高中数学必修四精讲精练

博源教育课外辅导学习班贾老师高中数学同步辅导班精讲精练教材——必修四PAGE2PAGE5博源教育课外学习班授课地址：兰州市西固区福利路十二街区兰炼一中后面天憬缘小区联系电话录TOC\o"1-2"\h\z\u第一节三角函数 2第一课时：任意角的概念 2第二课时：任意角的三角函数 6第三课时：同角三角函数关系 10第四课时：诱导公式 12第五课时：三角函数的图象 16第六课时：正余弦函数的性质及值域 18第七课时：正切函数的性质 22第八课时：函数的图象与性质 24第二节三角恒等变换 29第九课时：两角和与差的正余弦公式 29第十课时：简单的三角恒等变换 32第三节平面向量 34第十一课时：平面向量的基本概念 34第十二课时：平面向量的基本定理 39第一节三角函数第一课时：任意角的概念一、课本知识梳理及理解1.在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？2.任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）3.象限角的定义（轴线角）3.1.能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º3.2.上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.3.3.具有相同终边的角彼此之间有什么关系？3.3.1.你能写出与60º角的终边相同的角的集合吗？4.什么叫角度制？4.1.角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？4.2.什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？4.3.弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？4.4.角的集合与实数集R之间建立了一一对应对应关系。4.5.用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合.4.6.在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。（理解推导过程）二、典型例题精讲精练例1：在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650º（2）-150º（3）-990º15¹B组1.将下列弧度转化为角度：（1）=°；（2）－=°′；（3）=°；2.将下列角度转化为弧度：（1）36°=rad；（2）－105°=rad；（3）37°30′=rad；3.已知集合M=｛x∣x=,∈Z｝，N=｛x∣x=,k∈Z｝，则（）A．集合M是集合N的真子集B．集合N是集合M的真子集C．M=ND．集合M与集合N之间没有包含关系4.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则()A．扇形的面积不变B．扇形的圆心角不变C．扇形的面积增大到原来的2倍D．扇形的圆心角增大到原来的2倍5、把表示成的形式，使最小的为（）A、B、C、D、6.角α的终边落在区间（－3π,－eq\f(5,2)π）内,则角α所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.已知扇形的周长是，面积为，则扇形弧度数是（）A、1B、4C、1或4D、2或48.将下列各角的弧度数化为角度数：（1） 度；（2）______度；（3）1．4=度；（4）度.9.若圆的半径是，则的圆心角所对的弧长是；所对扇形的面积是__ .10.已知集合A=,B=，求.11.已知一个扇形周长为，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？12.如图，已知一长为，宽为的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成的角，问点A走过的路程及走过的弧度所在扇形的总面积？第二课时：任意角的三角函数一、课本知识梳理及理解1．1.用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数。1．2.改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么？1．3.怎样将锐角三角函数推广到任意角？1．4.锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关，与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小只与终边所在位置有关。1．5.随着角的确定，三个比值唯一确定，依据函数定义，三个比值和角可以构成函数。1.5.1.对于任意角的三角函数思考下列问题：①定义域；②函数值的符号规律③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？④终边相同的角相差的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系？1.5.2.三角函数线二、典型例题精讲精练例1．已知角的终边经过点P（2，-3），求练1.1.已知角的终边经过点P（2a，-3a）(a0),求的值.练1.2.角的终边经过点P（-x，-6）且，求x的值.例2．确定下列三角函数值的符号（1）cos(2)sin(-465º)(3)tan练2.1.若cos>0且tan<0，试问角为第几象限角练2.2.使sincos<0成立的角的集合为（）A.B.C.D.例3.作出下列各角的三角函数线（1）（2）例4.