二次根式的应用大题专练九年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【华师大版】专题二次根式的应用大题专练〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷试题共30题，解答30道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一．解答题〔共30小题〕1．〔2021秋•石鼓区校级月考〕a、b、c满足|a﹣22|+b-5+〔c﹣32〔1〕求a、b、c的值．〔2〕试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由．【分析】〔1〕根据非负数的性质来求a、b、c的值；〔2〕三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．【解析】〔1〕∵|a﹣22|+b-5+〔c﹣32〕∴a﹣22=0，b-5=0，c﹣解得a＝22，b＝5，c＝32；〔2〕以a、b、c为三边长能构成三角形．理由如下：由〔1〕知，a＝22，b＝5，c＝32．∵5＜22+32=52，即b＜a+∴以a、b、c为三边长能构成三角形．周长＝5+52．2．〔2021秋•金牛区校级月考〕设一个三角形的三边长分别为a、b、c，P=12〔a+b+S=PS=1〔1〕一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积；〔2〕一个三角形边长依次为5、6、7，利用两个公式分别求这个三角形的面积．【分析】〔1〕把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解；〔2〕把a、b、c的长代入求出P，进一步代入求得S即可得解．【解析】〔1〕P=12×〔5+6+7S=P(PS=14[〔2〕P﹣a=12〔5+6+同理P﹣b=12〔P﹣c=12〔所以，S2=12〔6+7+5〕×12〔6+7-5〕=116×〔8+242〕〔﹣=116×〔168=13S=26S=3．〔2021秋•玉田县期末〕长方形的长为a，宽为b，且a=3212，〔1〕求长方形的周长；〔2〕当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．【分析】〔1〕直接利用矩形周长求法结合二次根式的加减运算法那么计算得出答案；〔2〕直接利用正方形的性质化简得出边长求出答案．【解析】〔1〕∵a=3212=33∴长方形的周长是：2〔a+b〕＝2〔33+23〕〔2〕设正方形的边长为x，那么有x2＝ab，∴x=ab∴正方形的周长是4x＝122．4．〔2021春•韩城市期末〕如图，有一张边长为63cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为3cm．求：〔1〕剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；〔2〕长方体盒子的体积．【分析】〔1〕直接利用总面积减去周围正方形面积进而得出答案；〔2〕直接利用长方体的体积公式得出答案．【解析】〔1〕制作长方体盒子的纸板的面积为：〔63〕2﹣4×〔3〕2＝108﹣12＝96〔cm2〕；〔2〕长方体盒子的体积：〔63-23〕〔63-23＝43×4＝483〔cm3〕．5．〔2021秋•二道区期末〕有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板．〔1〕求剩余木料的面积．〔2〕如果木工想从剩余的木料中截出长为dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条．【分析】〔1〕根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；〔2〕求出32和2范围，根据题意解答．【解析】〔1〕∵两个正方形的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为32dm和42dm，∴剩余木料的面积为〔42-32〕×32=6〔dm〔2〕4＜32＜，1＜2∴从剩余的木料中截出长为dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出2块这样的木条，故答案为：2．6．〔2021春•武昌区校级月考〕一个三角形的三边长分别为239x、6x4、〔1〕求它的周长〔要求结果化简〕；〔2〕请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】〔1〕把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．〔2〕该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．【解析】〔1〕周长=239x+6x4+2x1x=〔2〕当x＝4时，周长＝7×4=7．