广东省中山市重点学校2023-2024学年高三上学期第一次段考数学试卷（含答案）

中山市重点学校2023-2024年度第一学期高三段考数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U＝R，集合A＝{x|2x>4}，B＝{x|(x－1)(x－3)<0}，则(∁UA)∩B等于()A．(1,2)B．(1,2]C．(1,3)D．(－∞，2]2．已知i为虚数单位，则复数z＝eq\f(3＋i,1－ii)的虚部为()A．iB．2C．－1D．－i3.如果函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－ax＋1，x<1，,ax，x≥1))满足对任意x1≠x2，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，那么实数a的取值范围是()A．(0,2)B．(1,2)C．(1，＋∞)D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))4．2eq\r(1＋sin4)＋eq\r(2＋2cos4)等于()A．2cos2B．2sin2C．4sin2＋2cos2D．2sin2＋4cos25.已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－16．若实数a，b满足a>0，b>0，则“a>b”是“a＋lna>b＋lnb”成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.下列函数中，以eq\f(π,2)为周期且在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|8.函数f(x)＝eq\f(3x－3－x,x4)的大致图象为()二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列命题正确的是()A．若a>b，c>d，则a－d>b－cB．若a>b，c>d，则a－c>b－dC．若a>b，c>d，则ac>bdD．若a>b>c>0，则eq\f(b,a－b)>eq\f(c,a－c)10.若定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x＋4)为偶函数，则()A．f(2)>f(3)B．f(2)＝f(6)C．f(3)＝f(5)D．f(3)>f(6)11.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．f(x)有两个极值点B．f(0)为函数的极大值C．f(x)有两个极小值D．f(－1)为f(x)的极小值12.已知函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,4)))，则下列关于函数f(x)的描述正确的是()A．f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递增B．f(x)图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))C．f(x)图象的一条对称轴是x＝－eq\f(π,6)D．将f(x)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位后，所得函数图象关于y轴对称三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知角α的终边与单位圆的交点为Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，y))，则sinα·tanα等于14.函数y＝＋eq\f(1,2x)，x∈[1,2)的值域为15.已知函数f(x)＝－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是16.函数y＝lg|x|－sinx的零点个数为四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数f(x)＝sin(2π－x)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－x))－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3).(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(7π,12)))时，求f(x)的最小值和最大值．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin

eq\f(A＋C,2)＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．19.已知等比数列{an}的公比q>1，a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，数列{anbn}的前n项和为eq\f(2n－1·3n＋1,2).(1)分别求出数列{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和为Sn，∀n∈N*，Sn≤m恒成立，求实数m的最小值．20.已知函数f(x)＝ax＋lnx，其中a为常数．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．21.元旦在即，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求a同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为a同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列．22.设函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x，m>0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论f(x)与g(x)图象的交点个数．高三数学段考参考答案一、单选题。题号12345678答案BCDBDCAB二、多选题。题号9101112答案ADBCDBCAC填空题。14、15、（0,1）16、6四、解答题。17题答案：解(1)由题意，得f(x)＝(－sinx)(－cosx)－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3)＝sinxcosx－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)(cos2x＋1)＋eq\r(3)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)，所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π；令2x－eq\f(π,3)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，故所求图象的对称轴方程为x＝eq\f(kπ,2)＋eq\f(5π,12)(k∈Z)．(2)当0≤x≤eq\f(7π,12)时，－eq\f(π,3)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(5π,6)，由函数图象(图略)可知，－eq\f(\r(3),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1.即0≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\f(\r(3),2)≤eq\f(2＋\r(3),2).故f(x)的最小值为0，最大值为eq\f(2＋\r(3),2).18题答案：解(1)由题设及正弦定理得sinAsin

eq\f(A＋C,2)＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sin

eq\f(A＋C,2)＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sin

eq\f(A＋C,2)＝cos

eq\f(B,2)，故cos

eq\f(B,2)＝2sin

eq\f(B,2)cos

eq\f(B,2).因为cos

eq\f(B,2)≠0，所以sin

eq\f(B,2)＝eq\f(1,2)，所以B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a.由(1)知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(sin120°－C,sinC)＝eq\f(\r(3),2tanC)＋eq\f(1,2).由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.结合A＋C＝120°，得30°<C<90°，所以eq\f(1,2)<a<2，从而eq\f(\r(3),8)<S△ABC<eq\f(\r(3),2).因此，△ABC面积的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),8)，\f(\r(3),2))).19题答案：解(1)因为a1＝2，且a1，a2，a3－8成等差数列，所以2a2＝a1＋a3－8，即2a1q＝a1＋a1q2－8，所以q2－2q－3＝0，所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝eq\f(2n－1·3n＋1,2)，所以a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝eq\f(2n－3·3n－1＋1,2)(n≥2)，两式相减，得anbn＝2n·3n－1(n≥2)，因为an＝2·3n－1，所以bn＝n(n≥2)，当n＝1时，由a1b1＝2及a1＝2，得b1＝1(符合上式)，所以bn＝n(n∈N*)．(2)因为数列{an}是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,2)，公比为eq\f(1,3)的等比数列，所以Sn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n)),1－\f(1,3))＝eq\f(3,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n))<eq\f(3,4).因为∀n∈N*，Sn≤m恒成立，所以m≥eq\f(3,4)，即实数m的最小值为eq\f(3,4).20题答案：解(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝－1时，f(x)＝－x＋lnx，f′(x)＝－1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)＝0，得x＝1.当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x)max＝f(1)＝－1.∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.(2)f′(x)＝a＋eq\f(1,x)，x∈(0，e]，eq\f(1,x)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞)).①若a≥－eq\f(1,e)，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，∴f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．②若a<－eq\f(1,e)，令f′(x)>0得a＋eq\f(1,x)>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－eq\f(1,a)；令f′(x)<0得a＋eq\f(1,x)<0，结合x∈(0，e]，解得－eq\f(1,a)<x≤e.从而f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))上单调递增，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，e))上单调递减，∴f(x)max＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a))).令－1＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－3，得lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)))＝－2，即a＝－e2.∵－e2<－eq\f(1,e)，∴a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2.21题答案：解(1)设“a同学摸球三次后停止摸球”为事件E，则P(E)＝eq\f(A\o\al(2,3),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,4)，故a同学摸球三次后停止摸球的概率为eq\f(1,4).(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.P(X＝0)＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(2,A\o\al(2,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝eq\f(1,A\o\al(2,4))＋eq\f(A\o\al(2,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(1,6)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)A\o\al(2,2