2023年陕西省汉中市南郑区中考一模数学试卷（含答案解析）

2023年陕西省汉中市南郑区中考一模数学试卷

学校:姓名：班级:考号：

一、单选题

1.有理数-3的绝对值是（）

A.—3B.3C.—D.—

33

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

3.国家统计局发布2022年国民总收入1197000亿元，比上年增长2.8%,将1197000用

科学记数法表示应为（）

A.1197X103B.11.97X105C.1.197X106D.1.197X105

4.下列运算正确的是（）

A.a2-a4=a8B.(a-3)2=a2-9C.a3+a3=abD.(2加了=4,”

5.如图，在矩形ABCD中，点M从点B出发沿BC向点C运动,点E、F别是AM、

MC的中点，则EF的长随着M点的运动（）

A.不变B.变长C.变短D.先变短再变长

2x-y=0上

6.已知直线y=2x与y=-x+。的交点的坐标为则方程组■,的解是()

x+y=b

x=2x=\

C.D.

y=3y=3

7.如图，四边形ABC。内接于：O,=135°,AC=4f贝ijO的半径为（)

C.GD.4无

8.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度A（单位：m）与小球运动时间”单位：s）

之间的函数关系如图所示.则下列结论不正确的是（）

A.小球在空中经过的路程是40mB.小球运动的时间为6s

C.小球抛出3s时，速度为0D.当r=1.5s时，小球的高度/?=30m

二、填空题

9.分解因式：x3-8x2y+16xy2=.

10.若某正数的两个平方根分别是3a+3与抄-3“-24,则b的立方根是

11.如图，已知zABC=2O。，BD=DE=EF=FG,则NAFG的度数是

12.在平面直角坐标系中，反比例函数y=；（x<0）的图象交直角梯形。4BC的边AB于

点。，交边BC于点C,且。是边A3的中点，若四边形OD3c的面积为12,k=.

试卷第2页，共6页

13.如图，在边长为4的正方形ABC。中，点E,尸分别在CD,AC上，BFJ.EF,CE=\,

则AF的长是.

三、解答题

14.计算：(-1)2023_|-5|++V64-tan45°.

2(x+2)<3x+3

解不等式组

43

17.如图，已知矩形ABC。中.

B'----------------------'C

（1）请用直尺和圆规在4。上找一点E,使EC平分N8E。，（不写画法，保留画图痕迹）;

⑵在（1）的条件下若AD=10,AB=6,求出tanNBEC的值.

18.如图，AB〃DE,点、C、下在线段40上，且AC=3F,ZB=AE.

求证：AB=DE.

19.某商场销售甲、乙两种商品，其中甲种商品进价为20元/件，售价为30元/件；乙

种商品进价为50元/件，售价为80元/件.现商场用13000元购进这两种商品并全部售

出，两种商品的总利润为7500元，问该商场购进甲、乙两种商品各多少件？

20.2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开课，开设课程是问天实验舱介绍，毛细效

应实验，水球变“懒”实验，太空趣味饮水，会调头的扳手等项目，某学校打算在5名学

生(小明A、小刚8、小芳C、小丽。、小鹏E)中，通过抽签的方式确定2名学生对观

看“天宫课堂”观后感进行分享诵读•抽签规则：将5名学生的名字分别写在5张完全相同

的卡片正面，把五张卡片背面朝上，洗匀后放在桌子上，王老师先从中随机抽取一张卡

片，记下名字，再从剩余的四张卡片中随机抽取第二张，记下名字.

(1)第一次抽取卡片小明被抽中的概率是多少？

(2)请用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能结果，并求出小丽。被抽中的概

率.

21.小瑞放学后回家，到小区的门口C处时，看到自己家的窗户A的仰角a=37。，他

向前走了10m后到达点。处时，看到自己家窗户A的仰角夕=53。，小瑞的身高

CM==1.5m,求小瑞家到地面的高度AB.(结果取整数，参考数据：sin37°~0.60,

cos37°»0.80,tan37°®0.75,sin53°»0.80,cos53°*0.60,tan53°«1.33,tan53°«1.33)

22.某校为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，随机调查了该校“垃

圾分类人人有责'’答题活动的学生成绩.根据调查结果，绘制出如下统计图1和图2.请

根据相关信息，解答下列问题:

(1)本次接受调查的学生人数为一，图1中〃，的值为二

(2)求统计的这组答题活动学生成绩数据的平均数、众数和中位数;

试卷第4页，共6页

（3）根据统计的这组答题活动学生成绩的样本数据，若该校共有600名学生参加了答题活

动，估计其中获得10分的学生人数.

