信息与通信信号与线性系统分析

2023/12/62023/12/61第四章傅里叶变换§4.1信号分解为正交函数§4.2周期信号的频谱分析

§4.3典型周期信号的频谱§4.4非周期信号的频谱分析§4.5典型非周期信号的频谱引言2023/12/622023/12/62023/12/62频域分析从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。2023/12/632023/12/62023/12/63发展历史1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的前景。在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法具有很多的优点。“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。2023/12/642023/12/62023/12/64主要内容本章从傅里叶级数正交函数展开问题开始讨论，引出傅里叶变换，建立信号频谱的概念。通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，初步掌握傅里叶分析方法的应用。对于周期信号而言，在进行频谱分析时，可以利用傅里叶级数，也可以利用傅里叶变换，傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。本章最后研究抽样信号的傅里叶变换，引入抽样定理。2023/12/652023/12/62023/12/65傅里叶生平1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中2023/12/662023/12/62023/12/66

傅里叶

(JeanBaptiseJosephFourier1768～1830)

法国数学家。1768年3月21日生于奥塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。1795年曾在巴黎综合工科学校任讲师。1798年随拿破仑远征埃及，当过埃及学院的秘书。1801年回法国，又任伊泽尔地区的行政长官。1817年傅里叶被选为科学院院士，并于1822年成为科学院的终身秘书。1827年又当选为法兰西学院院士。

在十八世纪中期,是否有用信号都能用复指数的线性组合来表示这个问题曾是激烈争论的主题。1753年,D.伯努利曾声称一根弦的实际运动都可以用正弦振荡模的线性组合来表示,但他没有继续从数学上深入探求下去;后来欧拉本人也抛弃了三角级数的想法。2023/12/672023/12/62023/12/67

在1759年拉格朗日(J.L.Lagrange)表示不可能用三角级数来表示一个具有间断点的函数,因此三角级数的应用非常有限。正是在这种多少有些敌对和怀疑的处境下,傅里叶约于半个世纪后提出了他自己的想法。傅里叶很早就开始并一生坚持不渝地从事热学研究，1807年他在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数。这篇论文经J.-L.拉格朗日,P.-S.拉普拉斯,A.-M.勒让德等著名数学家审查，由于文中初始温度展开为三角级数的提法与拉格朗日关于三角级数的观点相矛盾，而遭拒绝。由于拉格朗日的强烈反对,傅里叶的论文从未公开露面过。为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表,在经过了几次其他的尝试以后,傅里叶才把他的成果以另一种方式出现在"热的分析理论"这本书中。这本书出版于1822年,也即比他首次在法兰西研究院宣读他的研究成果时晚十五年。这本书已成为数学史上一部经典性的文献，其中基本上包括了他的数学思想和数学成就。2023/12/682023/12/62023/12/68

书中处理了各种边界条件下的热传导问题，以系统地运用三角级数和三角积分而著称，他的学生以后把它们称为傅里叶级数和傅里叶积分，这个名称一直沿用至今。傅里叶在书中断言：“任意”函数（实际上要满足一定的条件,例如分段单调）都可以展开成三角级数,他列举大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性，但是没有给出明确的条件和完整的证明。傅里叶的创造性工作为偏微分方程的边值问题提供了基本的求解方法-傅里叶级数法,从而极大地推动了微分方程理论的发展，特别是数学物理等应用数学的发展；其次，傅里叶级数拓广了函数概念，从而极大地推动了函数论的研究，其影响还扩及纯粹数学的其他领域。傅里叶深信数学是解决实际问题的最卓越的工具，并且认为“对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。”这一见解已成为数学史上强调通过实际应用发展数学的一种代表性的观点。2023/12/692023/12/62023/12/69傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”

——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”

——傅里叶的第二个主要论点2023/12/6102023/12/62023/12/610频域分析：－－傅里叶变换自变量为j

复频域分析：－－拉氏变换自变量为S=

+j

Z域分析：－－Z变换自变量为z

变换域分析：2023/12/6112023/12/62023/12/611§4.1信号分解为正交函数正交矢量正交函数正交函数集用完备正交集表示信号2023/12/6122023/12/62023/12/612一、正交矢量矢量：V1

