专项四立体几何

考点8空间几何中平行与垂直的综合应用命题分析考向趋势直线与平面平行、垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容,涉及线线、线面、面面平行与垂直的判定及其应用等内容.主要以解答题的形式出现,解题要求有较强的推理论证能力,广泛应用转化与化归的思想以多面体(特别是棱柱、棱锥或其简单组合体)为载体,考查空间中平行与垂直的证明,常出现在解答题的第(1)问中,考查空间想象能力、推理论证能力及计算能力,属中低档问题【母题】(2021年全国Ⅲ卷,文T19)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.【拆解1】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱DD1,BB1上的动点,证明:EF⊥AC.【拆解2】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1,那么以下说法正确的选项是().A.EF=4B.EF与平面ABCD所成角的正弦值为1C.AE⊥AFD.△AEF是等腰三角形【拆解3】如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.那么过A,E,F三点的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的几何图形是().A.三角形B.菱形C.矩形D.平行四边形【拆解4】在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=3,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1,那么过A,E,F三点的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的几何图形的面积是.

1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ACC1A1⊥平面BCC1B1,四边形BCC1B1是矩形,E,F,G分别为BC,A1B1,A1C1的中点.求证:(1)BC⊥AC1;(2)点G在平面EFC内.2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC,D,E分别为AC,BB1的中点.证明:(1)BD⊥AC1;(2)AC1与A1C的交点O在平面BDE内.1.平行关系及垂直关系的转化证明空间平行、垂直关系的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.2.垂直、平行关系的证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.3.在点、线、面的位置关系的证明中,有些问题比较难,找不到证明思路,可以从拆图入手或从待证结论入手,将问题分解成几个简单的问题求解.1.(2021届黑龙江省鹤岗市一中月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥CD,CD⊥AC,过CD的平面分别与PA,PB交于点E,F.(1)求证:CD⊥平面PAC.(2)求证:AB∥EF.2.(2021年安徽皖南八校联考)如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是菱形,AA1=AC=2BD=4,F,Q分别是棱BB1,DD1的中点,E,P分别是棱AA1,CC1上的点,且AE=C1P=1.求证:(1)平面ACP⊥平面BDP;(2)EF∥平面BPQ.3.(2021年江苏省南通市模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,AB⊥BC,N是线段A1B的中点.(1)求证:直线AN⊥平面A1BC.(2)假设点M在线段BC1上,且MN∥平面A1B1C1,求证:M是线段BC1的中点.4.(2021年山东日照高三月考)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AA1=2AB,D是AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1CD.(2)假设点P在线段BB1上,且BP=14BB1,求证:AP⊥平面A15.(2021年江西省高三模拟)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,E为AC的中点,且AC=2BE.(1)证明:BC⊥平面PAB.(2)假设PA=AB=BE=2,求点C到平面PBE的距离.6.(2021年辽宁省沈阳市高三模拟)如图,在四边形ABCD中,BC=CD,BC⊥CD,AD⊥BD,以BD为折痕把△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PC⊥BC.(1)证明:PD⊥平面BCD.(2)假设M为PB的中点,PD=2CD,三棱锥P-BCD的外表积为6+22+23,求三棱锥P-MCD的体积.7.(2021年广东省珠海市三模)如下列图,在梯形ABCD中,AD∥BC,平面CDEF⊥平面ABCD,且四边形CDEF为矩形,BC=2AD=2,CF=23,AB=13,BE=26.(1)求证:AD⊥平面BDE.(2)求点D到平面BEF的距离.8.(2021年江苏省高三模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,E为侧棱PD的中点,O为AC与BD的交点.(1)求证:OE∥平面PBC.(2)假设平面PAD⊥平面ABCD,AC=4,AB=5,sin∠ABC=45,求证:AC⊥考点9空间几何中的翻折问题和探索性问题命题分析考向趋势在探索性问题中,考查热点是空间中的平行与垂直关系的判断与证明.题型以解答题为主,要求有较强的运算能力,会应用函数与方程的思想、转化与化归思想.将平面图形翻折成空间图形,是高考中的一种常见题型,也是高考常考考点此题型主要考查:(1)探索点的存在性;(2)探索平行或垂直关系;(3)由结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题;(4)翻折后空间关系的证明;(5)翻折中的探索性问题【母题】(2021年全国Ⅲ卷,文T19)图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE.(2)求图2中的四边形ACGD的面积.【拆解1】图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2所示,求证:A,C,G,D四点共面.【拆解2】图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2所示.那么平面ABC与平面BCGE的位置关系是.(填:相交但不垂直、垂直)