23.某公司近期研发出一种新型神奇的扫地机，每台设备成本价为300元，经过市场调

研发现，每台售价为400元时，年销售量为600台；每台售价为450元时，年销售量为550

台.假定该设备的年销售量V（单位：台）和销售单价x（单位：元）成一次函数关系.

（1）求年销售量y与销售单价X的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于700元，如果该公司想获得100000元的

年利润，则该设备的销售单价应是多少元？

24.如图，A8是O的直径，弦与A8交于点E,且点E为C。的中点.点尸在弧AE>

上，过点尸作。的切线交的延长线于点G,交84的延长线于点P,BF与CD交于

点、H.

r

G

B

⑴求证：ZG=2ZB；

3

（2）若O的半径为4,sinG=j,求防的长.

25.如图，抛物线yn-f+bx+c交x轴于A,3两点，交y轴于点c,直线BC的表达

式为y=-x+3.

备用图1备用图2

（1）求抛物线的表达式；

（2）动点£）在直线8c上方的二次函数图像上，连接。C,DB,设四边形ABAC的面积

为S,求S的最大值；

(3)当点E为抛物线的顶点时，在x轴上是否存在一点Q,使得以A,C,。为顶点的三

角形与_BCE相似？若存在，请求出点。的坐标.

26.如图，己知0。的半径为1,P是平面内一点.

⑴如图①，若OP=2,过点尸作O的两条切线PE、PF,切点分别为E、F,连接EF.则

ZEPO=_°,EF=_.

⑵若点〃、N是。上两点，且存在NMPN=90。，则规定点尸为：O的“直角点”.

①如图②，已知平面内有一点。，0D=五,试说明点。是。的“直角点

2

②如图③，直线y=：x-2分另U与x轴、y轴相交于点A、B,若线段AB上所有点都是

半径为r的圆的“直角点”，求r的最小值与该圆心的坐标.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】根据绝对值的定义进行求解即可.

【详解】解：有理数-3的绝对值是3,

故选B.

【点睛】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知绝对值的定义是解题的关键：正数和0

的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.

2.D

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一

条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某

个点旋转180。，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是

解题的关键.

3.C

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为“x10”,其中1<忖<10,〃为整数，

且〃比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【详解】1197000=1.197x10%

故选：C.

【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为

«X1O%其中1<|a|<10,〃为整数，且“比原来的整数位数少1,解题的关键是要正确确

定。和〃的值.

4.D

【分析】根据同底数幕乘法计算并判定A；根据完全平方公式计算并判定B；根据合并同类

项法则计算并判定C；根据积的乘方和幕的乘方计算并判定D.

答案第1页，共22页

【详解】解：A、a2-a4=a6,故此选项不符合题意；

B、（a-3f=a2_6a+9,故此选项不符合题意；

C、浮+“3=2°3,故此选项不符合题意；

D、（2加）2=4/应故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查同底数基乘法，完全平方公式，合并同类，积的乘方和事的乘方，熟练掌

握同底数嘉乘法法则、完全平方公式，合并同类法则、积的乘方和事的乘方法则是解题的关

键.

5.A

【分析】由题意得EF为三角形AMC的中位线，由中位线的性质可得：EF的长恒等于定值

AC的一半.

【详解】解：：E,F分别是AM,MC的中点，

EF=-AC,

2

,:A、C是定点，

...AC的的长恒为定长，

...无论M运动到哪个位置EF的长不变，

故选A.

【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行且等于第三边的一半.

6.A

【分析】将交点（1，“）代入两直线解得“，〃的值，即求出交点坐标（1,2）,而交点就是两

f2x-y=0

直线组成的方程组的解.

[x+y=b7

【详解】将交点（1,〃）代入两直线：

得：4=2,a=-\+bf

因此有a=2,b=a+1=3,

答案第2页，共22页

即交点为(1,2),

[2x-y=0

而交点就是两直线组成的方程组心的解，

[x+y=b

[x=1

即方程组的解为

故答案为：A.

【点睛】此题考查了一次函数与二元一次方程组，明确交点的坐标就是原二元一次方程组的

解，是解题的关键.