比较下列各组数的大小(1)sin1和sin(2)cos和cos(3)tan和tan(4)sin和tan练4.1.若是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较之间的大小关系。练4.2.根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样的变化规律。例5．利用单位圆分别写出符合下列条件的角的集合（1），（2），(3)。练5.1.已知角的正弦线和余弦线分别是方向一正一反,长度相等的有向线段,则的终边在（）A第一象限角平分线上B第二象限角平分线上C第三象限角平分线上D第四象限角平分线上练5.2.当角,满足什么条件时有.练5.3.sin>cos,则的取值范围是_________。练5.4.已知集合E={|cos<sin,0},F={tan<sin}。求集合EF三、课堂练习题组A组1、函数的定义域是（）A．，B．，C．， D．，2、若θ是第三象限角，且，则是（）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角3、已知点P（）在第三象限，则角在 （ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限4、已知sintan≥0，则的取值集合为．5、若角α终边上有一点，则的值为（）A、B、－C、±D、以上都不对6、下列各式中不成立的一个是（）A、B、C、D、7、已知α终边经过，则.8、若α是第二象限角，则点是第几象限的点.9、已知角θ的终边在直线y=x上，则sinθ=；=．10、设角x的终边不在坐标轴上，求函数的值域.11、(1)已知角的终边经过点P(4,－3)，求2sin+cos的值；（2）已知角的终边经过点P(4a,－3a)(a≠0)，求2sin+cos的值；（3）已知角终边上一点P与x轴的距离和与y轴的距离之比为3∶4（且均不为零），求2sin+cos的值．B组1、若eq\f(π,4)<θ<eq\f(π,2)，则下列不等式中成立的是（）A．sinθ>cosθ>tanθB．cosθ>tanθ>sinθC．tanθ>sinθ>cosθD．sinθ>tanθ>cosθ2、角（0<<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．那么的值为（）A．eq\f(π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(7π,4)D．eq\f(3π,4)或eq\f(7π,4)3、若0<<2π，且sin<,cos>eq\f(1,2).利用三角函数线，得到的取值范围是（）A．（－eq\f(π,３)，eq\f(π,３)）B．（0，eq\f(π,３)）C．（eq\f(5π,３)，2π）D．（0，eq\f(π,３)）∪（eq\f(5π,３)，2π）4、依据三角函数线，作出如下四个判断：①sineq\f(π,6)=sineq\f(7π,6)；②cos（－eq\f(π,4)）=coseq\f(π,4)；③taneq\f(π,8)>taneq\f(3π,8)；④sineq\f(3π,5)>sineq\f(4π,5)．其中判断正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5、若角的正弦与余弦线的长度相等且符号相同，那么角α的值为（）A.B.C.或D.以上都不对6、用三角函数线判断1与的大小关系是（）A、>1B、≥1C、=1D、<17、利用单位圆写出符合下列条件的角x的集合。⑴；⑵；⑶。8、已知角α的终边是OP，角β的终边是OQ，试在图中作出α，β的三角函数线，然后用不等号填空：⑴；⑵；⑶。9、若－eq\f(2π,３)≤θ≤eq\f(π,6)，利用三角函数线，可得sinθ的取值范围是．10、作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：⑴；⑵；⑶。11、已知α是第三象限角，问点在第几象限？请说明理由。第三课时：同角三角函数关系一、课本知识梳理及理解1.1.在三角求值时，应注意：①角所在象限；②一般涉及到开方运算时要分类讨论。1.2.在化简时应注意化简结果：①涉及的三角函数名称较少；②表达形式较简单。1.3.证明恒等式时常用以下方法：①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左右两边等于同一个式子；③分析法，寻找等式成立的条件。证明的指向一般是“由繁到简”。二、典型例题精讲精练例1.已知，且是第二象限角，求练1.已知，求的值.例2:.化简（1），其中是第二象限角,（2）+，其中是第四象限角（3）例3：求证：三、课堂练习题组1、已知求的值。2、已知，，求的值.3、化简：4、证明5、已知，则α所在的象限是（）A、第一象限B、第二象限C、第一、三象限D、第二、四象限6、的值为（）A、B、C、D、||7、若是方程的两根，则的值为A． B． C． D．8、⑴已知，则。⑵。9、已知α是第三象限角，化简。10、化简：11、证明下列恒等式：⑴；⑵。第四课时：诱导公式一、课本知识梳理及理解1.如何把任一角的三角函数的求值问题转化为0º—360º间三角函数的求值问题？2.已知任意角的终边与单位圆相交于P（x，y），求P关于x轴，y轴，原点对称的三个点的坐标.2.1.如果角的终边与角的终边关于原点对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？2.2.如果角的终边与角的终边关于x轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？2.3.如果角的终边与角的终边关于y轴对称，那么与的三角函数值之间有什么关系？3.