和V2

参加如下运算，Ve

是它们的差，如下式：2023/12/6132023/12/62023/12/613

表示和互相接近的程度当V1

、V2完全重合，则随夹角增大，c12减小；当，V1

和V2相互垂直2023/12/6142023/12/62023/12/614二维正交集三维正交集2023/12/6152023/12/62023/12/615

二、正交函数令，则误差能量最小2023/12/6162023/12/62023/12/616解得2023/12/6172023/12/62023/12/617正交条件若c12=0，则f1(t)不包含f2(t)的分量，则称正交。正交的条件：2023/12/6182023/12/62023/12/618例：试用sint在区间（0，2π）来近似f(t)。11tf(t)02023/12/6192023/12/62023/12/619解：所以：11tf(t)02023/12/6202023/12/62023/12/620例：试用正弦sint在（0，2π）区间内来表示余弦cost.所以说明cost

中不包含sint

分量，因此cost

和sint

正交。显然2023/12/6212023/12/62023/12/621三、正交函数集n个函数构成一函数集，如在区间内满足正交特性，即则此函数集称为正交函数集2023/12/6222023/12/62023/12/622在（t1,t2）区间，任意函数f(t)可由n个正交的函数的线性组合近似由最小均方误差准则，要求系数满足2023/12/6232023/12/62023/12/623在最佳逼近时的误差能量归一化正交函数集：2023/12/6242023/12/62023/12/624复变函数的正交特性两复变函数正交的条件是2023/12/6252023/12/62023/12/625§四用完备正交集表示信号帕斯瓦尔(Parseval)方程2023/12/6262023/12/62023/12/626另一种定义：在正交集之外再没有一有限能量的x(t)满足以下条件三角函数集复指数函数集2023/12/6272023/12/62023/12/627其它正交函数系沃尔什函数集勒让德多项式切比雪夫多项式2023/12/6282023/12/62023/12/628§4.2周期信号的频谱分析周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：

.三角函数式的傅立里叶级数{cosn

1t,sinn

1t}

.复指数函数式的傅里叶级数

{ejn

1t}2023/12/6292023/12/62023/12/629一、三角函数的傅里叶级数:

直流分量n=1基波分量

n>1谐波分量2023/12/6302023/12/62023/12/630直流系数余弦分量系数正弦分量系数2023/12/6312023/12/62023/12/631狄利赫利条件：

在一个周期内只有有限个间断点；在一个周期内有有限个极值点；在一个周期内函数绝对可积，即一般周期信号都满足这些条件.

2023/12/6322023/12/62023/12/632三角函数是正交函数

2023/12/6332023/12/62023/12/633周期信号的另一种

三角函数正交集表示2023/12/6342023/12/62023/12/634比较几种系数的关系2023/12/6352023/12/62023/12/635

周期函数的频谱：周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的相移，2023/12/6362023/12/62023/12/636二、周期函数的复指数级数由前知由欧拉公式其中引入了负频率2023/12/6372023/12/62023/12/637指数形式的傅里叶级数的系数两种傅氏级数的系数间的关系2023/12/6382023/12/62023/12/638两种傅氏级数的系数间的关系2023/12/6392023/12/62023/12/639周期复指数信号的频谱图00π-π2023/12/6402023/12/62023/12/640周期复指数信号的频谱图的特点引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；

Cn

是实函数，Fn

一般是复函数，当Fn

是实函数时，可用Fn的正负表示0和π相位，幅度谱和相位谱合一；2023/12/6412023/12/62023/12/641三、周期信号的功率特性P为周期信号的平均功率符合帕斯瓦尔定理

2023/12/6422023/12/62023/12/642四、对称信号的傅里叶级数三种对称：偶函数：f(t)=f(-t)奇函数：f(t)=-f(-t)奇谐函数：半周期对称任意周期函数有：偶函数项奇函数项2023/12/6432023/12/62023/12/643周期偶函数Fn是实数只含直流和余弦分量2023/12/6442023/12/62023/12/644例如:周期三角函数是偶函数Ef(t)T1/2-T1/2t2023/12/6452023/12/62023/12/645周期奇函数只含正弦项Fn为虚数2023/12/6462023/12/62023/12/646例如周期锯齿波是奇函数E/2-E/2T1/2-T1/2f(t)t02023/12/6472023/12/62023/12/647奇谐函数：沿时间轴平移半个周期；反相；波形不变；半波对称2023/12/6482023/12/62023/12/648奇谐函数的波形：T1/2-T1/20tf(t)2023/12/6492023/12/62023/12/649奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为0a20=

