2024届五年高考数学真题分类训练：专题三 一元函数的导数及其应用

第1页专题三一元函数的导数及其应用考点9导数的运算及几何意义题组一、选择题1.[2023全国卷甲，5分]曲线y=exx+1在点A.y=e4x B.y=e2[解析]由题意可知y'=exx+1-exx+12=xexx+12，则曲线y=2.[2021新高考卷Ⅰ，5分]若过点a,b可以作曲线y=exA.eb<a B.ea<b[解析]设切点x0,y0，y0>0，则切线方程为y-b=ex0x-a.由y0-b=ex0x0-a,y0=ex0得ex01-x0+a=b,则由题意知关于x0的方程ex01-x0+a=b有两个不同的解.设fx=ex1-所以函数fx=ex1-x+a的大致图象如图所示，因为fx的图象与直线【速解】过点a,b可以作曲线y=ex的两条切线，则点a,b在曲线y=e3.[2020全国卷Ⅰ，5分]函数fx=x4-2x3的A.y=-2x-1 B.y=-2x+[解析]∵fx=x4-2x3,∴f'x=4x3-6x2【方法技巧】曲线y=fx在点x0,fx0处的切线方程为y-fx04.[2019全国卷Ⅲ，5分]已知曲线y=aex+xlnx在点A.a=e，b=-1 B.a=e，b=1 C.a=e-1[解析]因为y'=aex+lnx+1，所以y'|x=1=a【方法技巧】已知曲线在某点处的切线方程求参数的关键是用“方程思想”来破解，先求出函数的导数，从而求出曲线在某点处的导数值；再根据导数的几何意义与已知条件，建立关于参数的方程，通过解方程求出参数的值．二、填空题5.[2022新高考卷Ⅱ，5分]曲线y=lnx过坐标原点的两条切线的方程为y=1[解析]先求当x>0时，曲线y=lnx过原点的切线方程，设切点为x0,y0，则由y'=1x，得切线斜率为1x0，又切线的斜率为y0x0，所以1x0=y0x0，解得y0=16.[2022新高考卷Ⅰ，5分]若曲线y=x+aex[解析]因为y=x+aex，所以y'=x+a+1ex.设切点为Ax0,x0+aex0，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA=y'|x=x7.[2021全国卷甲，5分]曲线y=2x-1x+2[解析]y'=2x-1x+2'=2x+28.[2021新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=ex-1，x1<0，x2>0，函数fx的图象在点Ax1,fx[解析]fx=∣ex-1∣=ex-1,x≥0,1-ex,x<0,则当x>0时，f'x=ex，f'x2=ex2；当x<0时，f'x=-ex，f'x1=-ex1.因为函数fx的图象在点A,B处的两条切线互相垂直，所以-ex1ex2=-9.[2020全国卷Ⅲ，5分]设函数fx=exx+a.若[解析]由于f'x=exx+10.[2019江苏，5分]在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点-e,-1（e为自然对数的底数），则点A[解析]设Ax0,lnx0，又y'=1x,则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y-lnx0=1x0三、解答题11.[2022全国卷甲，12分]已知函数fx=x3-x，gx=x2+a（1）若x1=-1,[答案]当x1=-1时，f-1由fx=x3-所以切线斜率k=f所以切线方程为y=2x+1将y=2x+2代入y=x2+a，得解得a=3（2）求a的取值范围.[答案]由fx=x3-所以切线斜率k=f所以切线方程为y-x13-将y=3x12-1x由切线与曲线y=gx相切，得整理，得4a=9令hx=9x4由h'x=0，得hx,h'x随xx-∞,-1-1-100,11,+∞h'-0+0-0+hx↘极小值↗极大值↘极小值↗由上表知，当x=-13时，hx当x=1时，hx取得极小值易知当x→-∞时，hx→+∞,当x→+∞时，hx→+∞，所以函数所以由4a∈[-4,+∞)，得故实数a的取值范围为[-1,+∞)12.