【拆解3】图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2所示.过点E作EH⊥BC,垂足为H,那么EH=.【拆解4】如图,ADEB是矩形,AB⊥BC,BEGC是菱形,∠EBC=60°,M是GC的中点,求证:GC⊥DM.【拆解5】图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2所示,那么四边形ACGD的面积为.

1.矩形ABCD,AB=2BC=2,E,F分别为DC,AB的中点,点M,N分别为DB的三等分点,将△BCD沿BD折起,连接AC,AE,AM,ME,CF,CN,FN.(1)求证:平面AEM∥平面CNF.(2)当AE⊥BC时,求△ABC的面积.2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,平面α经过直线BD且与直线C1E平行.(1)判断平面α截正方体所得的多边形的形状;(2)假设正方体的棱长为2,求平面α截正方体所得的多边形的面积.1.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变“性〞与“量〞,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度等.2.探究性问题、翻折性问题难度较大,求解时,可以通过拆图、拆条件、拆解结论,将问题转化为简单易求的问题.1.(2021届福建省龙岩市高三质检)如图1,菱形AECD的对角线AC,DE交于点F,点E为线段AB的中点,AB=2,∠BAD=60°,将△ADE沿线段DE折起到△PDE的位置,PC=62,如图2所示(1)证明:平面PBC⊥平面PCF;(2)求三棱锥E-PBC的体积.2.(2021届江西省南昌市八一中学三模)如图,在三棱锥P-ABC中,底面△ABC是边长为2的正三角形,PA=2,PA⊥底面ABC,点E,F分别为AC,PC的中点.(1)求证:平面BEF⊥平面PAC.(2)在线段PB上是否存在点G,使得三棱锥B-AEG的体积为36?假设存在,确定点G的位置;假设不存在,请说明理由3.(2021届甘肃西北师大附中高三模拟)如图1,在平行四边形ABCD中,AD=4,AB=22,∠DAB=45°,E为边AD的中点,以BE为折痕将△ABE折起,使点A到达P的位置,得到如图2所示的几何体P-EBCD.(1)证明:PD⊥BE.(2)当BC⊥平面PEB时,求三棱锥C-PBD的体积.4.(2021届福建省漳州市高三第三次质检)图1是由△PB1C和△PB2C组成的一个平面图形,其中PA是△PB1C的高,PB1=PB2,PA=AB1=2,AC=22,将△PB1A和△PB2C分别沿着PA,PC折起,使得B1与B2重合于点B,G为PC的中点,如图2所示.(1)求证:平面PAC⊥平面ABC.(2)假设CB2=2,求点C到平面ABG的距离.5.(2021届福建省莆田市高三联考)如图,正方形ABCD的边长为22,以AC为折痕把△ACD折起,使点D到达点P的位置,且PA=PB.(1)证明:平面PAC⊥平面ABC.(2)假设M是PC的中点,设PN=λPA(0<λ<1),且三棱锥A-BMN的体积为89,求λ的值6.(2021届江西省南昌市新建一中适应性考试)如图,四边形ABCD为矩形,△ABE和△BCF均为等腰直角三角形,且∠BAE=∠BCF=∠DAE=90°,EA∥FC.(1)求证:ED∥平面BCF.(2)假设BCAB=λ,是否存在实数λ,使得棱锥A-BDF的高恰好等于33BC?假设存在,求出λ的值;假设不存在,7.(2021届北京市高三质检)如图,在△ABC中,AC⊥BC,∠BAC=30°,AB=4,E,F分别为AC,AB的中点,△PEF是由△AEF沿直线EF翻折得到的,连接AP,BP,CP.(1)证明: