2024届A佳经典联考高一数学第一学期期末检测模拟试题含解析

2024届A佳经典联考高一数学第一学期期末检测模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．以，为基底表示为A. B.C. D.2．直线过点，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是（）A. B.C. D.3．空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为点，关于原点的对称点为点，则间的距离为A. B.C. D.4．已知，，则A. B.C. D.5．将函数fx的图象向右平移φφ>0个单位长度，得到函数gx=sinx+π6的图象.A.π6 B.C.2π3 D.6．在中，已知，则角（）A. B.C. D.或7．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是（）A. B.C. D.8．设函数在区间上为偶函数，则的值为（）A.-1 B.1C.2 D.39．下列关系中正确个数是（）①②③④A.1 B.2C.3 D.410．已知函数是R上的偶函数.若对于都有，且当时，，则的值为（）A.﹣2 B.﹣1C.1 D.211．已知全集，，，则等于（）A. B.C. D.12．设命题p:∀x∈0,1，x>xA.∀x∈0,1，x<x3C.∀x∈0,1，x≤x3二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知函数，，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是________14．已知圆柱的底面半径为，高为2，若该圆柱的两个底面的圆周都在一个球面上，则这个球的表面积为______15．已知，α为锐角，则___________.16．函数y=的定义域是______.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知集合.（1）若，求a的值；（2）若且“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.18．某校食堂需定期购买大米已知该食堂每天需用大米吨，每吨大米的价格为6000元，大米的保管费用单位：元与购买天数单位：天的关系为，每次购买大米需支付其他固定费用900元该食堂多少天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少？若提供粮食的公司规定：当一次性购买大米不少于21吨时，其价格可享受8折优惠即原价的，该食堂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由19．已知函数.（1）判断的奇偶性，并证明；（2）证明：在区间上单调递减.20．已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在有且仅有两个零点，求实数取值范围.21．英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.（1）证明：当时，；（2）设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.22．已知函数，函数.（1）填空：函数的增区间为___________（2）若命题“”为真命题，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使函数在上的最大值为？如果存在，求出实数所有的值.如果不存在，说明理由.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】设，利用向量相等可构造方程组，解方程组求得结果.【详解】设则本题正确选项：【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，关键是能够通过向量相等构造出方程组，属于基础题.2、A【解析】先设直线方程为：，根据题意求出，即可得出结果.【详解】设所求直线方程为：，由题意得，且解得故，即.故选：A.【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线的斜截式方程即可，属于常考题型.3、C【解析】分析：求出点关于平面的对称点，关于原点的对称点，直接利用空间中两点间的距离公式，即可求解结果.详解：在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点，关于原点的对称点，则间的距离为，故选C.点睛：本题主要考查了空间直角坐标系中点的表示，以及空间中两点间的距离的计算，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4、A【解析】∵∴∴∴故选A5、C【解析】根据正弦型函数图象变换的性质，结合零点的定义和正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】因为函数fx的图象向右平移φφ>0个单位长度，得到函数gx=sinx+π6的图象，所以函数因为x=0是函数Fx所以F0=f0所以sinφ+π6=1解得：φ=2kπ(k∈Z)，或φ=2kπ+2π3(k∈Z)当φ=2kπ(k∈Z)时，因为φ>0，所以φ的最小值是2π，当φ=2kπ+2π3(k∈Z)时，因为φ>0，所以φ综上所述φ的最小值是2π3故选：C6、C【解析】利用正弦定理求出角的正弦值，再求出角的度数.【详解】因为，所以，解得：，，因为，所以.故选：C.7、C【解析】根据二次函数的对称轴在区间的左边，即可得到答案；【详解】由题意得：，故选：C8、B【解析】由区间的对称性得到，解出b；利用偶函数，得到，解出a，即可求出.