[2021全国卷乙，12分]已知函数fx（1）讨论fx[答案]由题意知fx的定义域为R，f'x=3x2①当a≥13时，Δ≤0,f'x≥②当a<13时，Δ>0,令f'x=0令f'x>0，则x<x1或x所以fx在-∞,x1上单调递增，在x1,x综上，当a≥13时，fx在R上单调递增；当a<13时，fx在-∞,1（2）求曲线y=fx过坐标原点的切线与曲线y[答案]记曲线y=fx过坐标原点的切线为l，切点为因为f'x0=3x0由l过坐标原点，得2x03-x02-1所以切线l的方程为y=1令x3-x2+ax+1所以曲线y=fx过坐标原点的切线与曲线y=fx的公共点的坐标为13.[2020新高考卷Ⅰ，12分]已知函数fx[答案]fx的定义域为0,+∞，f（1）当a=e时，求曲线y=fx[答案]当a=e时,fx=ex-lnx+1,f'1=e-1直线y=e-1x+2在x轴，因此所求三角形的面积为2e-1（2）若fx≥1,求a[答案]当0<a<1当a=1时，fx=ex-1-lnx,f'x=ex-1-1x.当x∈0,当a>1时，f综上，a的取值范围是[1,+∞)【方法技巧】不等式问题中，要会放缩，但不能放缩得过大或者过小，常见的放缩形式有：14.[2020北京，15分]已知函数fx（Ⅰ）求曲线y=fx的斜率等于[答案]函数fx=12-x2的定义域为R,f'x=-2x,令f∴曲线y=fx的斜率等于-2的切线方程为y-11（Ⅱ）设曲线y=fx在点t,ft处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S[答案]由（Ⅰ）知f'x=-2x,则f't=-2t，又ft=12-t2，所以曲线y=f令x=0,得y=t2+12,记A0,t2+12，O为坐标原点,则OA=t2+12∴St∵St为偶函数，∴仅考虑t>当t>0时,S则S't令S't=0,∴当t变化时，S't与St0,22,+∞S'-0+St↘极小值↗∴St考点10导数与函数的单调性、极值、最值题组一一、选择题1.[2023新高考卷Ⅱ，5分]已知函数fx=aex-lnx在区间1A.e2 B.e C.e-1[解析]因为函数fx=aex-lnx，所以f'x=aex-1x.因为函数fx=aex-lnx在1,2单调递增，所以f'x≥0在1,2恒成立，即aex-1x≥0在1,2恒成立，易知2.[2022全国卷甲，5分]当x=1时，函数fx=alnx+A.-1 B.-12 C.[解析]由题意知，f1=aln1+b=b=-2.因为f'x3.[2022全国卷乙，5分]函数fx=cosx+x+1A.A.-π2,π2 B.-3π2,π2 C.-π[解析]fx=cosx+x+1sinx+1,x∈[0,2π]，则f'x=-sinx+sinx+x+1cosx=x+1cosx4.[2021全国卷乙，5分]设a≠0，若x=a为函数fxA.a<b B.a>b C.ab[解析]因为函数fx=ax令f'x=0，结合a≠0（1）当a>0时，若x=a为函数fx的极大值点，则a<a+2b3,（2）当a<0时，若x=a为函数fx的极大值点，则a>a+2b3,综上，a>0且b>a满足题意，a<0且b<a也满足题意.据此，可知必有【速解】易知a与b是fx图象与x轴两个交点的横坐标.因为x=a为函数fx的极大值点，所以当a>0时，根据题意画出函数fx当a<0时，根据题意画出函数fx的大致图象，如图2所示，观察可知a>综上，可知必有ab>a2成立5.[2023新高考卷Ⅱ，5分]（多选题）若函数fx=alnA.bc>0 B.ab>0 C.b[解析]因为函数fx=alnx+bx+cx2a≠0，所以函数fx的定义域为0,+∞，f'x=ax2-bx-二、填空题6.