河北省部分学校2024届高三上学期12月大联考考后强化卷数学试题（新课标I卷）（含答案）

届高三12月大联考考后强化卷（新课标I卷）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A． B． C． D．2．已知命题：“，”，则为A．， B．，C．， D．，3．已知向量，且，则实数A． B． C． D．4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度5．的展开式中的系数为A．55 B． C．65 D．6．已知函数，若方程有3个不同的根，则A． B．2 C．3 D．47．道韵楼以“古、大、奇、美”著称，内部有雕梁画栋、倒吊莲花、壁画、雕塑等，是历史、文化、民俗等的观光胜地.如图，道韵楼可近似地看成一个正八棱柱，其底面面积约为平方米，高约为11.5米，则该八棱柱的侧面积约为A．3680平方米 B．2760平方米 C．1840平方米 D．460平方米8．设，，，则a，b，c的大小关系为A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是A．的虚部为 B．的模为C．的共轭复数为 D．在复平面内对应的点位于第四象限10．已知函数，则下列说法正确的是A．有极大值 B．有极小值C．无最大值 D．在上单调递增11．在直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，且点在第一象限，的面积是，则A． B．C． D．12．如图，正四面体的棱长为a，则A．点A到直线的距离为B．点A到平面的距离为C．直线与平面所成角的余弦值为D．二面角的余弦值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则．14．已知，的取值如表：画散点图分析，知与线性相关，且求得线性回归方程为，则．15．已知数列的前项和，．若是等差数列，则的通项公式为．16．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，且，则直线l的斜率为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，______．（1）求B；（2）求的周长.注：若选择条件①、条件②分别解答，则按第一个解答计分.18．（12分）近年来，国家鼓励德、智、体、美、劳全面发展，舞蹈课是学生们热爱的课程之一.某高中随机调研了本校2023年参加高考的90位考生是否喜欢跳舞的情况，经统计，跳舞与性别情况如下表：（单位：人）喜欢跳舞不喜欢跳舞女生2535男生525（1）根据表中数据，并依据小概率值的独立性检验，分析喜欢跳舞与性别是否有关联；（2）用本次调研中样本的频率代替概率，从2023年本校参加高考的所有考生中随机抽取3人，设被抽取的3人中喜欢跳舞的人数为X，求X的分布列及数学期望．附：，．0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.87919．（12分）已知等比数列的各项均为正数，前n项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前n项和．20．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面分别是棱的中点．（1）求证：平面；（2）若与平面所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值．21．（12分）已知函数，．（1）若的最大值是0，求的值；（2）若对任意，恒成立，求的取值范围．22．（12分）已知，M为平面上一动点，且满足，记动点M的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若，过点的动直线交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的斜率分别记为，，求证：为定值，并求出该定值．2024届高三12月大联考考后强化卷（新课标I卷）数学·全解全析123456789101112BDABDCACBDBCDACABD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】因为，所以．故选B．2．D【解析】由全称命题的否定为特称命题，可知原命题的否定为，．故选D.3．A【解析】由，得.因为，所以，所以，解得．故选A.4．B【解析】因为函数可变形为，函数可变形为，所以把函数的图象向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选5．6．C【解析】由题意，因为，所以为奇函数，的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到的，所以的图象关于点对称．又所表示的直线也关于点对称，所以方程的3个实根中必有一个为1，另外两个关于点对称，所以．故选C．7．A【解析】如图，由题意，知底面是正八边形，.在中，由余弦定理，得，则．因为底面的面积为平方米，所以，解得，所以该八棱柱的侧面积为平方米．故选A．8．C【解析】由题意，知，，，显然.对于，的大小，只需比较的大小.令且，则，即在上单调递减，所以，所以.综上，，故．故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．BD【解析】对于A，由，得，所以的虚部为，故A错误；对于B，的模为，故B正确；对于C，的共轭复数为，故C错误；对于D，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D正确．故选BD．10．BCD【解析】因为的定义域为，且，令，得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，取得极小值，无极大值，也无最大值，且，所以B，C，D正确，A错误.故选BCD．11．AC【解析】方法一：由题意，知抛物线的焦点为，则直线的方程为，代入抛物线方程，得.设,则.由抛物线的定义，得，所以.坐标原点O到直线的距离为，所以的面积为，解得，故A正确；又=8，故B错误；由，得，解得，所以，故C正确；，故D错误.故选AC．方法二：由题意，得，设直线：，即，则点到直线的距离是，所以，解得，所以，，，所以A，C正确.故选AC．12．ABD【解析】对于A，在等边三角形中，点A到直线的距离为，故A正确；对于B，如图，取的中点E，连接，，过点A作交于点G，则，.又，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.又平面平面，，平面，所以平面.由正四面体的性质，知，所以在中，，故B正确；对于C，由B，知平面，所以即为直线与平面所成的角.在中，，故C错误；对于D，取的中点F，连接，，如图，则，.又平面，平面，平面平面，所以为二面角的平面角.又，，所以在中，由余弦定理，得，所以二面角的余弦值为，故D正确．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】由题意,得．故填．14．【解析】，，又y与x的线性回归方程过点，∴，解得．故填．15．【解析】由，知当时，；当时，，此时，，当时，.又.若数列是等差数列，则，所以，所以．故填．16．【解析】设，，因为，又三点共线，所以，所以，所以，．又，在椭圆上，所以，所以，即，所以，所以，所以.又，所以，所以.由，解得，当时，直线l的斜率，当时，直线l的斜率，所以直线l的斜率为或．故填．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）【解析】（1）在中，，∴.（1分）∵，∴，化简，得.（2分）在中，，∴.（3分）又∵，∴.（4分）（2）由余弦定理，得，即.（6分）若选①，∵，即.（7分）又，∴，，（9分）此时的周长为.（10分）若选②，∵，∴，（6分）即.（8分）又，∴，（9分）此时的周长为．（10分）18．（12分）【解析】（1）零假设：喜欢跳舞与性别无关联.（1分）由题意，，（3分）依据小概率值的独立性检验，可推断不成立，即认为喜欢跳舞与性别有关联．（5分）（2）由题意，知考生喜欢跳舞的概率，不喜欢跳舞的概率为，（6分）X的所有可能取值为0，1，2，3，（7分），，，，（9分）所以X的分布列为0123（10分）由，知．（12分）19．（12分）【解析】（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，（2分）即，所以（舍去），（3分）所以，所以，（4分）所以.（5分）（2）由（1）得，（6分）则①，（8分）②，（10分）由①②，得，（11分）所以．（12分）20．（12分）【解析】（1）如图，设为的中点，连接，又分别是的中点，所以，.（2分）又底面是正方形，所以，，所以，，（3分）所以四边形为平行四边形，所以.（4分）又平面平面，所以平面．（5分）（2）由题意，知，以为原点，直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，（6分）令，则，所以，所以.（7分）设为平面的法向量，则，令，则.（9分）设为平面的法向量，则，令，则，（10分）所以，（11分）所以平面与平面夹角的余弦值为．（12分）21．（12分）【解析】（1）的定义域为，．（1分）若，则，在定义域内单调递增，无最大值；（2分）若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（4分）所以当时，取得极大值，也是最大值，为，解得．（5分）（2）对任意恒成立，即在上恒成立．（6分）设，则．（7分）设，则，所以在上单调递增，且，，所以有唯一零点，且，所以．（8分）构造函数，则.（9分）又函数在上是增函数，所以．（10分