2023年安徽省合肥市名校联盟中考二模数学试卷（含答案与解析）

2023年安徽省合肥市名校联盟中考二模试题

数学

注意事项:

1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.

2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无

效的.

3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回.

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列为正数的是（)

A.0B.C--—\/2

2

2.下列计算正确的是()

3\25

A.o'•(-a)2=a6B.-a2-a3=a5C.一4）=-YD.-a\=a

3.以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）

4.据国家统计局统计,2022年全国城镇新增就业1206万人.其中“1206万“用科学记数法表示)

A.1.206xl08B.1.206xl07C.1206xl05D.1206xl04

x2x

5.化简x+l+x2-l的结果为（）

1XX

D.

D.T

7.A5是半圆。的直径，AC与半圆。相切于点A,5c交半圆。于点O,若=则NODC的度

数为（）

c

A.1800-aB.180°—2aC.90°-«D.9（）0+a

8.某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到

1班和2班的概率是（）

1131

A.-B.-C.—D.—

8682

9.如图，在正方形A8CO中，AB=1,动点P从A点出发沿-C方向在AB和8c上匀速移

动，连接。P交8c或8c的延长线于。，记点P移动的距离为x,CQ为了，则》关于x的函数图像大

致是（）

10.动点尸在等边一ABC的边AC上，AB=2,连接P5,AD_L依于。，以AO为一边作等边

NADE，££）的延长线交于尸，当收取最大值时，尸3的长为（）

A.2B.—C.y/sD.>/2H—

42

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11.计算:_1’户=一.

12.已知x=-2是关于x的一元二次方程a?—x=6的一个根，则该方程另一个根是.

13.已知一次函数y=x+2图象经过点P（a,〃），则关于x的一次函数y=ox+b的图象一定经过第

__________象限.

14.如图，点P在正方形ABC。内，ZBPC=135°,连接Q4、PB、PC、PD.

（1）若A4=AB,则NCPD=；

⑵若PB=2,PC=3,则PD的长为.

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

2（x+3）<10

15.解不等式组：\x

—1<2x

12

16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC的顶点均为格点（网格线的交点）,

直线/也经过格点.

（1）画出二A5C关于直线/对称的A!B'C；

（2）将线段AB绕点4顺时针旋转90得到线段OE，画出线段OE.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.2022年夏天我省旱情严重，A市接到援助命令后，立即组织车队将抗旱物资运往灾区B市.知A市和B

市两地相距160千米，车队从A市到8市实际出发时的速度比原计划提高了25%,结果提前04小时到达，

求车队原来的速度.

18.如图，在一块截面为矩形ABCD的材料上裁剪出一个机器零件（阴影部分），点E，G,〃分别在AB，

CD,边上，点/在矩形ABC。内部.已知3c=1.3米.

（1）若E，F，G三点在同一条直线上时，A3=2米，求机器零件（阴影部分）的面积；

（2）若N户8c=5（）°,/FCB=37°,求线段CF的长.（参考数据：sin37°«0.6,tan37°«0.75,

sin50°«0.77,tan50°«1.2）

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.丰艳花卉市场将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案

需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推.

图1图2图3

按照以上规律，解决下列问题：

（1）第4个图案需要花卉________盆；

（2）第〃个图案需要花卉________盆（用含〃代数式表示）；

（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花

卉的盆数.

20.如图，四边形ABC。内接于「。，AB=BC,对角线AC为。O直径，E为。外一点，AB平

分NDAE，AD=AE，连接BE.

（1）求NAEB的度数;

（2）连接CE,求证：2BE、AE2=CE2.

六、（本题满分12分）

21.某中学为了了解寒假课外阅读情况，随机抽取了20名学生，将他们的寒假阅读书本数分为5个星级（一

星级：1本、二星级：2本、三星级：3本、四星级：4本、五星级：5本），并绘制成不完全的统计图如下:

学生寒假读书本数条形图学生寒假读书本数扇形统计图

（2）分别求这20名学生读书本数的众数和平均数;

（3）该中学为了提高学生的课外阅读量，准备再奖励一部分图书给一星级和二星级的同学，请你估计全

校的获奖率.

七、（本题满分12分）

22.已知关于x的抛物线＞=%2-2*+m2+4,其中加为实数.

（1）求证：该抛物线与x轴没有交点；

（2）若与x轴平行的直线与这条抛物线相交于N两点（点”在点N的左侧），己知点M到＞'轴的

距离为求点N到＞轴的距离；

（3）设这条抛物线的顶点的纵坐标为。，当一3W，〃W2时，求。的取值范围.