[2023全国卷乙，5分]设a∈0,1,若函数fx=ax+1+a[解析]由题意得当x>0时，f'x=axlna+1+a因为a∈0,1,所以ln1+a>0,1a+1>1，所以gx在0,+∞上单调递增，故只需满足g0≥0，即lna+ln7.[2022全国卷乙，5分]已知x=x1和x=x2分别是函数fx=2ax-ex2([解析]解法一由fx=2ax-ex2，得f'x=2axlna-2ex.令f'x=0，得axlna=ex，因为a>0且a≠1,所以显然x≠0，所以e=axlnax.令gx=axlnax，则g'x=axlna2x-axlnax2=axlna[lnax-1]x2.令g'x=0，得x=1lna.故当x>1lna时，g'x>0解法二由题意,f'x=2axlna-2ex,根据fx有极小值点x=x1和极大值点x=x2可知，x=x1,x由f'x=0可得ax⋅lna=ex.①若a>1，则当x→+∞时，f'x→+∞，不符合题意，舍去.②若0<a<1，令gx=axlna,hx=ex,在同一平面直角坐标系中作出函数gx和hx的图象，如图所示.因为f'x=0有两个不同的根，所以gx与hx的图象需要有两个交点，则过原点且与gx的图象相切的直线l的斜率k<e.不妨设直线8.[2021新高考卷Ⅰ，5分]函数fx=2x-[解析]函数fx=2x-1①当x>12时，（提示：对fx=2x-1当12<x<1时，f'x<0②当0<x≤12时，f所以此时fxmin综上，fxmin三、解答题9.[2022全国卷乙，12分]已知函数fx（1）当a=0时，求f[答案]当a=0时，f所以f'若x∈0,1，则f若x∈1,+∞，则f'所以fxmax（2）若fx恰有一个零点，求a的取值范围[答案]由fx=ax-1x当a=0时，由（1）可知，f当a<0时，f若x∈0,1，f若x∈1,+∞，f'所以fxmax=f1当a>0时，f'x=ax-1ax-1x2，若a=若a>1，fx在0,1a,1,+∞上单调递增，在1a,1上单调递减，因为f1=a-1>0，所以f1a若0<a<1，fx在0,1,1a,+∞上单调递增，在1,1a上单调递减，因为f1=a-1<0，所以f1a综上，若fx恰有一个零点，a的取值范围为0,+∞10.[2021全国卷甲，12分]设函数fx=a2（1）讨论fx的单调性[答案]由题意，fx的定义域为0,+∞f'则当x>1a时，f'x>0，fx单调递增；当0故函数fx在0,1a上单调递减,在（2）若y=fx的图象与x轴没有公共点，求a[答案]由（1）知函数fx的最小值为f1a，要使y=fx的图象与x轴没有公共点，只需fx的最小值恒大于0，即f1a>所以a的取值范围为1e,+∞【方法技巧】用导函数判断函数的单调性的一般步骤：首先，确定函数的定义域；其次，求导函数f'x；最后，解不等式f'x>0，得函数fx11.[2021北京，15分]已知函数fx（Ⅰ）若a=0，求曲线y=fx因为fx=3-2xx2[答案]若a=0，则f'1代入y-f1=f所以曲线y=fx在点1,f（Ⅱ）若函数fx在x=-1处取得极值，求f[答案]由函数fx在x=-1处取得极值可知f'-1=此时fx=3-2x当x∈-∞,-1∪4,+∞时，f'x>0当x∈-1,4时，f'x又当x→-∞时,fx→0，当x→+∞所以fx的最大值为f-1=1，f12.[2020全国卷Ⅱ，12分]已知函数fx（1）若fx≤2x+c[答案]设hx=fx-2x其定义域为0,+∞，h'当0<x<1时，h'x>0；当x>1时，h'x<0.所以hx在区间0,故当且仅当-1-c≤0,即c所以c的取值范围为[-1,+∞)（2）设a>0，讨论函数gx[答案]gx=fx-g'x由（1）知c=-1时hx=2lnx-故当x∈0,a∪a,+∞所以gx在区间0,a,a13.