座钟的摆来回摆动一次的时间叫做一个周期，它的计算公式是：T＝2πlg，其中T表示周期〔单位：s〕，l表示摆长〔单位：m〕，g＝m/s2，π是圆周率，某台座钟的摆长为m，它每摆动一个周期发出一次“滴答〞声．求该座钟1min恰好发出多少次滴答声，如果要使该座钟1min恰好发出60次滴答声，该座钟的摆长应为多少？〔π取，摆长精确到m【分析】由给出的公式代入计算即可．要先求出这个钟摆的周期，然后利用时间除周期就是次数；解答第二问应先求出T的值，然后将T、g、π代入求值即可．【解析】T＝2π0.89.860T由题意可得，T=6060由公式为T＝2πlg，得l=T答：该座钟1min恰好发出大约34次滴答声，该座钟的摆长应为m．8．〔2021秋•普宁市期中〕材料：海伦公式是利用三角形三条边长求三角形面积的公式，用符号表示为：S=p(p-a)(p-b)(p-c)〔其中a，b，c为三角形的三边长，p=a〔1〕直接写出p的化简结果为3+35〔2〕写出计算S值的过程．【分析】〔1〕把a、b、c的长代入求出p即可；〔2〕把p的值代入S计算即可得解．【解析】〔1〕∵a=5，b＝3，c＝25∴p===3+3故答案为：3+35〔2〕S====＝3．9．〔2021春•磐石市期中〕如图，一根细线上端固定，下端系一个小球，让这个小球来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t〔单位：s〕与细线的长度l〔单位：m〕之间满足关系t=2πl【分析】直接把l的值代入化简二次根式，即可得出答案．【解析】由题意可得：t＝2π0.410≈≈，答：小球来回摆动一次所用的时间是秒．10．〔2021秋•太原期中〕海啸是一种破坏力极强的海浪，由海底地震、火山爆发等引起，在广阔的海面上，海啸的行进速度可按公式v=gd计算，其中v表示海啸的速度〔m/s〕，d为海水的深度〔m〕，g表示重力加速度m/s2．假设在海洋深度980m【分析】直接根据数据代入，化简得出答案．【解析】由题意可得：g＝m/s2，d＝980m，那么v=gd=9.8×980=答：海啸的行进速度为98m/s．11．〔2021春•玄武区期中〕数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：假设一个三角形的三边长分别为a、b、c，那么这个三角形的面积为S=p(p-a)(p-b)(数学应用：如图，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7．〔1〕请运用海伦公式求△ABC的面积；〔2〕设AC边上的高为h1，BC边上的高h2，求h1+h2的值．【分析】〔1〕根据海伦公式，代入解答即可；〔2〕根据三角形面积公式解答即可．【解析】〔1〕AB＝c＝9，AC＝b＝8，BC＝a＝7，p=1∴S=〔2〕∵S△∴h1=24∴h112．〔2021秋•太仓市期末〕假设一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=12〔a+b+记：Q=p〔1〕当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；〔2〕当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．【分析】〔1〕先根据△ABC的三边长求出p的值，然后再代入三角形面积公式中计算；〔2〕设底边c上的高为h，根据三角形的面积公式得到S=12c•h=12ca2-c24【解析】〔1〕∵a＝4，b＝5，c＝6，∴p=12〔a+b+c〕∴Q=p〔2〕∵a＝b，∴设底边c上的高为h，∴h=a∴S=12c•h=1∵a＝b，∴p=12〔a+b+c〕＝a+∴Q=p(p∴S＝Q．13．〔2021春•沂水县期中〕高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t〔单位：s〕和高度h〔单位：m〕近似满足公式t=h〔1〕从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；〔2〕t2是t1的多少倍？〔3〕经过s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】〔1〕将h＝50代入t1=h5进行计算即可；将h＝100代入t2〔2〕计算t2与t1的比值即可得出结论；〔3〕将t＝代入公式t=h【解析】〔1〕当h＝50时，t1=50当h＝100时，t2=1005=〔2〕∵t2∴t2是t1的2倍．〔3〕当t＝时，=h解得h＝，∴下落的高度是米．14．〔2021春•颍泉区校级期中〕阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．〔1〕求△ABC的面积；〔2〕设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．