专题13实数（6个知识点4种题型5个中考考点）-八年级数学上册学与练（苏科版）（原卷版）

专题13实数（6个知识点4种题型5个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.无理数知识点2实数的定义及分类（重点）知识点3.实数与数轴上点的关系（难点）知识点4.实数的有关概念（重点）知识点5.比较实数的大小（重点）知识点6.实数的运算（重点）【方法二】实例探索法题型1.实数与数轴的综合应用题型2.比较实数的大小【方法三】仿真实战法考法5实数的运算【方法四】成果评定法【学习目标】了解无理数和实数的概念，知道无理数是客观存在的，会判断一个数是有理数还是无理数。知道实数与数轴上的点是一一对应的关系。会用计算器比较实数的大小，进行简单的实数运算。【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.无理数（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．（2）、无理数与有理数的区别：①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，比如4＝4.0，13＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2＝1.414213562．②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数π2是无理数，因为π是无理数．无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根，如等．（2）特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．（3）含有π的绝大部分数，如2π．注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．【例1】（2021秋•梁溪区期末）在0、、（每两个0之间的1依次增加）、、中，无理数的个数有A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式】（2021秋•姑苏区校级期末）在实数，，0，，，中，有理数的个数有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个知识点2实数的定义及分类（重点）（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．（2）实数的分类：实数：或实数：【例2】（2021秋•东台市月考）将下列各数填入相应的集合中：，0，，，，，，，有理数集合：，0，，，，，；无理数集合：；整数集合：；分数集合：．【变式】（2021秋•吴江区月考）把下列各数分别填入相应的大括号中．，，0，，，，，，，，，．（1）正数集合：，，，，，，；（2）负数集合：；（3）负整数集合：；（4）非负分数集合：；（5）无理数集合：．知识点3.实数与数轴上点的关系（难点）（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．【例3】（2022春•海安市校级月考）实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反数的两个数是A．和 B．和 C．和 D．和【变式】（2022•江都区一模）如图，数轴上、、、四个点中可能表示实数的点是A．点 B．点 C．点 D．点知识点4.实数的有关概念（重点）（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．实数的倒数乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．【例4】（2022春•江津区期中）下列各组数中相等的是A．与 B．与 C．与 D．与【变式】（2022春•如皋市校级月考）已知，是11的平方根，且，求的值．知识点5.比较实数的大小（重点）实数大小比较（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．【例5】（2022春•亭湖区校级月考）比较大小：①②【变式】．（2022春•泗阳县月考）若，，，则、、的大小关系是．知识点6.实数的运算（重点）（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．【例6】．（2022春•崇川区校级期中）计算：（1）；（2）．【变式】．（2022春•海安市校级月考）计算：（1）；（2）．【方法二】实例探索法题型1.实数与数轴的综合应用1．（2021秋•泗阳县期末）无理数可以用数轴上的点表示，如图，数轴上点表示的数是．2．（2021秋•六合区期中）在数轴上画出表示、的点，并标上必要的数据．3．（2021•盐城）如图，点是数轴上表示实数的点．（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数的点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）利用数轴比较和的大小，并说明理由．4．（2020秋•泰兴市期中）（1）求出下列各数：①的立方根；②5的平方根；③4的算术平方根．（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上（可通过构造相应的直角三角形准确地找到无理数所对应的点），并用连接大小．题型2.比较实数的大小5．（2022春•沭阳县月考）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．（1）根据上述规定，填空：，，．（2）小明在研究这种运算时发现一个特征：，，，并作出了如下的证明：设，，则，即，所以，即．所以，，．试解决下列问题：①计算，，；②若令，，，试探索，，与的大小关系．6．（2021秋•山亭区期末）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小．小华的方法是：因为，所以2，所以（填“”或“”；小英的方法是：，因为，所以0，所以0，所以（填“”或“”．（1）根据上述材料填空；（2）请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小．7．（2021秋•亭湖区校级月考）六个数：，，，，，（相邻两个2之间0的个数逐次加，若其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为，则68．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为，求代数式的值．9．（2022春•如皋市校级月考）已知，是11的平方根，且，求的值．10．（2022秋·八年级单元测试）如图，，过点P作且，得；再过点作且，得；又过点作且，得…依此法继续作下去，得等于（