八、（本题满分14分）

23.在四边形A8CO中，对角线AC,3。相交于。点.

（1）如图1,若AC平分/8W，AB^AC,AD=AO,求证：CD=BO；

（2）如图2,点E在A3边上，EM，EN分别垂直平分A£＞，BC,若AC=BD,求证:

ZBAD=ZABC；

（3）如图3,E，F，G分别为AC,BD，AB的中点，连接所分别交BC,AO于H,I,若

Al14cH在

-=-＞求17M的值.

ID5EG

参考答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

1.下列为正数的是（）

A.0B.C.-41D.|-2|

【答案】D

【解析】

【分析】根据大于0的数为正数，进行判断即可.

详解】解：2|=2>0,

.•.在0,—g,—&卜2|四个数中，卜2|为正数；

故选D.

【点睛】本题考查实数的分类.熟练掌握大于0的数为正数，是解题的关键.

2.下列计算正确的是（）

A.</.（-a）2=a6B.—a1-a3—a5C.（-a）=-AD.（-a‘）=cc'

【答案】C

【解析】

【分析】根据同底数幕的乘法，积的乘方法则，逐一进行计算即可得出结论.

【详解】解：A、/.（_。）2=。5,故选项A错误；

B、一々2.〃3二一々5,故选项B错误；

c、（-a2）3^-a6,故选项C正确；

D、（—/7=/,故选项D错误；

故选C.

【点睛】本题考查同底数幕的乘法，积的乘方.熟练相关运算法则，是解题的关键.

3.以下给出的几何体中，主视图是矩形，俯视图是圆的是（）

【答案】D

【解析】

【分析】根据几何体的正面看得到的图形，可得答案.

【详解】A、主视图是圆，俯视图是圆，故A不符合题意；

B、主视图是矩形，俯视图是矩形，故B不符合题意；

C、主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；

D、主视图是个矩形，俯视图是圆，故D符合题意；

故选D.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何的三视图是解题关键.

4.据国家统计局统计，2022年全国城镇新增就业1206万人.其中“1206万”用科学记数法表示为（）

A.1.206xl08B.1.206xl07C.1206xl05D.1206xl04

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为axlO"的形式，其中1＜忖＜10,〃为整数.确定〃的值时，要看把

原数变成〃时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于io时.，”是

正数；当原数的绝对值小于1时，〃是负数.

【详解】解：“1206万”用科学记数法表示为1.206x107,故B正确.

故选:B.

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为axlO",其中1＜忖＜10,"可以用整数位

数减去1来确定.用科学记数法表示数，一定要注意〃的形式，以及指数〃的确定方法.

x

5.化简何+r的结果为（）

XX

C.——D.------

x+1x-1X+1x-J

【答案】D

【解析】

【分析】首先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简.

x2x

【详解】解：一二+二二

x+1X—1

x2x

77T+(x+l)(x-l)

x(x-l)2x

x2—x2x

X2+x

(x+l)(x-l)

x(x+l)

(x+

X

故选：D.

【点睛】本题考查分式的加减运算.掌握相应的运算法则是解题的关键.

6.甲、乙、丙、丁四名篮球运动员在同一场比赛中投篮情况如下表：

甲乙丙T

投篮次数20252530

投中次数13141518

这四名篮球运动员投篮命中率最高的是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】A

【解析】

【分析】分别计算命中率，然后比较大小即可解题.

•15318312

【详解】解：；一=—，一=—=一,

25530520

•_1_4_w__1_5_—__1_8_w__1_3_

2525-30201

・二甲的命中率局J.

故选A.

【点睛】本题考查有理数的比较，能比较有理数的大小是解题的关键.

7.A8是半圆。的直径，AC与半圆O相切于点A,8c交半圆。于点若NC=a,则ZODC的度

数为（）

c

L)

-------------O-----------'B

A.180。—。B.1800-2«C.90°-aD.900+a

【答案】D

【解析】

【分析】根据切线的性质，得到NC45=90°,互余关系，求出N6,等边对等角，求出NODB,邻补角

求出NQDC的度数即可.

【详解】解：:AB是半圆。的直径，AC与半圆。相切于点A，8c交半圆。于点。，

NCAB=90°,OD=OB,

：.NB=NC4B—NC=90°—a,

/ODB=/B=9Q°—a,

NODC=180°-NODB=90°+a；

故选D.