[2019全国卷Ⅲ，12分]已知函数fx（1）讨论fx的单调性[答案]f'令f'x=0，得x若a>0，则当x∈-∞,0∪当x∈0,a3故fx在-∞,0,a3,+∞单调递增，在若a=0，则fx在-∞,+∞若a<0，则当x∈-∞,a当x∈a3,0故fx在-∞,a3,0,+∞单调递增，在（2）是否存在a，b，使得fx在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1？若存在，求出a，[答案]满足题设条件的a,b存在.i当a≤0时，由（1）知，fx在所以fx在区间[0,1]的最小值为f0此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1ii当a≥3时，由（1）知，fx在所以fx在区间[0,1]的最大值为f0此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1iii当0<a<3时，由（1）知，fx在[0,1]的最小值为f若-a327+b=-1,b=1若-a327+b=-1,2-a+b=1,则综上，当且仅当a=0，b=-1或a=4,b=1时，fx题组二一、选择题1.[2022新高考卷Ⅰ，5分]设a=0.1e0.1,b=19A.a<b<c B.c<b<[解析]设ux=xex0<x≤0.1,vx=x1-x0<x≤0.1,wx=-ln1-x0<x≤0.1，则当0<x≤0.1时，ux>0，vx>0，wx>0.①设fx=ln[ux]-ln[vx]=lnx+x-[lnx-ln1-x]=x+ln1-x0<x≤0.1，则f'x=1-11-x=xx-1<0在(0,【速解】a=0.1e0.1≈0.11+0.1+【方法技巧】当x→0时，ex≈1+2.（2021全国卷乙，5分）设a=2ln1.01,b=lnA.a<b<c B.b<c<[解析]b-c=ln1.02-则b-c=f0.02，f'x=1x+1-221+2x=1+2x-x+11a-c=2ln1.01-1.04+1,设gx=2lnx+1-1+4x+1，则a-c=g0.01，g'x=二、解答题3.[2023新高考卷Ⅱ，12分]（1）证明:当0<x<1[答案]令hx=则h'x令px=1-2x-cos所以px即h'x单调递减,又所以当0<x<1时，h'x所以当0<x<1时，hx<令gx=sin则g'x所以gx单调递减,又g0所以当0<x<1时，gx<综上，当0<x<1（2）已知函数fx=cosax-ln1-x2,若x=0[答案]解法一由fx=cos得fx=f-xf'x令tx=-则t'x令nx=-a2cos当a=0当0<x<1时，f'x>0,fx所以x=0是fx当a>0时，取π2a与1中的较小者，为则当0<x<m所以nx即t'x在0所以t'x①当2-a2≥0,即0<所以tx在0,m所以tx>t0=0那么fx在0,m由偶函数性质知fx在-m,故x=0是fx②当2-a2<0当π2a<1，即因为t'0<0所以t'x在0,m且当0<x<x1时,t'因为t0=0,所以当0<x<x1所以fx在0,x因为fx为偶函数，所以fx在-故可得x=0是fx当π2a>1，即因为t'0<0所以t'x在0,m且当0<x<x2时，t'因为t0=0,所以当0<x<x2所以fx在0,x因为fx为偶函数，所以fx在-故可得x=0是fx当a<0时，由偶函数图象的对称性可得a综上所述，a的取值范围是-∞,-2∪解法二由fx=cosax-ln1令tx=-则t'x由x=0是fx的极大值点,易得f'0=0，t'0<0,（二级结论：已知函数fx的导函数为f'x,令gx=f'x,若x=x0为f所以2-a解得a<-2或a所以a的取值范围是-∞,-2∪4.[2022北京，15分]已知函数fx（Ⅰ）求曲线y=fx在点0[答案]f'x=ex⋅ln1+因此，曲线y=fx在点0,f（Ⅱ）设gx=f'x，讨论函数[答案]gx=则g'x设hx=ln1+x则h'x故hx在[0故hx≥因此g'x>0对任意的x∈[故gx在[0,+∞)（Ⅲ）证明:对任意的s,t∈0,+∞[答案]设ms=则m's由（Ⅱ）知gx在[0故当s>0，t>0时，m's=gs故ms>因此，对任意的s,t∈0,+∞，有5.