三角函数诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）4.将任意角的三角函数化为锐角的三角函数的算法流程为:任意角二、典型例题精讲精练例1．求值（1）;（2）;（3）tan(-1560º)练1.求值（1）;（2）;（3）例2．已知,求的值.练2.已知,求的值。例3．1.化简例3.2．已知，且，求练3.1.已知，且，求的值.练3.2.设（）,求三、课堂练习题组A组1、对于诱导公式中的角，下列说法正确的是（）A．一定是锐角B．0≤＜2πC．一定是正角D．是使公式有意义的任意角2、若则的值是（）A．B．C．D．3、已知，则= ．4、求cos（－2640°）+sin1665°的值。5、的值是（）A、B、C、D、6、已知=（）A、B、C、D、7、等于（） A．sin2－cos2B．cos2－sin2C．±（sin2－cos2）D．sin2+cos28、若，则＝________．9、化简：＝_________．10、已知，求的值.11、已知，为第三象限角，求的值．12、化简：.B组1、已知sin(+α)=，则sin(-α)值为（）A. B.—C. D.—2、如果则的取值范围是（）A． B．C． D．3、设角的值等于（）A． B．－ C． D．－4、若那么的值为（）A．0 B．1 C．－1 D．5、满足条件的函数为（）A、B、C、D、6、=.7、将下列三角函数转化为锐角三角函数，填在题中横线上：__；；；.8、若cosα＝，α是第四象限角，求的值．9、已知、是关于的方程的两实根，且求的值.（注：=1/）10、记，（、、、均为非零实数），若，求的值．11、化简：12、已知，且α是第三象限角.⑴求的值；⑵已知α是第四象限角，化简：.第五课时：三角函数的图象一、课本知识梳理及理解在区间上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、伸缩、对称等手段得到.二、典型例题精讲精练例1：用“五点法”画下列函数的简图(1)y=cosxx∈R(2)y=sinxx∈R练1.1.函数y=2cosx与y=cosx的图象之间有何联系？能推广y=Acosx(A>0)与y=cosx图象间关系吗？练1.2函数y=sin2x与y=sinx的图象之间有何联系？你能推广y=sinωx(ω>0)与y=sinx图象间关系吗?例2：用“五点法”画y=sin()的简图三、课堂练习题组1、函数(a0)的定义域为（）A．RB.C.D.[-3,3]2、在[0,2]上,满足的x取值范围是().A.BC.D.3、用五点法作的图象.4结合图象，判断方程的实数解的个数.5、观察正弦函数的图象，以下4个命题：（1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴，其中正确的是（）A、（1）、（2）B、（1）、（3）C、（1）、（4）D、（2）、（3）6、对于下列判断：（1）正弦函数曲线与函数的图象是同一曲线；（2）向左、右平移个单位后，图象都不变的函数一定是正弦函数；（3）直线是正弦函数图象的一条对称轴；（4）点是余弦函数的一个对称中心.其中不正确的是（）A、（1）B、（2）C、（3）D、（4）7、（1）的图象与的图象关于________对称；（2）的图象与的图象关于________对称.8、（1）把余弦曲线向______平移______个单位就可以得到正弦曲线；（2）把正弦曲线向______平移______个单位就可以得到余弦曲线.9、由函数如何得到的图象？10、画出的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.11、画出的简图，并说明它与正弦曲线的区别与联系.12、.结合图象，判断方程的实数解的个数.第六课时：正余弦函数的性质及值域一、课本知识梳理及理解1.1.自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性.1.2.对周期函数概念的理解注意以下几个方面：（1）是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值，仍在定义域内且使等式成立.（2）周期是常数，且使函数值重复出现的自变量的增加值.（3）周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.2.1在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx(x∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx,y=cosxx∈R的图象与性质2.2.观察y=sinx,y=cosxx∈R图象，探求y=sinx,y=cosx的对称中心及对称轴.2.3.正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.2.4.结合图象解题是数学中常用的方法.二、典型例题精讲精练例1:求下列函数的周期：（1）；（2）练1.⑴求⑵的周期例2.:求下列函数的最大值及取得最大值时x的集合(1)(2)（3）若（4）若例3.判断下列函数奇偶性（1）f(x)=1-cosx（2）g(x)=x-sinx练3、判断下列函数的奇偶性：⑴：；⑵：⑶：例4.求的单调增区间练4（1）求的单调增区间（2）求的单调增区间（3）求的单调增区间例5.求下列函数的值域（1）（2）（3）（4）（5）练5.1.已知的定义域为[0，]，函数的最大值为1，最小值为-5，求a,b的值.练5.2.已知，其中，当自变量x在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k的值.三、课堂练习题组A组1、求下列函数的周期：(1)正弦函数的周期是_________.