【点睛】本题考查切线的性质，等边对等角，互余关系，邻补角.熟练掌握切线垂直于过切点的半径，是

解题的关键.

8.某校九年级共有1、2、3、4四个班，现从这四个班中随机抽取两个班进行一场篮球比赛，则恰好抽到

1班和2班的概率是（）

A.—8B.—6C.—8D.—2

【答案】B

【解析】

【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好抽到1班和2班的结果数，然后根据概率公

式求解.

【详解】解：画树状图为:

1234

AAAA

234134124123

共有12种等可能的结果数，其中恰好抽到1班和2班的结果数为2,

1

2

所以恰好抽到1班和2班的概率=一6-

故选：B.

9.如图，在正方形ABC。中，A5=l.动点尸从A点出发沿AfB—C方向在AB和8C上匀速移

动，连接交或3C的延长线于Q,记点P移动的距离为x,CQ为九则》关于x的函数图像大

"ol12-ol12-~o\12*-ol_12"^

【答案】C

【解析】

【分析】分三种情况讨论得出y关于x的函数关系式即可得出答案.

【详解】解：①当点p与点A重合时，

在正方形A8CO中，AD//BC,

•••DP与或8C的延长线没有交点，不符合题意；

②当点尸在线段AB之间（点尸不与点A、点3重合），

•••四边形438是正方形，AB=1，

：.AD//BC,AO=BC=AB=1,

AZADP=ZBQP,AA=NQBP,

...AADP^^BQP,

.ADAP

•.•点p移动的距离为x,CQ为y,

AP=x,BP=AB-AP=l-x,BQ=CQ-BC=y-\,

.1_x

,・y-l\-x，

Ay--（O<x<l）,它的图像是反比例函数图像的一部分；

②当点P在线段8C之间（点P可与点8、点C重合），此时点P与点Q重合,

VAB+BQ=x,CQ-y,

又；AB+BQ+CQ=AB+BC=2,

Ay=2-x(l<x<2),它的图像是一条线段；

，动点P从A点出发沿Af3—C方向在A3和8C上匀速移动时所对应函数关系式为:

-(0<%<1)

2—x(l<x<2)

故选:C.

A

BQ(P)C

【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一

次函数的图像.解题的关键和难点在于根据点P的位置分情况讨论.

10.动点尸在等边一ABC的边AC上，AB=2.连接P5,AD_L依于。，以AO为一边作等边

NADE，ED的延长线交3C于F，当所取最大值时，P3的长为()

/3

BF

C.73

【答案】C

【解析】

【分析】分别连接AF，EC,作CG//BD,交所的延长线于G,利用等边三角形的性质和全等

三角形的判定与性质得到NAEC=NAT)B=90°,CE=BD；证明△BOF"CGF(AAS),则

BF=FC,利用等腰三角形的三线合一性质得到NAfC=90°,从而得到A,F，C,E四点共圆，利

用圆中最长的弦为直径得到当EE取最大值时，则所等于直径4C,利用勾股定理即可求得结论.

【详解】解：如图，连接A尸，EC,作CG〃3O,交收的延长线于G,

•..一A8C和VADE是等边三角形，AD^PB

AB=AC,AD=AE，ABAC=ZDAE,ZADB=ZADB=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

在，84。和VC4E中，

AB=AC

­/BAD=ZCAE

AD=AE

：.AAAD^AGAE(SAS),

AZAEC^ZADB=90°,CE=BD,

,/ZA£D=ZADE=60。，

/./CED=NEDP=3H,

：.ABDF=AEDP=30。,

'：CG//BD,

；.NG=ZBDF=30。,

NG=NCEG=30。，

/.CG=CE,

BD=CG>

在VBO厂和ACG尸中，

ZBDF=ACGF

■4BFD=4CFG

BD=CG

△BDF^ACGF(AAS),

BF=FC,

点尸为8C中点，

AB=AC,

/•AFIBC,

：.ZAFC=90°,

：.ZAFC+ZAEC=1SO°,

A,F,C,E四点共圆，

当EE取最大值时，则所等于直径AC,

此时P为4C中点，BPLAC,

AB=2,

：.AP=-AC=1,

2

•••PB=yjAB^AP2=V22-l2=V3-

...尸8的长为

故选：C.

/

o

【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆内接

四边形等知识.利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11.计算：—(1—J(—2>=.

【答案】-4

【解析】

【分析】直接利用负整数指数基的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案.

【详解】解：原式=—2—2=-4.