[2019全国卷Ⅰ，12分]已知函数fx=sinx-ln1+x（1）f'x在区间[答案]设gx=f'x,则当x∈-1,π2时,g'x单调递减,而g'0>0,g'π则当x∈-1,α时,g'x>0所以gx在-1,α单调递增,在α,π2单调递减,故gx在-1,π（2）fx有且仅有2个零点[答案]fx的定义域为-1i当x∈(-1,0]时,由（1）知,f'x在-1,0单调递增,而f'0=0,又f0=0,从而x=0是fxii当x∈(0,π2]时，由（1）知,f'x在0,α单调递增,在α,π2单调递减,而f'0=0,f'π2<0故fx在0,β单调递增,在β又f0=0,所以当x∈(0,π2]时,fx>0.iii当x∈(π2,π]时，f'x<0,所以fx在π2,π单调递减.而fπiv当x∈π,+∞时，lnx+1>1,所以fx<0综上，fx有且仅有2个零点【方法技巧】利用导数研究函数的零点问题的常用方法是借助导数求得函数的单调性、极值、最值后，结合函数的零点存在定理来判断函数零点的个数．6.[2019北京，13分]已知函数fx（Ⅰ）求曲线y=fx[答案]由fx=14x令f'x=1,即34x2-又f0=0,所以曲线y=fx的斜率为1的切线方程是y=x即y=x与y（Ⅱ）当x∈[-2,4][答案]令gx=fx-由gx=14x令g'x=0得x=g'x,gx-2-200,83834g'+0-0+gx-6↗0↘-64↗0所以gx的最小值为-6,故-6≤gx≤0（Ⅲ）设Fx=fx-x+aa∈R，记Fx在区间[-[答案]由（Ⅱ）知，当a<-3时，M当a>-3时，M当a=-3时，M综上，当Ma最小时，a=-7.[2019江苏，16分]设函数fx=x-ax-bx-c,a,b（1）若a=b=c，f4[答案]因为a=b所以fx=因为f4=所以4-a3=8（2）若a≠b，b=c，且fx和f'x[答案]因为b=c所以fx=从而f'令f'x=0，得x因为a,b,2a+b3都在集合{-3,所以2a+b3=1,a此时，fx=x-3令f'x=0,得x列表如下：x-∞,-3-3-311,+∞f+0-0+fx↗极大值↘极小值↗所以fx的极小值为f1（3）若a=0,0<b≤1,c=1,且[答案]因为a=0，c=1f'Δ=4则f'x有2个不同的零点，设为x1由f'x=0,得x列表如下：x-∞,xx1x1x2x2f+0-0+fx↗极大值↘极小值↗所以fx的极大值M=因为0<b≤1,当x∈0,1令gx=xx-12,令g'x=0，得x0,1313g'+0-gx↗极大值↘所以当x=13时，故gxmax所以当x∈0,1时，fx≤考点11导数与不等式题组解答题1.[2023新高考卷Ⅰ，12分]已知函数fx（1）讨论fx的单调性[答案]f'当a≤0时，f所以函数fx在-∞,+∞当a>0时，令f'x>0，得x>-ln所以函数fx在-∞,-lna上单调递减，在-ln综上可得：当a≤0时，函数fx在当a>0时，函数fx在-∞,-lna（2）证明:当a>0时，[答案]解法一（最值法）由（1）得当a>0时，函数fx=a令ga=1+a所以g'a=2a-1a，令g'a>0所以函数ga在0,22所以函数ga的最小值为g2所以当a>0时，fx解法二（分析法）当a>0时，由（1）得，f故欲证fx>只需证1+a即证a2-构造函数ua=ln则u'a=1a-1=1-aa，所以当所以函数ua在0,1上单调递增，在所以ua≤u1=故只需证a2-12>因为a2-所以当a>0时，fx2.[2023全国卷甲，12分]已知函数fx=ax-sin（1）当a=8时，讨论f[答案]当a=8时，fx=8xf'令1cos2x=t令ht=-当t∈1,2时，ht>0故当x∈0,π4时,当x∈π4,π2时,∴fx在区间0,π4（2）若fx<sin2x[答案]令gx=则g'x令u=cos2x，则u∈则k'u当u∈0,1时，k'u<0∵k1=3，∴当u∈0,1时,k①当a≤3时，g'x<0，又g0=0，∴当x∈0,π2②当a>3时，∃x0∈∴gx在0,x0∴gx0>g0综上所述，a的取值范围为(-∞,3]3.