7.B

【分析】连接。4，0C,根据圆内接四边形的性质可得N4)C=45。，则有/AOC=90。，进

而根据勾股定理可进行求解.

【详解】解：连接04，0C,

B

•四边形ABC。内接于O,ZABC=\35°,

，ZADC=45°,

40090°,

由勾股定理得：OA2+OC2=AC2,

：0A=0C,AC=4,

,04二20，

二。的半径为：2&.

故选：B.

【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质及

圆周角定理是解题的关键.

8.A

【分析】选项A、B、C可直接由函数图象中的信息分析得出答案；选项D可由待定系数法

求得函数解析式，再将f=1.5s代入计算，即可作出判断.

答案第3页，共22页

【详解】解：A、由图象可知，小球在空中达到的最大高度为40m,则小球在空中经过的路

程一定大于40m,故选项A错误；

B、由图象可知，小球6s时落地，故小球运动的时间为6s,故选项B正确；

C、小球抛出3秒时达到最高点，即速度为0,故选项C正确；

D、设函数解析式为/i=a(f-3f+4O,将(0,0)代入得：

O=t?(O-3)2+4O,

解得〃=一当，

40、

.••函数解析式为〃=—。一3)一+40,

4(),

...当f=1.5s时，h=——(1.5-3)一+40=30,

9

.•.选项D正确.

故选：A.

【点睛】本题考查了二次函数在物体运动中的应用，会用待定系数法求函数解析式并数形结

合进行分析是解题的关键.

9.x(x-4y)2

【分析】先提取公因式x,再根据完全平方公式分解因式即可.

【详解】解:x3-Sx2y+l6xy2

=x(x2-8^+16y2)

故答案为：x(x-4y)\

【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键.

10.2

【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列出关于。、人的方程，解方程求出力的值，

再根据立方根的定义进行求解即可.

【详解】解：•••某正数的两个平方根分别是治+》与26-3〃-24,

，3a+b+2b-3ci-24=0,

.,.3/7=24,

答案第4页，共22页

：.h=S,

V8的立方根是2,

，人的立方根是2,

故答案为：2.

【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，平方根的定义，熟知一个正数的两个平方根互

为相反数是解题的关键.

11.80。/80度

【分析】反复利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质，依次得到4ED=Z4BC=20%

ZEFD=ZEDF=4QP,ZFEC=ZFGE=600,即可求出NAPG的度数.

【详解】解：BD=DE,ZABC=20。，

^BED=ZABC=20°,

NEDF=ZABC+NBED=40°,

DE=EF,

:.^EFD=ZEDF=40P,

NfEC=NS+=20°+40°=60°,

EF=FG,

:.ZFEC=^FGE=fff,

ZAFG=ZB+ZFGE=20°+60°=80°,

故答案为：80°.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用相关知识是解题关键.

12.-12

(分析］连接OB,延长BC交x轴于点E,根据反比例函数上的意义，得出Seg=SA。»=；网，

。是边48的中点,得出SBOO=SAOD=万网，求出SAOB=SAO0+Spoo=岗，再得出

SpOC=Sz(oE-SeE=k|-gk|=；k|，根据四边形。0BC的面积为12,列出关于左的方程,

解方程即可得出答案.

【详解】解：连接0B,延长BC交x轴于点E,如图所示：

答案第5页，共22页

・・•四边形O4BC为直角梯形，

JZABE=ZBAO=90°f

丁NAOE=90。，

/.ZABE=ZBAO=ZAOE=90°,

・・・四边形4?破为矩形，

/.ZOEB=90°,

・•・轴，

*•,SCOE~SAOD=—1^|,

•・•。是边A8的中点，

•*,SBOD~SAOD=5陶,

•・SAOB=SAOD+SBOD=%|,

SBOE=SAOf}=\k\,

•**SBOC=SBOE~S,COE=\k\~^\k\=~\k\,

**,^^OCBD=HOC+BOD=3|忆|+/网=|%|=12,

•・•反比例函数图象在第二象限，

：.k<0f

：.k=-]2.

故答案为：-12.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，三角形面积的计算，反比例函数k值意义，解

题的关键是作出辅助线，用攵表示出四边形ODBC的面积.