故答案为：-4.

【点睛】此题主要考查了实数运算，能根据负整数指数基的性质以及二次根式的性质正确化简各数是解题

关键.

12.已知x=—2是关于x的一元二次方程以2一%=6的一个根，则该方程另一个根是.

【答案】x=3

【解析】

【分析】将》=一2代入方程，求出”的值，再解方程求出另一个根即可.

【详解】解:由题意,得：(—2)%—(—2)=6,

解得：a=1,

...一元二次方程为d—x=6，

解得：》=3或％=-2,

,该方程另一个根是：x=3.

故答案为：x=3.

【点睛】本题考查一元二次方程根以及解一元二次方程，熟练掌握相关知识点，是解题的关键.

13.已知一次函数y=x+2的图象经过点尸(“力)，则关于x的一次函数丁=奴+6的图象一定经过第

__________象限，

【答案】二

【解析】

［分析］根据一次函数y=x+2的图象经过点P(a,b)，得到匕=。+2,进而得到y=ax+b=ax+a+2,

即y=a(x+l)+2,推出图象必过点(-1,2),即可得出结论.

【详解】解：•••一次函数丁=%+2的图象经过点P(a,6),

."./>=a+2>

/.y=ax+b=ax+a+2,即y=a(x+l)+2.

...一次函数y=奴+。的图象必过点(-1,2),

•••点(-1,2)在第二象限，

关于x的一次函数y=ax+匕的图象一定经过第二象限.

故答案为：二.

【点睛】本题考查一次函数的图象和性质.解题的关键是确定出一次函数的图象必过点(-1,2).

14.如图，点P在正方形A8C。内，NBPC=135。，连接抬、PB、PC、PD.

⑴若=AB,则ZCPD=:

⑵若PB=2,PC=3,则PO的长为.

【答案】①.90°##90度②.V22

【解析】

【分析】(1)根据正方形的性质得到">=43,求得•PA^AB，设NAPB=a,则

NB4P=180°—2a,根据周角的定义即可得到结论；

(2)如图，过C作CQLCP,过P作P。与CQ相交于。，连接BQ,推出△PC。为等腰

直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PQ=30，根据全等三角形的性质得到=根据勾

股定理即可得到结论.

【详解】解：(1)•••四边形ABC。是正方形，

•••AD=AB，

,/PA=AB，

•••PA^AD，

设NAP3=a，

/.ABAP=\80°-2a,

ZPAD=90°-(180°-2a)=la-90°,ZAPD=l[180°-(2«-90°)]=135°-a,

N5PC=135。，

ZCPD=360°-(135°-£Z)-£Z-135O=90°,

故答案为：90°；

(2)如图，过C作CQLCP,过p作PQLP8,尸。与C。相交于。，连接6Q,

VZBPC=135°,PC=3,PB=2,

.•.NCPQ=45,

△PC。为等腰直角三角形，

CQ=PC=3,

PQ=y/PC2+CQ2=V32+32=372，

NDCB=NPCQ=90°,

NPCD=NQCB,

在二。CP和△BCQ中，

DC=BC

«ZPCD=ZQCB,

CP=CQ

：.△DCP^ABCQ(SAS),

BQ=PD,

在RtZSPBQ中，PB-+PQ-=BQ2,

；•PD=BQ=[PQ)+BP。=+2?=后，

PD的长为J五，

故答案为：722.

【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助

线是解题的关键.

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

2(x+3)<10

15.解不等式组：\x

—1<2.x

12

2

【答案】——<x<2

3

【解析】

【分析】分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得解。

【详解】解：解不等式2(%+3)<10得：》<2,

X2

解不等式——l<2x得：工〉——,

23

2

・・・原不等式组的解集为一一<x<2.

3

【点睛】本题考查解一元一次不等式组.正确的解出每一个不等式，根据同大取大，同小取小，大小小大

中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集，是解题的关键.

16.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，_ABC的顶点均为格点(网格线的交点),

直线/也经过格点.

(1)画出关于直线/对称的.A'8'C；

(2)将线段A8绕点A顺时针旋转90得到线段。E，画出线段OE.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】（1）找出A,B,C关于直线/的对称点A',&,C',连线即可得到.A'3'C',

（2）根据旋转的性质，画出线段£>E即可.

【小问1详解】

解：如图.A'8'C即为所求;

【小问2详解】

如上图，。后印为所求.

