被除式和商里对应的项，根据“被除式=除式×商”确定说求的项.【变式81】（2022秋•兴城市期末）若（﹣25y3+15y2﹣5y）÷M＝﹣5y，则M＝．【变式82】（2023春•六盘水期中）小明在做作业的时候，不小心把墨水滴到了作业本上，■×3ab＝6ab﹣3ab3，阴影部分即为被墨汁弄污的部分，那么被墨汁遮住的一项是（）A．（2﹣b2） B．（2+2b） C．（3ab+2b2） D．（2ab+b2）【变式83】（2022秋•邻水县期末）小明的作业本上有一道题不小心被沾上了墨水：（24x4y3﹣■+6x2y2）÷（﹣6x2y）＝﹣4x2y2+3xy﹣y，通过计算，这道题的■处应是．【变式84】【变式85】（2022秋•廉江市期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（−12xy）＝3x2y﹣xy2+（1）求所捂的多项式；（2）若x=23，y题型九应用整式除法解决实际题型九应用整式除法解决实际【例题9】（2022春•抚州期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b解题技巧提炼整式的乘除在实际问题中的应用主要是先根据实际问题中的数量关系列出整式，然后再进行整式的混合运算即可.【变式91】（2023春•陈仓区期中）火星的体积约为1.35×1020立方米，地球的体积约为1.08×1021立方米，地球体积约是火星体积的倍．【变式92】（2023春•江州区期末）月球距离地球约为3.84×105千米，一架飞机速度为8×102千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需小时．【变式93】（2023秋•渝中区校级月考）太阳到地球的距离约为1.5×108km，光的速度约为3.0×105km/s，则太阳光从太阳射到地球的时间约为．【变式94】（2023春•宿州月考）若一个三角形的面积为x3y﹣3x2，它的一条边长为