13.亚

2

【分析】作辅助线如解析图，根据正方形的性质可得四边形CMN8是矩形，易证

△MFE经△NBF(ASA),可得ME=FN,谈ME=FN=x,根据MV=3C=4列方程，求出FN

答案第6页，共22页

的长度，进一步可得AN的长度，根据勾股定理，可得AF的长.

【详解】解：过点尸作RV于点N,于点/，如图所示:

则NMVB=90。，ZFMC=90°,M、N、E在同一条直线上，

在正方形45co中，ZABC=ZBCD=90°,

・•・四边形是矩形，

正方形ABC。的边长为4,

.・.MN=BC=4,CM=BN,

BF工EF,

:.ZEFB=90°,

:.AEFM+ZNFB=90。,

乙FBN+乙BFN=琳，

/FBN=/EFM,

四边形ABC。是正方形，

/.ZACD=45°,

1.ZMFC=ZMCF=45。,

」MF=MC=BN,

在二MEF与一NBF中,

NEMF=NFNB

MF=NB,

/EFM=ZFBN

AMFE学△NBF(ASA),

:.ME=FNf

设ME=FN=x,

QCE=1,

则MC=A//=8N=l+x,

MN=BC=4,

:A+x+x=4,

3

/.x=~,

2

:.FN=-,

答案第7页，共22页

四边形43co为正方形，

.­.ZC4B=45°,

MN上AB,

.-.Z/VE4=45°,

3

/.AN=FN=-,

2

根据勾股定理，得”=+FN?=述,

2

故答案为：巫.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加辅助线构造

全等三角形是解题的关键.

14.0

【分析】先计算乘方、化简绝对值、负整数指数幕与零指数幕、立方根、正切，再计算加减

法即可得.

【详解】解：原式=-1-5+4-1+4-1

=0.

【点睛】本题考查了负整数指数易与零指数暴、立方根、正切等知识点，熟练掌握各运算法

则是解题关键.

15.1<x<6

【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可.

2（x+2）<3x+3

【详解】解：\x-2x.

------N—1

43

解不等式2（x+2）<3x+3得：X>1,

解不等式得X46,

43

•••不等式组的解集为：l<x«6.

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关

答案第8页，共22页

键.

16.无解

【分析】两边都乘以2（x-3）化为整式方程求解，然后验根即可.

【详解】两边都乘以2（x-3）,得

x+3-2x=4（x—3）,

解得x=3,

检验：当x=3时，2（x-3）=0,

...X=3是原方程的增根，

•••原方程无解.

【点睛】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分

母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验.

17.（1）见解析

（2）tanZB£C=3

【分析】（1）根据角平分线的性质，要使EC平分N8ED,则点C到BE的距离与点C到CD

的距离相等，故以点C为圆心，CQ长为半径画圆，再过点B作圆C的切线，于A。的交点

即为所求.

（2）利用角平分线和矩形的性质，将tanZBEC的值转化为tan/CED的值，再利用勾股定

理求出BE的长，进而求出ED的长度，最后求解.

【详解】（1）解：以点C为圆心，CQ长为半径画圆，作BC的垂直平分线，以BC的垂直

平分线与8c的交点为圆心，BC长为直径画圆，与圆C相交，连接点8与交点并延长交

于点E,交点E即为所求.

答案第9页，共22页

(2)解：EC平台乙BED

1/BEC=NCED

矩形43co

.\AD//BCfAD=BC=W

:.ZBCE=CED

/./BEC=/BCE

BC=BE=10

在RtABE中由勾股定理得AE=JB£2_Ag2=8

.•.石。=10-8=2

在Rt/\CDE中得tanNCED=母=g=3

ZBEC=ZCED

tan/BEC=3.

【点睛】此题考查了尺规作图法作圆、中垂线，并考查角平分线和矩形的性质，三角函数的

求解，解题的关键是根据角平分线性质正确作出图形.

18.见解析.

【分析】由得到NA=ND,再由NB=NE,AC=OF可以证明△AC哙△£>/，£：,

进而问题可解.

【详解】证明：•••/$〃£«,

,ZA=ZD

在△AC3和△。庄:中,

答案第10页，共22页

/B=NE

<NA=NO,

AC=DF

：.ACB^DFE.

:.AB=DE.

【点睛】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质与判定，解答关键是根据题意选择适

当的方法证明三角形全等.