【点睛】本题考查轴对称作图，旋转作图.熟练掌握相关作图方法，是解题的关键.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.2022年夏天我省旱情严重，A市接到援助命令后，立即组织车队将抗旱物资运往灾区8市.知A市和B

市两地相距160千米，车队从A市到B市实际出发时的速度比原计划提高了25%,结果提前04小时到达，

求车队原来的速度.

【答案】车队原来的速度是80千米/小时

【解析】

【分析】设车队原来的速度为x千米/小时，根据题意，列出分式方程，进行求解即可.

160160八，

【详解】解：设车队原来的速度为x千米/小时，由题意得，------八

xx（l+25%）

解得x=80,

经检验x=8（）是原方程的解，

答：车队原来速度是80千米/小时.

【点睛】本题考查分式方程的应用.找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键.

18.如图，在一块截面为矩形A8CD的材料上裁剪出一个机器零件（阴影部分），点E，G,”分别在AB，

CD,AO边上，点F在矩形ABC。内部.已知BC=1.3米.

（1）若E，F，G三点在同一条直线上时，A3=2米，求机器零件（阴影部分）的面积；

（2）若NFBC=50°,4FCB=37°,求线段CF的长.（参考数据：sin370®0.6,tan37°«0.75,

sin50°«0.77,tan50°«1.2）

【答案】（1）1.3平方米

（2）米

【解析】

【分析】（1）连接EG,易得：EG左边的阴影部分的面积等于矩形AEGO面积的EG右边的阴影部

分的面积等于矩形BEGC面积的进而得到阴影部分的面积等于矩形A8CO面积的3,进行求解即可;

（2）作EPL8C于尸，设EP=x,利用锐角三角函数分别用含x的式子表示出P8,PC,根据

BC=PB+PC,求出x的值，再利用三角函数求出的长即可.

【小问1详解】

解：如图1,连接EG,

E,F,G三点在同一条直线上，

；.EG经过F,

EG左边的阴影部分的面积等于矩形AEG。面积的g,

EG右边的阴影部分的面积等于矩形BEGC面积的g,

阴影部分的面积等于矩形ABCO面积的g,

即阴影部分的面积=,x2xl.3=1.3（平方米）；

2

【小问2详解】

图1

如图2,作FPJ_BC于P,设EP=x,

在Rt3尸产中，

ZFBC=50°,

tan50=—,BPPB=—,

PB1.2

在RtACP尸中，

ZFCB=37°,

PFx

tan37°=—即PC

PC075

BC=1.3米,

xx

—=1.3,解得x=0.6米,

1.20.75

PE=0.6米，

PF

在RtAsCPF中，sin37°=—,

CF

..b=l米.

图2

【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形.通过添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.丰艳花卉市场将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案

需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，以此类推.

••

图1图2图3

按照以上规律，解决下列问题：

（1）第4个图案需要花卉盆；

（2）第〃个图案需要花卉________盆（用含〃的代数式表示）;

（3）已知丰艳花卉市场春节期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，求该花卉图案中深色花

卉的盆数.

【答案】（1）41

（2）tv+（«+1）'

（3）2601

【解析】

【分析】（1）第1个图案需要花卉的盆数为：5=1+4=12+22.第2个图案需要花卉的盆数为：

13=2X2+3X3=22+32.第3个图案需要花卉的盆数为：25=3x3+4x4=32+4?，…，据此可求

解；

（2）根据（1）进行总结即可；

（3）可设第，〃个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，结合（2）进行求解即可.

【小问1详解】

解：第1个图案需要花卉的盆数为：5=1+4=12+22，

第2个图案需要花卉的盆数为：13=2x2+3x3=22+32,

第3个图案需要花卉的盆数为：25=3*3+4x4=32+42,

第4个图案需要花卉的盆数为：4x4+5x5=42+52=16+25=41（盆）.

故答案为：41.

【小问2详解】

由（1）可得：第〃个图案需要花卉的盆数为+［盆.

故答案为：“-+（”+1）.

【小问3详解】

设第加个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多101盆，

由题意得：（加+1『一疗=101,

解得：m=50,

（50+1）2=512=2601（盆）.

答：该花卉图案中深色花卉的盆数为2601盆.

【点睛】本题考查图形的变化规律，一元一次方程的应用，列代数式.解题的关键是由所给的图形总结出

存在的规律.

20.如图，四边形ABCO内接于（。，AB=BC,对角线AC为。。的直径，E为0。外一点，A5平

分NDAE，AD^AE，连接3E.