(2)正弦函数的周期是________.(3)余弦函数的周期是_________(4)余弦函数的周期是______.2.函数的周期是,则=____________.3.若函数是以为周期的函数，且,则__________.4.函数是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？5、是周期函数吗？如果是,则周期是多少？6、函数（c为常数）是周期函数吗？如果是，则周期是多少？7、已知函数（1）求最小正整数，使函数周期不大于2；（2）当取上述最小正整数时，求函数取得最大值时相应的值.B组1、函数,时自变量x的集合是___________2、将,,,,从小到大排列起来为：__________.3、函数的奇偶数性为（）.A.奇函数B.偶函数C．既奇又偶函数D.非奇非偶函数4、函数，其单调性是（）.A.在上是增函数，在上是减函数B.在上是增函数，在上分别是减函数C.在上是增函数，在上是减函数D.在上分别是增函数，在上是减函数6、设，则三角函数的定义域是（）A、B、C、D、7、在上是增函数，又是奇函数的是（）A、B、C、D、8、已知函数，其定义域是.9、已知函数，则其单调增区间是；单调减区间是。10、若的最小值为-6，求a的值.11、求下列函数的单调增区间：（1）;（2）12、已知〉，试比较与的大小13、求函数的周期、单调区间和最值.第七课时：正切函数的性质一、课本知识梳理及理解1.作正切曲线简图的方法：“三点两线”法，即和直线及，然后根据周期性左右两边扩展.2.正切函数的定义域是，所以它的递增区间为二、典型例题精讲精练例1．求的定义域及周期练1.（1）求的定义域(2)、函数的周期为（）.A．B．C．D．例2、根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围：①②③④练2、求函数的定义域与值域，并作图象.例3、求函数的单调区间。三、课堂练习题组1、在定义域上的单调性为（）.A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个开区间上为增函数D．在每一个开区间上为增函数2、下列各式正确的是（）.A．B．C．D．大小关系不确定3、函数的定义域为（）.A．B．D．且4、直线(a为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为（）.A．B．C．D．与a值有关5、函数的最小正周期是（）A、B、C、D、6、函数的定义域是（）A、{且}B、{且}C、{且}D、{且}7、下列函数不等式中正确的是（）.A．B．C．D．第八课时：函数的图象与性质一、课本知识梳理及理解1．1.在同一坐标系中,画出,,的简图.1．2.与的图象有什么关系?1.3.结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点向左(当)或向右(当)平移个单位长度而得到的.2．1.与的图象有什么关系?2．2.结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)而得到的.3．1.与的图象有什么关系?3．3.结论：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)而得到的.二、典型例题精讲精练例1．1.求函数的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象例1．2叙述到的变化过程.例1．3.叙述到的变化过程.练1.①向_______平移_______个单位得到②向_______平移_______个单位得到③向右平移个单位得到,求例2.用多种方法作函数的图象练2.（1）将函数的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向左平移个单位得到的图象，则.（2）把函数的图象向_____平移_______个单位可得到的图象例3．已知函数图象的一个最高点（2，3）与这个最高点相邻的最低点为（8，-3），求该函数的解析式.练3.若函数的最小值为-2，周期为，且它的图象过点（0，），求此函数的表达式。三、课堂练习题组A组1.若将某正弦函数的图象向右平移以后，所得到的图象的函数式是,则原来的函数表达式为（）.A.B.C.D.2.已知函数在同一周期内，当时,y最大＝2，当x＝y最小＝-2，那么函数的解析式为（）.A.B.C.D.3.已知函数图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图形沿着x轴向左平移个单位，这样得到的曲线与的图象相同，那么已知函数的解析式为（）.A.B.C.D.4.函数的图象，可由函数的图象经过下述__变换而得到（）.A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的5、把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，而横坐标不变，可得的图象，则（）A.B.C.D.6、将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到新的函数图象，那么新函数的解析式为（）A、B、C、D、7.把y=sinx的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是（）.A.B.C.D.8.已知函数，在一个周期内，当时，取得最大值2，当时取得最小值-2，那么（）.A.B.C.D.9.