）A． B． C． D．11．（2022秋·八年级课时练习）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第5行从左至右第2个数是；第9行从左至右第8个数是．12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）观察下列各式：①②③根据上面三个等式，猜想的结果为．13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）设n是正整数，则按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，…，．整数部分为2：，，…；，，…．整数部分为3：，，…；，，…．(1)若的整数部分为4，则n的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分为5，则n可能的值有几个？【方法三】仿真实战法1．（2022•连云港）写出一个在1到3之间的无理数：．2．（2019•苏州）的相反数是（）A． B．﹣ C．﹣ D．3．（2023•扬州）已知a＝，b＝2，c＝，则a、b、c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a4．（2023•常州）下列实数中，其相反数比本身大的是（）A．﹣2023 B．0 C． D．20235．（2023•徐州）如图，数轴上点A、B、C、D分别对应实数a、b、c、d，下列各式的值最小的是（）A．|a| B．|b| C．|c| D．|d|6．（2023•连云港）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，则a+b0．（用“＞”“＜”或“＝”填空）7．（2023•南通）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上8．（2023•徐州）的值介于（）A．25与30之间 B．30与35之间 C．35与40之间 D．40与45之间考法5实数的运算9．（2023•常州）计算：（﹣1）0+2﹣1＝．10．（2023•苏州）计算：|﹣2|﹣+32．11．（2023•连云港）计算|﹣4|+（π﹣）0﹣（）﹣1．【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）的相反数是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·江苏·八年级专题练习）若，则x的值是（

）A．100 B． C．±100 D．3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）估计的值应在（

）A．和4之间 B．4和之间C．和5之间 D．5和之间4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在和中介于5和6之间的无理数有（

）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知a是的小数部分，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．6．（2023·江苏·八年级假期作业）实数a，b在数轴上表示如图，则（）A． B． C． D．7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）比较下列各组数的大小，错误的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比为，下列各数中最接近于的是（

）A． B． C． D．9．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）与最接近的整数是（

）A．5 B．6 C．7 D．810．（2023秋·江苏·八年级专题练习）对于实数，我们规定表示不大于的最大整数，如，，，现对82进行如下操作：，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题11．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）计算．12．（2023春·江苏连云港·八年级统考期末）若，其中是正整数，则的值是．13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）若将三个数，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是．14．（2023春·江苏常州·八年级统考期末）利用图中的网格比较大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）．15．（2023秋·江苏·八年级专题练习）比较大小：．（天“＞”“＜”或“＝”）16．（2018秋·江苏南通·八年级统考期末）长方体的长为，宽为，高为，点B离点C，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是．17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）对于任意实数对和，规定运算“”为；运算“⊕”为⊕，，．例如，，，；⊕，，．若，，，，则⊕．18．（2023春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，直线于点，，点是直线上一动点，以为边向上作等边，连接，则的最小值为．三、解答题19．（2023秋·江苏南京·八年级南京市第一中学校考阶段练习）计算：(1)；(2)．20．（2023秋·江苏·八年级专题练习）把下列各数填在相应的集合里：．有理数集合：{

，…}；无理数集合：{

，…}；正实数集合：{

，…}；负实数集合：{

，…}．21．（2022秋·江苏泰州·八年级校考阶段练习）阅读理解．，即．

，的整数部分为1，

的小数部分为．解决问题：已知a是的整数部分，b是的小数部分．(1)求a，b的值；(2)求的平方根．22．（2022秋·江苏淮安·八年级校考阶段练习）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：(1)的小数部分是多少，请表示出来．(2)为的小数部分，为的整数部分，求的值．(3)已知，其中是一个正整数，，求的值．23．（2023春·江苏扬州·八年级校考阶段练习）在数学学习时，我们要学会总结，不断地归纳、思考和运用，这样才能提高我们解决问题的能力，小明在研究某问题时经历了如下过程：【自主学习】比较大小：①；②③通过上面三个计算，小明猜想：对任意的正实数、，总有，【独立探究】小明进一步探索得到：①若函数（，）则当时，该函数有最小值为．②已知函数与函数，函数则当=时，函数取得最小值为．（都填具体数值）【学以致用】某学校因先