E、

B

(1)求NAEB的度数；

(2)连接CE,求证：2BE?+AE?=CE?.

【答案】(1)45°

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)连接5。，由条件推出AABE也△ABO(SAS),得到；.=NAD3，由圆周角定理

即可求出NAE6的度数；

(2)延长E4交一。于尸，分别连接所，CF,由圆周角定理得到NAFC=90°,由勾股定理得到

EF2+CF2^CE2,由等腰直角三角形的性质，勾股定理得到砂2=28£2,由圆心角、弧、弦的关系

得到C/=AE,从而证明问题.

【小问1详解】

解：连接89，

•••AB平分ZD4E，

/EAR=/DAR,

在，ABE和△A3。中，

AE=AD

<ZEAB=NDAB,

AB=AB

：.△ABE也△ABO(SAS),

AZAEB^ZADB.BE=BD，

：AC为O。的直径，

，ZABC=90°,

,/AB=BC,

：.ZADB=AACB=A5°,

，ZAEB=ZADB=45°,

：.NAEB的度数为45°；

【小问2详解】

证明：延长E4交。。于F，分别连接斯，CF,

为。。的直径，

/.ZAFC=90"，

•••EF2+CF2^CE2,

在ABEF中，NFEB=45，NBFE=ZACB=45，

：.ZEBF=180°-ZFEB-ZBFE=90°,BE=BF，

•"­EF2=BE2+BF2=2BE1，

,/BD=BE，

BD=BF，即BD=BF，

：AB=BC,

AB=BC，

CD=AF，

AD=CF，

AD=CF=AE,

•••2BE2+AE2=CE2.

Ez

【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的判定和性质，全等三角

形的判定和性质，综合应用以上知识点是解题的关键.

六、（本题满分12分）

21.某中学为了了解寒假课外阅读情况，随机抽取了20名学生，将他们的寒假阅读书本数分为5个星级（一

星级：1本、二星级：2本、三星级：3本、四星级：4本、五星级：5本），并绘制成不完全的统计图如下：

学生寒假读书本数条形图学生寒假读书本数扇形统计图

（2）分别求这20名学生读书本数的众数和平均数；

（3）该中学为了提高学生的课外阅读量，准备再奖励一部分图书给一星级和二星级的同学，请你估计全

校的获奖率.

【答案】（1）见解析（2）众数为2本，平均数为2.45本

（3）55%

【解析】

【分析】（1）用总数减去其他人数求出二星级的人数，利用二星级和五星级的人数除以总人数，求出它们各

自的百分比，再补全统计图即可；

（2）根据星级人数最多的对应的数据即为众数，利用加权平均数的计算方法求出平均数即可；

（3）利用一星级和二星级的人数之和除以样本总人数，估计全校获奖率即可。

【小问1详解】

解：条形图中二星级为20-1—3—5—5=6人，扇形图中二星级为?=0.3=30%,五星级为

-1=0.05=5%,补全统计图如下:

20

学生寒假读书本数条形图学生寒假读书本数扇形统计图

【小问2详解】

众数为2本,

平均数为1x0.25+2x0.3+3x0.25+4x0.15+5x0.05=2.45本；

【小问3详解】

获奖率为2x100%=55%.

20

【点睛】本题考查扇形统计图和条形统计图的综合应用.从统计图中有效的获取信息，利用频数除以百分

比，求出总数，是解题的关键.

七、（本题满分12分）

22.已知关于X的抛物线丁=一—2%+/”2+4,其中加为实数.

（1）求证：该抛物线与X轴没有交点；

（2）若与X轴平行的直线与这条抛物线相交于N两点（点〃在点N的左侧），已知点M到y轴的

距离为求点N到轴的距离：

（3）设这条抛物线顶点的纵坐标为〃，当—时，求，的取值范围.

53

【答案】（1）见解析（2）点N到〉轴的距离为士或士；

22

（3）3<p<12

【解析】

【分析】⑴令y=o,即/一2工+“+4=0,利用根判别式即可即可判断；

（2）求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性即可求得N点的横坐标，从而求得点N到）'轴的距离；

（3）求得顶点的纵坐标为2=小+3,利用二次函数的性质，根据根的范围确定出顶点纵坐标范围即可.

【小问I详解】

解：令y=。，即％2-2彳+加2+4=0，

其判别式为△=（—2）2-4（m2+4）=-4m2-12<0,

这条抛物线与x轴没有交点；

【小问2详解】

解：•.•抛物线了=/-28+机2+4的