将函数的图象向右平移个单位，所得到的函数图象的解析式是___________；将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象的解析是________________.10、将函数的图象上所以点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，那么新图象对应的函数值域是，周期是.11、函数的定义域是，值域是，周期，振幅，频率，初相.12、用“五点法”列表作出下列函数的图象：（1）；（2）分析它们与的关系.13、函数的图象可由的图象经过怎样的变化而得到？B组1.函数的图象可看作是函数的图象，经过如下平移得到的，其中正确的是（）.A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位2.函数的图象的对称轴方程为____________________.3.已知函数（A>0，>0，0<）的两个邻近的最值点为（）和（），则这个函数的解析式为_________.4.函数的图象关于y轴对称，则Q的最小值为________________.5、把函数的图象向下平移1个单位，再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的3倍，然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的3倍，最后再把所得的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数是（）A.B.C.D.6、要得到的图象，只需将函数的图象（）A、向左平移B、向右平移C、向左平移D、向右平移7、函数表示一个振动量，其中振幅是，频率是，初相是，则这个函数为。初相。8、已知函数的图象最高点为,由此最高点到相邻最低点的，图象与x轴的交点为.求此函数的一个表达式.9、设函数在同一周期内，当时，y有最大值为；当，y有最小值。求此函数解析式.10、函数的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是,又图象过点（0，1），求这个函数的解析式.第二节三角恒等变换第九课时：两角和与差的正余弦公式一、课本知识梳理及理解Cos(α+β)=Cos(α-β)=sin(α+β)=sin(α-β)=tan(α+β)=tan(α-β)=sin2α=tan2α=cos2α==(sinαcosφ+cosαsinφ)=sin(α+φ),其中tanφ=。二、典型例题精讲精练例1、利用差角余弦公式求的值练1、已知，θ是第二象限角，求的值。例2、已知是第四象限角，求的值.练2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、．例3、化简练3、（1）：（2）：（3）：=____________例4、已知求的值．练4、①已知求的值．②已知三、课堂练习题组A.B.C.D.A.B.C.D.A.B.C.D.6.已知求的值．7、若tan=3，求sin2cos2的值。8、已知，求sin2，cos2，tan2的值。9、已知求的值。10、已知，，求的值。第十课时：简单的三角恒等变换一、课本知识梳理及理解例1．已知，且在第二象限，求的值。例2：；．例3.如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形.记∠COP＝a，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.三、课堂练习题组1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）A．－ B．－ C． D．2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）A．－B．－ C．D．4．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．6．已知f（x）=－+，x∈（0，π）．（1）将f（x）表示成cosx的多项式；（2）求f（x）的最小值．7、已知cosa+cosβ=,sina+sinβ=,求cos(a-β)的值。8.已知，，求的值。第三节平面向量第十一课时：平面向量的基本概念一、课本知识梳理及理解1.1.向量的概念：数学中，我们把这种既有，又有的量叫做向量.1.1.1.向量的模：1.2.向量有几种表示方法？1.2.1.人们常用来表示向量，线段按一定比例画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向.1.2.2.以为起点，为终点的有向线段记作，线段的长度称为模，记作.有向线段包含三个要素：1.2.3.有向线段也可用字母如，，表示.1.3.几个特殊的向量1.3.1.零向量：长度为的向量；1.3.2.单位向量：长度等于的向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.1.4.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.若向量，平行，记作：.因为任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量1.5.如何理解零向量的方向？1.6.相等向量：长度相等且的向量叫做相等向量，用有向线段表示的向量与相等，记作：.1.7.相反向量：OABaaabbb2.1.向量加法的三角形法则（首尾相接，首尾连）：已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量__________叫做OABaaabbb2.2.向量加法的平行四边形法则：以同起点O两个向量，（）为邻边作四边形OACB，则以O为起点对角线___________，就是与的和。这个法则就叫做两个向量求和的平行四边形法则。