[2022新高考卷Ⅱ，12分]已知函数fx（1）当a=1时，讨论f[答案]当a=1时，fx=x当x>0时，f'x=xex当x<0时，f'x=xex（2）当x>0时，fx<-1[答案]f'①当a≥1时，f∴fx在0,+∞上单调递增，∴②当a≤0时，f∴fx在0,+∞上单调递减，∴③当0<a≤12设Gx=1+x2∴Gx在0∴Gx<0,∴f'x∴fx<-④当12<a<1令Hx=1+ax-e1-ax，则f'x=eaxHx∴∃x0∈0,+∞,使H'x0=0,且当x∈0,x∴当x∈0,x0fx在0,x0上单调递增，综上，实数a的取值范围为(-∞,12（3）设n∈N*[答案]先证不等式ab<a-当a>b>0时，不等式ab<a-bln构造函数hx=则h'当x>1时，h所以函数hx在1,+∞上单调递减，hx令a=1+1n,b整理可得，ln1+1n即112+4.[2021全国卷乙，12分]设函数fx=lna-x，已知x=（1）求a；[答案]由题意得y=xf则y'=lna因为x=0是函数y所以y'|x=0（2）设函数gx=x+[答案]由（1）可知，fx=ln1-x当0<x<1时，ln1当x<0时，ln1-x易知gx的定义域为{x|x<故要证gx=x+fxxfx<令1-x=t，则t>0且t≠1令ht=1-t所以ht在0,1上单调递减，在所以ht>即gx<15.[2021新高考卷Ⅰ，12分]已知函数fx（1）讨论fx的单调性[答案]因为fx=x1-lnx，所以fx当x∈0,1时，f'x>所以函数fx在0,1上单调递增，在1（2）设a，b为两个不相等的正数，且blna-a[答案]由题意，a,b是两个不相等的正数，且blna-alnb=a-即f1a令x1=1a由（1）知fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，（一般地，解决此类问题时，第（2）问需利用第（1）问所得的函数的性质，本题中对b且当0<x<e时，fx>0，当不妨设x1<x2要证2<1a+1先证x1+要证x1+x2>因为0<x所以x2>又fx在1,+∞上单调递减，所以即证f又fx1=fx2，所以即证fx1构造函数Fx=则F'x当0<x<1时，x2即当0<x<1时，F'x>0所以当0<x<1所以当0<x<1时，fx-再证x1+由（1）知，fx的极大值点为x=1，fx过点0,0,1,1设fx1=fx2=m直线y=x与直线y=m的交点坐标为m,欲证x1+x2<e即证当1<x<e时，构造函数hx=fx+当1<x<e时，h'x>0所以当1<x<e时，hx<所以x1+x综上可知，2<1a【一题多解】第（2）问也可用如下思路求解.思路一：同解析先判断出x1<m，再求出fx在e,0处的切线方程y=-x+e,及y=-x+e与y=思路二：同证明x1+x2>2的方法，要证x1+x2<e,即证1<x2<e-x16.[2020全国卷Ⅰ，12分]已知函数fx（1）当a=1时，讨论f[答案]当a=1时，fx=e故当x∈-∞,0时,f'x<0;所以fx在-∞,0单调递减，在0,+∞（2）当x≥0时，fx≥12[答案]fx≥12x设函数gx=1g'=-1=-12i若2a+1≤0,即a≤-12,则当所以gx在0,2单调递增，而g0=1,故当xii若0<2a+1<2,即-12<a<12,则当x∈所以gx在0,2a+1,2,+∞单调递减，在2a+1,2单调递增.由于g0=1所以当7-e24≤iii若2a+1≥2,即a≥1由于0∈[7-e24,1故当a≥12时，综上，a的取值范围是[7-【方法技巧】利用导数解决不等式恒成立问题的两种常用方法：①分离参数法，第一步，将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步，利用导数求该函数的最值；第三步，根据要求求解即可.