高一数学人教A版必修1教案第二章第二节对数函数第三课时

第二章第二节对数函数第三课时eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学目标1．知识与技能推导对数的换底公式，培养学生分析、解决问题的能力，培养学生的数学应用意识和科学分析问题的精神和态度．2．过程与方法让学生经历推导对数的换底公式的过程，归纳整理本节所学知识．3．情感态度与价值观通过对数的运算性质、对数换底公式的学习，培养学生的探究意识，培养学生的严谨的思维品质；感受对数的广泛应用．重点难点重点：对数的运算性质、换底公式及其应用．难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))导入新课思路1.问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝eq\f(logcb,logca).教师直接点出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．思路2.前两节课我们学习了以下内容：1.对数的定义及性质；2.对数恒等式；3.对数的运算性质，用对数的运算性质我们能就同底数的对数进行运算，那么不同底数的对数集中在一起，如何解决呢？这就是本堂课的主要内容．教师板书课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．思路3.从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数都可作为对数的底，数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数，这样，如果能将其他底的对数转换为以10为底或以e为底的对数就能方便地求出任意不等于1的正数为底的对数，那么，怎么转化呢？这就需要一个公式，即对数的换底公式，从而引出课题：对数与对数运算(3)之对数的换底公式及其应用．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出问题))①已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求log23的值；②根据①，如a>0，a≠1，你能用含a的对数式来表示log23吗？③更一般地，我们有logab＝，如何证明？④证明logab＝的依据是什么？⑤你能用自己的话概括出换底公式吗？⑥换底公式的意义是什么？有什么作用？活动：学生针对提出的问题，交流讨论，回顾所学，力求转化，教师适时指导，必要时提示学生解题的思路，给学生创造一个互动的学习环境，培养学生的创造性思维能力．对①目前还没有学习对数的换底公式，它们又不是同底，因此可考虑对数的定义，转化成方程来解；对②参考①的思路和结果的形式，借助对数的定义可以表示；对③借助①②的思路，利用对数的定义来证明；对④根据证明的过程来说明；对⑤抓住问题的实质，用准确的语言描述出来，一般是按照从左到右的形式；对⑥换底公式的意义就在于对数的底数变了，与我们的要求接近了．讨论结果：①因为lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，根据对数的定义，所以100.3010＝2,100.4771＝3.不妨设log23＝x，则2x＝3，所以(100.3010)x＝100.4771，100．3010×x＝100.4771，即0.3010x＝0.4771，x＝eq\f(0.4771,0.3010)＝eq\f(lg3,lg2).因此log23＝eq\f(lg3,lg2)＝eq\f(0.4771,0.3010)≈1.5851.②根据①我们看到，最后的结果是log23用lg2与lg3表示，是通过对数的定义转化的，这就给我们以启发，本来是以2为底的对数转换成了以10为底的对数，不妨设log23＝x，由对数定义知道，2x＝3，两边都取以a为底的对数，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝eq\f(loga3,loga2)，也就是log23＝eq\f(loga3,loga2).这样log23就表示成了以a为底的3的对数与以a为底的2的对数的商．③证明logab＝eq\f(logcb,logca).证明：设logab＝x，由对数定义知道，ax＝b；两边取c为底的对数，得logcax＝logcb⇒xlogca＝logcb；所以x＝eq\f(logcb,logca)，即logab＝eq\f(logcb,logca).一般地，logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，a≠1，b>0，c>0，c≠1)称为对数换底公式．④由③的证明过程来看，换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是：若M＞0，N＞0，M＝N，则logaM＝logaN.⑤一个数的对数，等于同一底数的真数的对数与底数的对数的商，这样就把一个对数变成了与原来对数的底数不同的两个对数的商．⑥换底公式的意义就在于把对数式的底数改变，把不同底问题转化为同底问题，为使用运算性质创造条件，更方便化简求值．说明：我们使用的计算器中，“log”通常是常用对数，因此要使用计算器计算对数，一定要先用换底公式转化为常用对数．如log23＝eq\f(lg3,lg2)，即计算log23的值的按键顺序为：“log”→“3”→“÷”→“log”→“2”→“＝”．再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算x＝log1.01eq\f(18,13)，所以x＝log1.01eq\f(18,13)＝eq\f(lg\f(18,13),lg1.01)＝eq\f(lg18－lg13,lg1.01)≈eq\f(1.2553－1.139,0.043)＝32.8837≈33(年)．可以看到运用对数换底公式，有时要方便得多．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1求log89·log2732的值．