【分析】〔1〕根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；〔2〕按照三角形的面积等于12×底×高分别计算出h1和h【解答】解．〔1〕根据题意知p=a所以S=p(∴△ABC的面积为66；〔2〕∵S=12ch1=12bh∴12×6h1=12×5∴h1＝26，h2=∴h1+h2=2215．〔2021春•椒江区校级期中〕长方形的长a=1248，宽〔1〕求该长方形的周长；〔2〕假设另一个正方形的面积与该长方形的面积相等，试计算该正方形的周长．【分析】〔1〕利用长方形的周长公式列出代数式并求值；〔2〕利用等量关系另一个正方形的面积＝该长方形的面积列出等式并计算．【解析】∵a=1248=23〔1〕长方形的周长＝2×〔1248+1327〕＝2×〔〔2〕长方形的面积＝23×3根据面积相等，那么正方形的边长=6所以，正方形的周长＝46．16．〔2021春•晋中月考〕我国古代数学家秦九韶在?数书九章?中记述了“三斜求积术〞，即三角形的三边长，求它的面积．用符号表示为S=14[a2b2-(a2+b2-c22)2【分析】根据二次根式的混合计算解答即可．【解析】∵a=∴a2＝5，b2＝9，c2＝20，∴三角形的面积S=117．〔2021春•天河区校级月考〕假设矩形的长a=6+5，宽〔1〕求矩形的面积和周长；〔2〕求a2+b2﹣20+2ab的值．【分析】〔1〕直接利用二次根式的混合运算法那么分别计算得出答案；〔2〕直接利用完全平方公式结合二次根式的混合运算法那么计算得出答案．【解析】〔1〕∵矩形的长a=6+5，宽∴矩形的面积为：〔6+5〕〔＝6﹣5＝1；矩形的周长为：2〔6+5+6〔2〕a2+b2﹣20+2ab＝〔a+b〕2﹣20＝〔6+5+6＝〔26〕2﹣20＝24﹣20＝4．18．〔2021春•盂县月考〕阅读与计算：古希腊的几何学家海伦，在他的著作?度量?一书中，给出了下面一个公式：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p=12〔a+b+c〕，那么三角形的面积为：S△ABC=p(p-a)(p-b)(p-c)〔海伦公式〕，假设△【分析】先求出p，再代入海伦公式中计算即可．【解析】∵BC＝4，AC＝5，AB＝6，∴p=12〔4+5+6〕∴S====1519．〔2021春•瑶海区期中〕〔1〕用“＝〞、“＞〞、“＜〞填空．12+13＞212×13；6+3＞26×3；1〔2〕由〔1〕中各式猜测a+b与2ab〔a≥0，b≥0〕的大小，并说明理由．〔3〕请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为1800cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？【分析】〔1〕根据完全平方公式的非负性进行变形可得结论；〔2〕直接利用完全平方公式的非负数的性质解答即可；〔3〕根据对角线互相垂直的四边形面积＝相互垂直的对角线乘积的一半，并综合利用〔2〕的结论得出答案即可．【解析】〔1〕∵(12∴12-∴12+1同理得：6+3＞26×3；1+15＞21×故答案为：＞，＞，＞，＝；〔2〕猜测：a+b≥2ab〔a≥0，b≥0〕，理由是：∵a≥0，b≥0，∴a+b﹣2ab=〔a-b〕2∴a+b≥2ab；〔3〕设AC＝a，BD＝b，由题意得：12ab∴ab＝3600，∵a+b≥2ab，∴a+b≥23600，∴a+b≥120，∴用来做对角线的竹条至少要120厘米．20．〔2021秋•榆林月考〕有一块矩形木块，木工采用如图方式，求木板上截出两个面积分别为18dm2和32dm2的正方形木板，求剩余木料的面积．【分析】根据两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，分别求得18和32的算术平方根，那么可得两个正方形的边长，然后用小正方形的边长乘以两个正方形的边长之差即可得出答案．【解析】∵两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，∴这两个正方形的边长分别为：18=32〔dm〕，32=42〔∴剩余木料的面积为：〔42-32〕×32=2×32=21．〔2021春•临渭区校级月考〕某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为243m，宽AB为128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛〔即图中阴影局部〕，长方形花坛的长为(14〔1〕长方形ABCD的周长是多少？〔2〕除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖，要铺完整个通道，那么购置地砖需要花费多少元？