②函数思想法,第一步，将不等式转化为含参数的函数的最值问题；第二步，利用导数求该函数的极值（最值）；第三步，构建不等式求解．7.[2020全国卷Ⅱ，12分]已知函数fx（1）讨论fx在区间0,π[答案]f=2=2sin当x∈0,π3当x∈π3,2所以fx在区间0,π3，2π3（2）证明：∣f[答案]由已知知f0=fπ=0,由（1）知，fx在区间[0,π]因为fx+π所以fx是周期为π的周期函数，故fx（3）设n∈N*[答案]由（2）得sin2xsin2x≤338,sin22xsin4x≤338,所以sin2x考点12导数与函数的零点题组解答题1.[2022全国卷乙，12分]已知函数fx（1）当a=1时，求曲线y=fx[答案]当a=1时，f∴f∴f∵f0=0，∴所求切线方程为y-（2）若fx在区间-1,0，0,+∞[答案]∵fx∴当a≥0时，若x>0,则lnx+1>∴fx在0,+∞当a<0时，f令gx=ex+a1-x2,则g'x=ea若g'-1≥0，则-12e≤a<0∴gx在-∵g-1=e-1>0∴f'x>0∴fx在-1,+∞∴fx在-1,0b若g'-1<0,则a<-12e,∴a<-12∴gx在-1,x0g-1=e-1>0i当g0≥0,即-1≤a<-12e时，gx>0∴fx在0,+∞∵f0=0,∴当x∈0,+∞时，fx>ii当g0<0，即存在x1∈-1,x0∴fx在-1,x1，x∵f0=0,∴fx1>f∴fx在-即fx在-1∵f0=0,当x→+∞∴fx在x2,+∞上存在一个零点，即fx综上，a的取值范围是-∞,-12.[2021全国卷甲，12分]已知a>0且a≠1（1）当a=2时，求f[答案]当a=2时，fx=x令f'x>0，则0令f'x<0，则x所以函数fx的单调递增区间为0,2ln（2）若曲线y=fx与直线y=1[答案]曲线y=fx与直线可转化为方程xaax=1，即xa设gx=lnx令g'x=1-ln当0<x<e时，g'x>当x>e时，g'x<0故gxmax=ge=1e又g1=0，方程lnxx=lnaa有两个不同的解，所以0<lna即a的取值范围为1,e∪3.[2021新高考卷Ⅱ，12分]已知函数fx（1）讨论fx[答案]由题意，得f'①当a≤0时，由f'x所以当x>0时，f'x>0所以函数fx在0,+∞上单调递增，在-∞,②当0<2a<1，即0<a<12时，由所以当x>0和x<ln2a时，f'x>所以函数fx在0,+∞，-∞,ln2a上单调递增，在③当2a=1，即a=12时，f'x④当2a>1，即a>12时，由f'x所以当x<0和x>ln2a时，f'x>所以函数fx在ln2a,+∞，-∞,0综上所述，当a≤0时，函数fx在0,+∞上单调递增，在-∞,0上单调递减；当0<a<12时，函数fx在0,+∞，-∞,ln2a上单调递增，在ln2a,0上单调递减；当a=12时，函数fx（2）从下面两个条件中任选一个作为已知条件，证明：fx有一个零点①12<a≤e22,[答案]选择条件①，12<a≤e由（1）知，当a>12时,函数fx在ln2a,+∞，因为f0=-fln2a所以当x>0时，f又f-b所以函数fx在-b综上所述，函数fx选择条件②，0<a<12由（1）知，当0<a<12时，函数fx在0,+∞因为fln2a所以f0<所以当x<0时，f当x→+∞时，易知ex的变化率远大于ax2的变化率，所以x→+∞时，x-1ex-ax综上所述，函数fx4.[2020全国卷Ⅰ，12分]已知函数fx（1）当a=1时，讨论fx[答案]当a=1时，fx=ex当x<0时，f'x<0;所以fx在-∞,0单调递减，在0,+∞（2）若fx有两个零点，求a的取值范围[答案]f'当a≤0时，f'x>0，所以fx在-∞,+∞当a>0时，由f'x=0可得x=lna.当x∈-∞,lna时，f'x<0;当x∈lna,+∞时，fi若0<a≤1e,则flna≥0ii若a>1e，则由于f-2=e-2>0由（1）知，当x>2时，ex-x-2>fx>e=2a>0故fx在lna,+∞存在唯一零点.