初中数学七年级下册《一元二次方程的根与系数的关系》教案

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教学设计课题21.2.4一元二次方程的根与系数的关系单元第21章学科数学年级九年级学习目标1.掌握根与系数的关系；2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.重点掌握根与系数的关系.难点利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课复习回顾：用适当的方法解下列方程:x2+5x-14=0解：(x-2)(x+7)=0x-2=0，x+7=0x1=2，x2=-7其中x1+x2=-5,x1x2=-14思考：（1）不解方程，你能快速求出x1+x2与x1x2的值吗？（2）任意一个一元二次方程，如果不解方程，你能快速求出x1+x2与x1x2的值吗？学生回忆、思考并回答问题.提出问题，寻找解决办法，为下面推导根与系数的关系奠定基础.讲授新课环节一：推导根与系数的关系一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，两根之和x1+x2、两根之积x1x2与系数有怎样的关系呢？根据求根公式可知：由此可知：因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：任何一个一元二次方程的根x1，x2和系数a、b、c的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。注意：先把方程写成一般形式，确定a、b、c的值。思考：把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同时除以a，能否得出以下结论？方程两边同时除以a，得：，通过解方程，依然能够得出上述结论。归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，也叫做韦达定理。注意：使用的前提条件为b2-4ac≥0环节二：典例解析例4根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积:x2-6x-15=0(2)3x2+7x-9=0(3)5x-1=4x2解：(1)a=1,b=-6,c=-15x1+x2=-(-6)=6，x1x2=-15(2)a=3,b=7,c=-9x1+x2=，x1x2=-3(3)方程化为4x2-5x+1=0a=4,b=-5,c=1x1+x2=，x1x2=小结：求根与系数的关系的步骤：1.化：把方程化成一般形式；2.定：确定a,b,c的值；3.求：求出x1+x2，x1x2的值；4.验：检验b2-4ac≥0.环节三：课堂练习不解方程，求下列方程两根之和与两根之积:(1)x2-3x=15(2)3x2+2=1-4x(3)5x2-1=4x2+x(4)2x2-x+2=3x+1解：(1)方程化为x2-3x-15=0a=1,b=-3,c=-15x1+x2=3，x1x2=-15(2)方程化为3x2+4x+1=0a=3,b=4,c=1x1+x2=，x1x2=(3)方程化为x2-x-1=0a=1,b=--1,c=-1x1+x2=1，x1x2=-1(4)方程化为2x2-4x+1=0a=2,b=-4,c=1x1+x2=2，x1x2=2.已知3x2+2x-9=0的两根是x1、x2.求：(1)(2)x12+x22解：a=3,b=2,c=-9x1+x2=，x1x2=-33.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.解：将x=2代入方程，得22-2(k+1)+3k=0解得k=-22x1=3k=-6x1=-34.设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根,且x12+x22=4，求k的值.解：由题意,得x1+x2=2(k-1)x1x2=k2x12+x22=4Δ=4(k-1)2-4k2≥0解得：k1=0,k2=4.k≤0.5∴k=0师生合作，借用求根公式推导根与系数的关系.借助典型例题,展示求解两根之和与两根之积的步骤，并进行总结.学生练习，师生互评订正.推导根与系数的关系.培养学生计算能力以及熟练根与系数的关系.通过练习，使学生熟练掌握方程根与系数的关系.课堂小结一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系(韦达定理)：注意：能用根与系数的关系的前提条件：b2-4ac≥0师生共同梳理本节课的知识点.强化本节课的知识点.板书21.2.4一元二次方程