2.3.对于零向量与任一向量，我们规定+=___________=_______.2.4.向量加法的运算法则：交换律是：_____________；结合律是：_____________。3.1.相反向量：与的向量，叫做的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是.如果、是互为相反的向量，那么，，.3.2.向量的减法：我们定义，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即是互为相反的向量，那么=____________，=____________，=____________。3.3.已知，，在平面内任取一点O，作，则__________=，即可以表示为从向量_______的终点指向向量______的终点的向量，如果从向量的终点到的终点作向量，那么所得向量是________。这就是向量减法的几何意义.以上做法称为向量减法的三角形法则，可以归纳为“起点相接，连接两向量的终点，箭头指向被减数”.4.1.一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘记作，它的长度与方向规定如下：（1）=___________________________________;（2）当____时，的方向与的方向相同；当__时，的方向与方向相反，当____时，=。4.2.向量数乘运算律，设为实数。（1）_______；（2）_________；（3）_________；（4）________=___________；（5）______________；（6）对于任意向量,，任意实数恒有=_______________。4.3.两个向量共线（平行）的充要条件：向量与非零向量平行的充要条件是有且仅有一个实数，使得。对此定理的证明，是两层来说明的：其一，若存在实数，使，则由实数与向量乘积定义中第(2)条可知与平行，即与平行.其二，若与平行，且不妨令，设（这是实数概念）．接下来看、方向如何：①、同向，则，②若、反向，则记，总而言之，存在实数（或）使.二、典型例题精讲精练例1、如右图，设是正六边形的中心，（1）分别写出图中与，，相等的向量.（2）与相等的向量有哪些？（3）与相等吗？与相等吗？例2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝例3．在△ABC中，是重心，、、分别是、、的中点，化简下列两式：⑴；⑵.例4、计算：⑴；⑵；⑶.例5：如图，在中，已知、分别是、的中点，用向量方法证明：例6、已知两个向量和不共线，，，，求证：、、三点共线.例7、如图，平行四边形的两条对角线相交于点，且，，你能用、表示、、、吗？三、课堂练习题组1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.2.下列说法中错误的是（）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的3．把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（）

A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆4．已知非零向量,若非零向量，则与必定.5．已知、是两非零向量,且与不共线,若非零向量与共线,则与必定.6.化简7、若C是线段AB的中点，则=（）A、B、C、D、08、已知△ABC中，D是BC的中点，则=（）A、B、C、D、9、已知正方形ABCD的边长为1，，则为（）A．0B．3C．D．10、在矩形ABCD，，则向量的长度等于（）A．B．C．12D．611、已知|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝8，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围？12、若E，F，M，N分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(NM,\s\up6(→)).1、化简下列各式：①；②.2、在平行四边形ABCD中，等于（）A．B．C．D．3、下列各式中结果为的有（）①②③④A．①②B．①③C．①③④D．①②③4、下列四式中可以化简为的是（）①②③④A．①④B．①②C．②③D．③④5、已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中则=（）A．B．C．D．6、化简：=_______________。7、已知、是非零向量，则时，应满足条件.8、在△ABC中，向量可表示为（）①②③④A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④9、=___________。=_________。=；=_________。10、在中，、分别是、的中点，若，，则等于（）A.B.C.D.11、点C在线段AB上，且，则。12、设是两个不共线向量，若，与共线，则实数的值为.13、设两非零向量不共线，且，则实数k的值为14.中，，，且与边相交于点，的中线与相交于点.设，，用、分别表示向量.第十二课时：平面向量的基本定理一、课本知识梳理及理解1.平面向量的基本定理:如果,是同一平面内两个的向量，是这一平面内的任一向量，那么有且只有一对实数使。其中，不共线的这两个向量叫做表示这一平面内所有向量的基底。注意：(1)我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底，的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是