活动：学生观察题目，思考讨论，互相交流，教师适时提示，学生板演，利用换底公式统一底数；根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，可以化成常用对数或以2为底的对数，以3为底的对数也可．解法一：log89·log2732＝eq\f(lg9,lg8)·eq\f(lg32,lg27)＝eq\f(2lg3,3lg2)·eq\f(5lg2,3lg3)＝eq\f(10,9).解法二：log89·log2732＝eq\f(log29,log28)·eq\f(log232,log227)＝eq\f(2log23,3)·eq\f(5,3log23)＝eq\f(10,9).解法三：log89·log2732＝eq\f(log39,log38)·eq\f(log332,log327)＝eq\f(2,3log32)·eq\f(5log32,3)＝eq\f(10,9).点评：灵活运用对数的换底公式是解决问题的关键．例2计算：(1)eq\f(log5\r(2)·log4981,log25\f(1,3)·log7\r(3,4))；(2)log43·log92－logeq\f(1,2)eq\r(4,32).活动：学生积极交流，教师引导，学生展示自己的思维过程，教师对学生的表现及时评价．先利用对数运算性质和换底公式进行化简，然后再求值；对(1)根据题目的特点，底数不同，所以考虑把底数统一起来，再利用对数的运算性质化简．对(2)利用换底公式把底数统一起来，再化简求值．解：(1)原式＝eq\f(\f(lg\r(2),lg5)·\f(lg34,lg72),\f(lg3－1,lg52)·\f(lg22,lg73))＝eq\f(\f(1,2)·\f(lg2,lg5)·\f(4lg3,2lg7),\f(－lg3,2lg5)·\f(2lg2,3lg7))＝－3.(2)log43·log92－logeq\f(1,2)eq\r(4,32)＝eq\f(log23,log24)·eq\f(log22,log29)－eq\f(log232\f(1,4),log2\f(1,2))＝eq\f(1,2)log23·eq\f(1,2)log32＋eq\f(5,4)log22＝eq\f(1,4)＋eq\f(5,4)＝eq\f(3,2).点评：在利用对数的换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果题目中所给的真数和底数互不相同，我们常选择以10为底的对数进行换底．例3(1)证明eq\f(logax,logabx)＝1＋logab；(2)已知loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，求证：loga1a2…an(b1b2…bn)＝λ活动：学生思考、讨论，教师适当提示：(1)运用对数换底公式，统一成以a为底的对数可直接得解，或利用对数的定义，分别把三个式子设出，再由定义转化成指数形式，利用指数幂的性质得解；(2)这是条件证明问题，应在现有条件下利用换底公式，转化成积的形式，从题目的结论来看，真数是积的形式，因此要创造对数的和的形式，这就想到先换底，再利用等比性质来解．(1)证法一：设logax＝p，logabx＝q，logab＝r，则x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar.所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，从而p＝q(1＋r)．因为q≠0，所以eq\f(p,q)＝1＋r，即eq\f(logax,logabx)＝1＋logab.证法二：显然x>0且x≠1，x可作为底数，左边＝eq\f(logax,logabx)＝eq\f(logxab,logxa)＝logaab＝1＋logab＝右边．(2)证明：因为loga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，所以由换底公式得eq\f(lgb1,lga1)＝eq\f(lgb2,lga2)＝…＝eq\f(lgbn,lgan)＝λ.由等比定理，所以eq\f(lgb1＋lgb2＋…＋lgbn,lga1＋lga2＋…＋lgan)＝λ.所以eq\f(lgb1b2…bn,lga1a2…an)＝λ.所以loga1a2…an(b1b2…bn)＝eq\f(lgb1b2…bn,lga1a2…an)＝λ.点评：在解题过程中，根据题目的需要，把底数转化，换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简．例420世纪30年代，里克特()制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lgA－lgA0，其中，A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)?活动：学生审题，教师引导，学生交流，展示自己的思维过程，教师强调实际问题的注意事项．根据题目给出的数学模型及其含义来解决．这是实际问题，但题目给出了数学模型即关系式，关系式是以常用对数的形式给出，因此要利用对数的定义和运算性质，同时注意要使实际问题有意义．解：(1)M＝lg20－lg0.001＝lgeq\f(20,0.001)＝lg20000＝lg2＋lg104≈4.3.因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．(2)由M＝lgA－lgA0可得M＝lgeq\f(A,A0)，即eq\f(A,A0)＝10M，所以A＝A0·10M当M＝7.6时，地震的最大振幅为A1＝A0·107.6；当M＝5时，地震的最大振幅为A2＝A0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是eq\f(A1,A2)＝eq\f(A0×107.6,A0×105)＝107.6－5＝102.6≈398.答：7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍．点评：利用所学知识解决实际问题，是教学的一个难点．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本本节练习4.