19.该商场购进甲种商品150件，乙种商品200件

【分析】设购进甲种商品x件，乙种商品y件，根据现商场用13000元购进这两种商品，销

售完后获得总利润7500元，列二元一次方程组，求解即可.

【详解】解：设购进甲种商品尢件，乙种商品y件，

根据题意’得｛f（30-2200）JxT++5（08V0-=5103）0）0，0=7500'

fx=150

解得onn-

[y=200

答：该商场购进甲种商品150件，乙种商品200件.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键.

20.⑴（

⑵|

【分析】（1）根据概率计算公式求解即可；

（2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到小丽被抽中的结果数，最后依据概

率计算公式求解即可.

【详解】（1）解：•••一共有5张卡片，每张卡片被抽到的概率相同，

...第一次抽取卡片小明被抽中的概率是（：

（2）解：画树状图如下：

答案第II页，共22页

开始

由树状图可知，共有20种等可能的结果，其中小丽。被抽中的结果有：AD,BD,CD,DA,

DB,DC,DE,ED,共8种，

Q2

•••小丽D被抽中的概率为近=-.

【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图是

解题的关键.

21.小瑞家到地面的高度48为19m

【分析】连接CD并延长，交AB于点E,易得出四边形CDNM和四边形。EBN是矩形，从

而得出3£=8N,CD=MN=10m,再根据正切的定义得出

A£=tana（DE+CD）-tana（DE+10）,AE=tan/3DE,从而即可列出等式

tan/?DE=tana（D£1+10）,解出DEb12.9m,进而即可求出AE=tan月•£＞《=17.2m,最后

由/W=AE+3£求解即可.

【详解】解：如图，连接CQ并延长，交48于点E,

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

□□

|£-__c

NM

由题意可知CE1AB,

二四边形CDNM和四边形DEBN是矩形,

:.DE=BN,CD=MN=lOm,

AE

在RtACE中，tana=——,

CE

/.AE=tonaCE=tana(DE+CD)=tan«­(DE+10).

答案第12页，共22页

在RtAADE中，tan/7=——,

AE=tan/?•DE,

/.tan/?£)E=tana(/)E+10),

.Wtana

DE=----------x12.9m,

tany0-tancf

/.AE=tan/?•DE«17.2m,

/.AB=AE+BE=5=\8.7m«19m.

答：小瑞家到地面的高度AB为19m.

【点睛】本题考查矩形的判定和性质，解直角三角形.正确作出辅助线构造直角三角形是解

题关键.

22.(1)40,35

⑵平均数为：8.3；众数为：9；中位数为11

(3)75

【分析】(1)根据条形统计图求得总人数，根据9分的人数除以总人数得出机的值；

(2)根据平均数，众数和中位数的定义即可求解；

(3)根据样本估计总体即可求解.

【详解】(1)解：本次接受调查的学生人数为为2+8+11+14+5=40(人)，

14

%=—xl00%=35%,

m40

故答案为：40,35.

⑵解：这组数据的平均数为：^(6x2+7x8+8x11+9x14+10x5)=8.3,

中位数为第20,21个数的平均数，即号1=11,

9出现次数最多，出现了14,故次众数为：9.

(3)解：600x2=75.

40

【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计

图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形

统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

23.(l)y=-x+1000

答案第13页，共22页

(2)500元/台

【分析】(1)根据每台售价为400元时，年销售量为600台；每台售价为450元时，年销售

量为550台，设年销售量〉与销售单价x的函数关系式为：y=kx+b(k0),列方程组

求解即可；

(2)设此设备的销售单价为x元，则每台的利润为：(x-300)元，根据年利润等于每台的

利润乘以年销售量，解出x即可.

【详解】(1)设年销售量》与销售单价%的函数关系式为：y=kx+b[k0)

.(400)1+6=600

・・1450%+。=550

解L,得\%k==1—0\00

...y=-x+l(XX).

...年销售量y与销售单价X的函数关系式为：y=-X+1000.

(2)设此设备的销售单价为x元，则每台的利润为：(x-300)元

，销售量为：(-X+1000)台

,/该公司想获得100000元的年利润

(x-300)x(-x+1000)=100000

解得%=500,x,=800

•/该设备的销售单价不得高于700元

/.x=500

答：此设备的销售单价为500元/台.

【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是根据题意列出方程，解出一次函数的解析

式.