从而fx综上，a的取值范围是1e,+∞5.[2020全国卷Ⅲ，12分]设函数fx=x3+bx+c,曲线y=（1）求b；[答案]f'依题意得f'12=0,即3（2）若fx有一个绝对值不大于1的零点，证明：fx[答案]由（1）知fx=x3-令f'x=0,解得xf'x与x-∞,-1-1-11212f+0-0+fx↗c+↘c-↗因为f1=f-12=c+14因为f-1=f12=c-14,由题设可知-14当c=-14时,fx只有两个零点当c=14时,fx只有两个零点-1当-14<c<14时，fx有三个零点x1,x2,x3综上，若fx有一个绝对值不大于1的零点，则fx6.[2019全国卷Ⅱ，12分]已知函数fx（1）讨论fx的单调性，并证明fx[答案]fx的定义域为0,因为f'所以fx在0,1，1因为fe=1-e+所以fx在1,+∞有唯一零点x1,即又0<1x1<故fx在0,1有唯一零点综上，fx有且仅有两个零点（2）设x0是fx的一个零点，证明曲线y=lnx在点Ax[答案]因为1x0=e-lnx0由题设知fx0=0,即lnx0=xk=1曲线y=ex在点B-lnx0,1x0处切线的斜率是1x0,曲线y=lnx在点考点13导数的综合应用题组一、选择题1.[2022新高考卷Ⅰ，5分]（多选题）已知函数fx=x3-A.fx有两个极值点 B.fxC.点0,1是曲线y=fx的对称中心 D.直线y[解析]因为fx=x3-x+1，所以f'x=3x2-1，令f'x=3x2-1=0，得x=±33.由f'因为fx的极小值f33=333-33+1=1-2因为函数gx=x3-x的图象向上平移一个单位长度得函数fx=x3-x+1的图象，函数gx=x3-x假设直线y=2x是曲线y=fx的切线，切点为x0,y0，则f'x0=3x02-1=2，解得x0=±1.若x0=1二、解答题2.[2023全国卷乙，12分]已知函数fx（1）当a=-1时，求曲线y=fx[答案]当a=-1时，f则f'所以f'又f1=0，所以所求切线方程为y-0（2）是否存在a,b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称？若存在，求[答案]假设存在a,b，使得曲线y=f1x关于直线令gx=因为曲线y=gx关于直线所以gx=g2b-于是a=-2b-a当a=12，b=-12时，所以曲线y=gx关于直线x故存在a,b，使得曲线y=f1x关于直线x=b对称，且（3）若fx在0,+∞上存在极值，求a[答案]解法一f'设hx=ax2①当a≤0时，2a-1<0，当x>0时，h所以当x>0时，hx<h所以fx在0,+∞②当a≥12时，2a-1≥0，当x>0时，所以当x>0时，hx>h所以fx在0,+∞③当0<a<12时，令h'x=0，得x=1-2aa所以hx在0,1-2a所以h1-又当x→+∞时，hx→+∞，所以存在x0∈即当0<x<x0时，hx<0，fx单调递减，当此时y=fx有极小值点综上所述，a的取值范围为0,1解法二由题意，得f'x在0,+∞上有变号零点，令f'x=-即a=1所以原问题等价于直线y=a与曲线y=1+设hx=1+x设φx=ln1+x所以当x>0时，φx在故当x>0时，φ又当x>0时，-x+2<0，所以h'由洛必达法则可得limx→0hx=limx→0ln1+所以当0<a<12时，直线y=a故a的取值范围为0,13.[2023天津，16分]已知函数fx（1）求曲线y=fx在[答案]f'所以f'故曲线y=fx在x=2（2）当x>0时，证明：[答案]构造gt=lnt-所以函数gt在[1,+∞)上单调递增，所以所以lnt>令x+1=tx>所以当x>0时，1x+1（3）证明：56<lnn![答案]先证lnn!令hn=lnn!-则hn+由（2）可知1x+12ln故hn单调递减，则hn≤h再证56<ln解法一构造sx=lnx-则s'x当0<x<1