【补充练习】(1)已知lg2＝a，lg3＝b，则eq\f(lg12,lg15)等于()A.eq\f(2a＋b,1＋a＋b)B.eq\f(a＋2b,1＋a＋b)C.eq\f(2a＋b,1－a＋b)D.eq\f(a＋2b,1－a＋b)(2)已知2lg(x－2y)＝lgx＋lgy，则eq\f(x,y)的值为()A．1B．4C．1或4D．4或(3)若3a＝2，则log38－2log36＝(4)lg12.5－lgeq\f(5,8)＋lg0.5＝__________.答案：(1)C(2)B(3)a－2(4)1eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))探究换底公式的其他证明方法：活动：学生讨论、交流、思考，教师可以引导，大胆设想，运用对数的定义及运算性质和指数幂的运算性质．证法一：设logaN＝x，则ax＝N，两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN，即x＝eq\f(logcN,logca).故logaN＝eq\f(logcN,logca).证法二：由对数恒等式，得N＝alogaN，两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝eq\f(logcN,logca).证法三：令logca＝m，logaN＝n，则a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn.两边取以c(c>0且c≠1)为底的对数，得mn＝logcN，所以n＝eq\f(logcN,m)，即logaN＝eq\f(logcN,logca).对数换底公式的应用：换底公式logaN＝eq\f(logcN,logca)(c>0且c≠1，a>0且a≠1，N>0)的应用包括两个方面，即由左端到右端的应用和由右端到左端的应用，前者较为容易，而后者则易被学生忽视，因此，教学时应重视后者的用法，下面仅就后者举例说明：例：化简：eq\f(logaM,logaN)＋eq\f(logbM,logbN)＋eq\f(logcM,logcN)＋eq\f(logdM,logdN).解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．对数换底公式；2．换底公式可用于对数式的化简、求值或证明．若对数式的底数和真数可转化成同底数的幂的形式，则该幂底数可被选作换底公式的底数，也可把对数式转化成以10为底的常用对数或以任意数a(a＞0且a≠1)为底的对数式的形式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本习题2.2A组6、11、12.【补充作业】1．已知logeq\f(1,7)＝a，logeq\f(1,5)＝b，求log81175的值．解：因为logeq\f(1,7)＝log277＝eq\f(1,3)log37＝a，所以log37＝3a.又因为logeq\f(1,5)＝log35＝b，所以log81175＝eq\f(1,4)log325×7＝eq\f(1,4)(log325＋log37)＝eq\f(1,4)(2log35＋log37)＝eq\f(3a＋2b,4).2．求证：(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9eq\r(n,32)＝eq\f(5,2).证明：左边＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9eq\r(n,32)＝(eq\o(log23＋log23＋log23＋…＋log23,\s\do4(n个)))·eq\f(1,n)log932＝nlog23·eq\f(1,n)log3eq\r(32)＝log23·eq\f(5,2)log32＝eq\f(5,2)＝右边．eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))本堂课主要是学习对数的换底公式，它在以后的学习中有着非常重要的应用，由于对数的运算性质是在同底的基础上，因此利用对数换底公式把不同底数的对数转化为同底显得非常重要，有时也可以逆用对数的换底公式达到我们的目的，特别是实际问题的应用十分广泛，因此要反复训练，强化记忆，所以设计了大量的例题与练习，时要加快速度，激发学生学习的兴趣，多运用多媒体的教学手段．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))【备选例题】【例1】化简：eq\f(logaM,logbN)·eq\f(logbM,logcN)·eq\f(logcM,logdN)·eq\f(logdM,logaN).解：原式＝eq\f(logaM,logaN)·eq\f(logbM,logbN)·eq\f(logcM,logcN)·eq\f(logdM,logdN)＝logNM·logNM·logNM·logNM＝(logNM)4.【例2】求证：logab＝eq\f(1,logba)(a>0，b>0且a≠1，b≠1)．证法一：logab＝eq\f(logbb,logba)＝eq\f(1,logba).证法二：eq\f(1,logba)＝eq\f(logbb,logba)＝logab.【例3】试证：eq\f(1,log2x)＋eq\f(1,log3x)＋eq\f(1,log4x)＋…＋eq\f(1,lognx)＝eq\f(1,logn！x).证明：eq\f(1,log2x)＋eq\f(1,log3x)＋eq\f(1,log4x)＋…＋eq\f(1,lognx)＝logx(2×3×4×…×n)＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn！＝eq\f(1,logn！x).对数的创立对数是初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔(Napier,1550—1617年)男爵．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．当然，纳皮尔所发明的对数，在形式上与现代数学中的对数理论并不完全一样．在纳皮尔那个时代，“指数”这个概念还尚未形成，因