24.⑴见解析

12^0

\^)-------

答案第14页，共22页

【分析】（1）连接OF,易得。尸上PG,ABLCG,可得NG=NPOQ,圆周角定理，得到

ZAOF=2NB,即可得证；

3

（2）连接AF,得到/AFB=90。，根据NG=/POF,得到以11/尸0尸二,，求出尸尸，尸。，

进而求出”的长，证明一即，求出4尸,8厂的数量关系，再利用勾股定理进行求解

即可.

【详解】（1）证明：连接。尸，

IGF为。的切线，

：.OF±GFf

：.ZOFP=90°,

・・・ZAOF+ZP=90°,

TAB是。的直径，弦8与A3交于点E,且点E为CO的中点,

:.AELCD,

，NPEG=90。,

・・・NG+NP=90。，

:.ZG=ZAOF=2ZB,

(2)解：：。的半径为4,

.・.AB=8,OF=4,

ZG=ZAOF,

3

・・.sinZPOF=sinG=-,

PF3

在RtOFP中,sinZPOF=—=-,

OP5

设尸产=3x,OP=5x,贝ij：OFAOP^—PF?=4x=4.

答案第15页，共22页

••X-1，

：.PF=3,OP=5,

：.AP=OP-OA=l；

连接AF,贝ij：ZAFfi=90°,

・・・/PFA=NOFB=90。—ZAFO,

VOB=OF,

：.ZB=/OFB,

:.ZPFA=NB,

,:ZP=ZP,

:.JPFV'PBF，

.BFPF.

•.--=----=D

AFAPf

：.BF=3AFf

在RlAFB中，AB2=AF2+BF2=AF2+（3AF）2=10AF2=64,

=处或AF=-迦（舍掉），

55

・口口..r12V10

5

【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角

三角形，勾股定理.熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键.

25.（l）y=->?+2x+3

⑵等

O

（3）存在，。的坐标为（0,0）或（9,0）

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【分析】(1)用待定系数法即可求解；

(2)由S=S梯彩+S&DFB+)即可求解；

(3)分-AQCs’ECB、MQACMECB、△ACQsaECB三种情况，分别求解即可.

【详解】(1)解：♦.•直线BC的表达式为y=-x+3,

当x=0时，得：y=3,

/.C(0,3),oc=3,

当y=o时，得：0=-x+3,解得：x=3,

.•.3(3,0),08=3,

•••抛物线y=-x2+6x+c交X轴于A,8两点，交y轴于点C,

J-9+3b+c=0

[c=3

h=2

解得：

c=3

抛物线的表达式为y=-/+2x+3；

(2)过点。作。FJLx轴于点F,

设Z)(x,—x~+2,x+3),

AF(x,0),OF=x,BF=3-x,

••DF=—x?+2x+3,

•・•抛物线旷=-胃+2工+3交x轴于A,B两点,

当y=0时，得：-x2+2x4-3=0,

解得：玉=-1,当=3,

AA(-l,0),OA=\,

,•*S=S懦形C0FD+S△力尸8+S&AOC

=—x^3—x2+2x+3)+/(3-同(-x?+2x4-3)+—x1x3

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3

又・・・-1<0,即抛物线的图像开口向下,

图1

（3）存在，理由：

y=-x2+2x+3=-（x-l）2+4,

£（1,4）,

又；C（0,3）,8（3,0）,

•*.CE=^（1-0）2+（4-3）2=6，

BC=^（3-0）2+（0-3）2=3五,

BE=^（3-l）2+（0-4）2=2小，

CE2+BC?=（/）2+（3应『=20=（2司=BE1,

，Z£Cfi=90°,

如图所示，连接AC,

①A（-l,0）,C（0,3）,

•••OA-19OC=39AC=\lAO2+CO2=Vl2+32=VlO，

.AOEC\

••-=---=一,

COBC3

又：ZAOC=AECB=90°,

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AOC^c.ECB,

二当点2的坐标为（0,0）时，一AQCS-ECB.

②过点C作CQUAC,交X轴与点0,

-AC。'为直角三角形，CO±AQ',

：.ZACQ'=ZAOC=90°,ZAQ'C=90°-ZCAQ'=ZACO,

：.ACQ's,AOC,

又；AOCsECB,

：.ACQS.ECB,

.AQ'EBAQ'_2y[5

ACEC而近

解得：AQ'=10,

③过点A作A。，AC