【详解】因为函数在区间上为偶函数，所以，解得又为偶函数，所以，即，解得：a=-1.所以.故选：B9、A【解析】根据集合的概念、数集的表示判断【详解】是有理数，是实数，不是正整数，是无理数，当然不是整数．只有①正确故选：A【点睛】本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键10、C【解析】根据题意求得函数的周期，结合函数性质，得到，在代入解析式求值，即可求解.【详解】因为为上的偶函数，所以，又因为对于，都有，所以函数的周期，且当时，，所以故选：C.11、D【解析】利用补集和并集的定义即可得解.【详解】，，，，，.故选：D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟练掌握补集和并集的定义是解决本题的关键，属于基础题.12、D【解析】直接根据全称命题的否定，即可得到结论.【详解】因为命题p:∀x∈0,1，x所以¬p：∃x∈0,1，x故选：D二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、.【解析】因为,所以即的取值范围是.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等14、【解析】直接利用圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，利用勾股定理求出的值，然后利用球体的表面积公式可得出答案【详解】设球的半径为，由圆柱的性质可得，圆柱的底面直径，高、球体的直径构成直角三角形其中为斜边，因为圆柱的底面半径为，高为2，所以，，因此，这个球的表面积为，故答案为【点睛】本题主要圆柱的几何性质，考查球体表面积的计算，意在考查空间想象能力以及对基础知识的理解与应用，属于中等题15、【解析】由同角三角函数关系和诱导公式可得结果.【详解】因为，且为锐角，则，所以，故.故答案为：.16、【解析】要使函数有意义，需满足，函数定义域为考点：函数定义域三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（1）（2）【解析】（1）先求出集合B，再由题意可得从而可求出a的值，（2）由题意可得，从而有再结合可求出实数a的取值范围.【小问1详解】由题设知，∵，∴可得.【小问2详解】∵，∴，解得.∵“”是“”的必要不充分条件，∴.∴解得.因此，实数a的取值范围为.18、（1）10天购买一次大米；（2）见解析.【解析】根据条件建立函数关系，结合基本不等式的应用求最值即可；求出优惠之后的函数表达式，结合函数的单调性求出函数的最值进行判断即可【详解】解：设每天所支付的总费用为元，则，当且仅当，即时取等号，则该食堂10天购买一次大米，才能使平均每天所支付的总费用最少若该食堂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次大米，设该食堂接受此优惠条件后，每x，天购买一次大米，平均每天支付的总费用为，则，设，，则在时，为增函数，则当时，有最小值，约为，此时，则食堂应考虑接受此优惠条件【点睛】本题主要考查函数的应用问题，基本不等式的性质以及函数的单调性，属于中档题.19、（1）是偶函数，证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）先求定义域，再利用函数奇偶性的定义证明即可，（2）利用单调性的定义证明【小问1详解】为偶函数，证明如下：定义域为R，因为，所以是偶函数.【小问2详解】任取，且，则因为，所以，所以，即，由函数单调性定义可知，在区间上单调递减.20、（1）单调递增区间为，单调递减区间为（2）【解析】（1）先由三角恒等变换化简解析式，再由正弦函数的性质得出单调区间；（2）由的单调性结合零点的定义求出实数的取值范围.【小问1详解】由得故函数的单调递增区间为.由得故函数的单调递减区间为【小问2详解】由（1）可知，在上为增函数，在上为减函数由题意可知：，即，解得，故实数的取值范围为.21、（1）证明见解析（2）（i）不存在“和谐区间”，理由见解析（ii）存在，有唯一的“和谐区间”【解析】（1）利用来证得结论成立.（2）（i）通过证明方程只有一个实根来判断出此时不存在“和谐区间”.（ii）对的取值进行分类讨论，结合的单调性以及（1）的结论求得唯一的“和谐区间”.【小问1详解】由已知当时，，得，所以当时，.【小问2详解】（i）时，假设存在，则由知，注意到，故，所以在单调递增，于是，即是方程的两个不等实根，易知不是方程的根，由已知，当时，，令，则有时，，即，故方程只有一个实根0，故不存在“和谐区间”.（ii）时，假设存在，则由知若，则由，知，与值域是矛盾，故不存在“和谐区间”，同理，时，也不存在，下面讨论，若，则，故最小值为，于是，所以，所以最大值为2，故，此时的定义域为，值域为，符合题意.若，当时，同理可得，舍去，当时，在上单调递减，所以，于是，若即，则，故，与矛盾；若，同理，矛盾，所以，即，由（1）知当时，，因为，所以，从而，，从而，矛盾，综上所述，有唯一的“和谐区间”.【点睛】对于“新定义”的题目，关键是要运用新定义的知识以及原有的数学知识来进行求解.本题有两个“新定义”，一个是泰勒发现的公式，另一个是“和谐区间”.泰勒发现的公式可以直接用于证明，“和谐区间”可转化为函数的单调性来求解.22、（1）（写出开区间亦可）；（2）；（3）.【解析】（1）根据单调性的定义结合奇偶性可得解；（2）令，问题转化为“”为真命题，根据基本不等式找函数的最小值即可；（3）当时，，记，若函数在上的最大值为，分和，结合对数函数的单调性列式求解即可.【详解】（1）函数的增区间为（写出开区间亦可）；理由：，为偶函数，任取，，所以的增区间为.（2），令，当且仅当时取“”，“”为真命题可转化为“”为真命题，因为，当且仅当时取“”，所以，所以