,b20=

2023/12/6502023/12/62023/12/650例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量周期偶函数，奇谐函数周期奇函数，奇谐函数-T/2T/2-T/2T/2E/2-E/2只含基波和奇次谐波的余弦分量只含基波和奇次谐波的正弦分量2023/12/6512023/12/62023/12/651含有直流分量和正弦分量只含有正弦分量含有直流分量和余弦分量-TTTT含有直流分量和偶次谐波余弦分量2023/12/6522023/12/62023/12/652五、傅里叶有限级数

如果完全逼近，则n→∞;实际应用中，n=N,N是有限整数。N愈趋近∞，则其均方误差愈小若用2N＋1项逼近，则2023/12/6532023/12/62023/12/653误差函数和均方误差误差函数均方误差2023/12/6542023/12/62023/12/654例如:对称方波,是偶函数且奇谐函数只有奇次谐波的余弦项。E/2-E/2T1/4-T1/4t2023/12/6552023/12/62023/12/655对称方波有限项的傅里叶级数N=1N=3N=5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812023/12/6562023/12/62023/12/656项数N越大，误差越小例如:N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.812023/12/6572023/12/62023/12/657由以上可见：N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉伯斯现象发生2023/12/62023/12/658§4.3典型周期信号的频谱周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波脉冲信号周期全波脉冲信号2023/12/6592023/12/62023/12/659一、周期矩形脉冲信号的频谱f(t)t0E-TT2023/12/6602023/12/62023/12/660f(t)t0E-TT2023/12/6612023/12/62023/12/661f(t)Fnt00ET-T2023/12/6622023/12/62023/12/662频谱分析表明离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密；各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比；各谱线的幅度按包络线变化。过零点为：主要能量在第一过零点内。主带宽度为：Fn02023/12/6632023/12/6周期信号的功率例4.3－1T=1s,t=0.2s,E=12023/12/6642023/12/6周期矩形的频谱变化规律：若T不变，在改变τ的情况若τ不变，在改变T时的情况T2023/12/6652023/12/62023/12/665对称方波是周期矩形的特例TT/4-T/4实偶函数周期矩形奇谐函数对称方波奇次余弦2023/12/6662023/12/62023/12/666对称方波的频谱变化规律TT/4-T/4奇次谐波

02023/12/6672023/12/62023/12/667傅立叶级数的系数T

信号的周期脉宽

基波频率

1傅立叶级数小结2023/12/6682023/12/62023/12/668当周期信号的周期T无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号频率也变成连续变量§4.4非周期信号的频谱分析2023/12/6692023/12/62023/12/669频谱演变的定性观察-T/2T/2T/2-T/22023/12/6702023/12/62023/12/6701.从周期信号FS推导非周期信号的FT傅立叶变换=F[f(t)]2023/12/6712023/12/62023/12/6712.傅立叶的逆变换傅立叶逆变换=F

-1

[F(w)]2023/12/6722023/12/6F(w)

=F[f(t)]F(jw)

f(t)=F

-1[F(w)]f(t)

F(w)2023/12/6732023/12/62023/12/6733.从物理意义来讨论FT

(a)F(ω)是一个密度函数的概念

(b)F(ω)是一个连续谱

(c)F(ω)包含了从零到无限高频的所有频率分量

(d)各频率分量的频率不成谐波关系2023/12/6742023/12/62023/12/674傅立叶变换一般为复数FT一般为复函数若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数2023/12/6752023/12/62023/12/6754.傅立叶变换存在的充分条件用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换2023/12/6762023/12/62023/12/6764.5典型非周期信号的频谱单边指数信号双边指数信号矩形脉冲信号符号函数冲激函数信号冲激偶函数信号阶跃函数信号2023/12/6772023/12/62023/12/6771.单边指数信号信号表达式幅频相频2023/12/6782023/12/62023/12/678

f(t)t0001.单边指数信号2023/12/6792023/12/62023/12/6792.双边指数信号2023/12/6802023/12/62023/12/6802.双边指数信号00f(t)t2023/12/6812023/12/62023/12/6813.矩形脉冲信号2023/12/6822023/12/62023/12/682t0202