〔结果化为最简二次根式〕【分析】〔1〕根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法那么计算可得；〔2〕先计算出空白局部面积，再计算即可，【解析】〔1〕长方形ABCD的周长＝2〔243+128〕＝2〔93+82〕＝183+16答：长方形ABCD的周长是183+162〔m〔2〕购置地砖需要花费＝5[243×＝5[726-〔14﹣1〕＝5〔726-13＝3606-65答：购置地砖需要花费〔3606-6522．〔2021春•汉阳区期中〕我国宋代的数学家秦九韶发现：假设一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积为s=p(p-a)(p-b)(如图1，在△ABC中，AB＝9，AC＝8，BC＝7．〔1〕求△ABC的面积；〔2〕如图2，AD，BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为点I，求I到边BC的距离．【分析】〔1〕根据题干公式将p计算出来，再代入面积计算公式即可；〔2〕过点I依次作出三角形三边的高，利用角平分线的性质定理可知三边的高相等，再表示出三角形的面积结合〔1〕问即可求出I到BC的距离．【解析】〔1〕由题意得：p=12∴S△ABC=p(p〔2〕连接IC，过点I分别作AB、BC、AC边的垂线交AB、BC、AC于点M、Q、N，由角平分线的性质定理可知：IM＝IQ＝IN，观察图形易知：S△ABC＝S△ABI+S△BCI+S△ACI=12×∴12IQ(9+8+7)=解得：IQ=5故I到边BC的距离为：5．23．〔2021春•无为市月考〕据研究，高空抛物下落的时间t〔单位：s〕和高度h〔单位：m〕近似满足公式t=h〔1〕求从40米高空抛物到落地时间；〔2〕小明说从80m高空抛物到落地时间是〔1〕中所求时间的2倍，他说法正确吗？如果不正确，请说明理由；〔3〕高空坠落物体动能＝10×物体质量×高度〔单位：焦耳〕，某质量为kg的鸡蛋经过6秒后落在地上，这个鸡蛋产生的动能是多少？你能得到什么启示？〔注：杀伤无防护人体只需要65焦耳的动能〕【分析】〔1〕把40米代入公式即可，〔2〕把80米代入公式求出时间，与〔1〕中时间相比拟即可得到结论．〔3〕求出h，代入动能计算公式即可求出．【解析】〔1〕由题意知h＝40米，t=h5=405〔2〕不正确，理由如下：当h2＝80m时，t2=805=16∵4≠2×22，∴不正确，〔3〕当t＝6s时，6=h5，h＝180鸡蛋产生的动能＝10××180＝90〔焦耳〕，启示：严禁高空抛物．24．〔2021秋•梁平区期末〕张亮同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时，试求a+a2-〔1〕请你计算当a＝5时，代数式a+a〔2〕是否存在数a，使得a+a2-〔3〕请直接判断张亮同学的答案是否正确．【分析】〔1〕直接将a＝5代入可得结论；〔2〕因为原式＝a+|a﹣1|，所以此题应该从a≥1，a＜1两种情况考虑；〔3〕根据〔2〕中的结论发现：a为任何实数时，原式都不可能等于12【解析】〔1〕当a＝5时，原式＝5+(a-1〔2〕不存在，理由是：原式＝a+(a-1)2当a≥1时，原式＝a+a﹣1＝2a﹣1=1∴a=3当a＜1时，原式＝a+1﹣a＝1≠1∴不存在数a，使得a+a2-〔3〕由〔2〕可知：张亮同学的答案不正确．25．〔2021春•思明区校级期中〕有一块矩形木板，木工采用如图的方式，先在木板上截出两个面积为18dm2和32dm2的正方形木板，后来又想从剩余的木料中截出长为dm，宽为1dm的长方形木条，请问最多能截出几块这样的木条？【分析】从题意可知，剩余局部的长方形的长边为18bm，短边为32-18=2dm，由估算【解析】剩余局部的长为18dm，宽为32-18∵2＜∴剩余的木料的短边只能作为木条的短边，∵＜18÷≈2，因此只能截出2块，答：最多能截出2块．26．〔2021春•巴南区期中〕某区组织环卫工作人员开展草坪种植，假设环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，该长方形土地的长为343m、宽为224m．〔1〕求该长方形土地的周长；〔2〕假设在该长方形土地上种植造价为每平方米160元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用〔提示：结果保存整数，2≈【分析】〔1〕根据长方形周长公式进行计算，并化简即可．〔2〕根据长方形的面积公式先算出面积，而后乘以每平方米的价钱即可．【解析】〔1〕2〔343+224〕＝2〔77+414〕＝〔147+8〔2〕343×224=77×414=160×＝元．27．〔2021春•博白县期末〕长方形的长a=1232，宽〔1〕求长方形的周长；〔2〕求与长方形等面积的正方形的周长，并比拟与长方形周长的大小关系．【分析】首先化简a=1232=22〔1〕代入周长计算公式解决问题；〔2〕求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比拟即可．【解析】a=1232=22〔1〕长方形的周长＝〔22+2〕×2＝6〔2〕正方形的周长＝422×∵62=72.8∵72∴62＞828．〔2021