北京市朝阳区第八十中学2023年数学高一上期末预测试题含解析

北京市朝阳区第八十中学2023年数学高一上期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共12小题，共60分）1．命题“，是4的倍数”的否定为（）A.，是4的倍数 B.，不是4的倍数C.，不是4的倍数 D.，不是4的倍数2．已知，，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.3．设函数满足，的零点为，则下列选项中一定错误的是（）A. B.C. D.4．设，，，则的大小顺序是A. B.C. D.5．已知，，都是实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6．“”是的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7．已知函数在区间上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是（）A. B.C. D.8．如图，正方体中，①与平行；②与垂直；③与垂直以上三个命题中，正确命题的序号是（）A.①② B.②③C.③ D.①②③9．函数的零点个数为（）A.个 B.个C.个 D.个10．如图是函数在一个周期内的图象，则其解析式是（）A. B.C. D.11．下列函数中与函数相等的是A. B.C. D.12．已知函数对于任意两个不相等实数，都有成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20分）13．从含有两件正品和一件次品b的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，取出的两件产品都是正品的概率为__________.14．设函数，若其定义域内不存在实数，使得，则的取值范围是______15．直线与平行，则的值为_________.16．设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．已知函数（Ⅰ）求在区间上的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求的值18．已知函数，两相邻对称中心之间的距离为（1）求函数的最小正周期和的解析式.（2）求函数的单调递增区间.19．已知函数，，.（1）若，解关于方程；（2）设，函数在区间上的最大值为3，求的取值范围；（3）当时，对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不大于1，求的取值范围.20．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.21．一家货物公司计划在距离车站不超过8千米的范围内征地建造仓库，经过市场调查了解到下列信息：征地费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米）的关系为.为了交通方便，仓库与车站之间还要修一条道路，修路费用（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：千米）成正比.若仓库到车站的距离为3千米时，修路费用为18万元.设为征地与修路两项费用之和.（1）求的解析式；（2）仓库应建在离车站多远处，可使总费用最小，并求最小值22．已知函数，.（1）若在上单调递增，求实数a的取值范围；（2）求关于的不等式的解集.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，共60分）1、B【解析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“，是4的倍数”的否定为“，不是4的倍数”故选：B2、C【解析】根据已知条件逐个分析判断【详解】对于A，因为，所以A错误，对于B，因为，所以集合A不是集合B的子集，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：C3、C【解析】根据函数的解析式，结合零点的存在定理，进行分类讨论判定，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且的零点为，即，解得，又因为，可得中，有1个负数、两个正数，或3个都负数，若中，有1个负数、两个正数，可得，即，根据零点的存在定理，可得或；若中，3个都是负数，则满足，即，此时函数的零点.故选：C.4、A【解析】利用对应指数函数或对数函数的单调性，分别得到其与中间值0,1的大小比较，从而判断的大小.【详解】因为底数2>1，则在R上为增函数，所以有；因为底数，则为上的减函数，所以有；因为底数，所以为上的减函数，所以有；所以，答案为A.【点睛】本题为比较大小的题型，常利用函数单调性法以及中间值法进行大小比较，属于基础题.5、B【解析】利用充分、必要条件的定义，结合不等式的性质判断题设条件间的推出关系，即可知条件间的充分、必要关系.【详解】当时，若时不成立；当时，则必有成立，∴“”是“”的必要不充分条件.故选：B6、A【解析】先看时，是否成立，即判断充分性；再看成立时，能否推出，即判断必要性，由此可得答案.【详解】当时，，即“”是的充分条件；当时，，则或，则或,即成立，推不出一定成立，故“”不是的必要条件，故选：A.7、D【解析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.【详解】在区间上有且只有一个零点在区间上有且只有一个解，即在区间上有且只有一个解令，，当，即时，因为在上单调递减，在上单调递增且，，由图1知，此时函数与在上只有一个交点；当，即时，因为，所以要使函数与在上有且只有一个交点，由图2知，即，解得或（舍去）.综上，的取值范围为.故选：D8、C【解析】根据线面平行、线面垂直的判定与性质，即可得到正确答案【详解】解：对于①，在正方体中，由图可知与异面，故①不正确对于②，因为，不垂直，所以与不垂直，故②不正确对于③，在正方体中，平面，又∵平面，∴与垂直.故③正确故选：C【点睛】此题考查线线平行、线线垂直，考查学生的空间想象能力和对线面平行、线面垂直的判定与性质的理解与掌握，属基础题9、C【解析】根据给定条件直接解方程即可判断作答.详解】由得：，即，解得，即，所以函数的零点个数为2.故选：C10、B【解析】通过函数的图象可得到：A=3，，，则，然后再利用点在图象上求解.，【详解】由函数的图象可知：A=3，，，所以，又点在图象上，所以，即，所以，即，因为，所以所以故选：B【点睛】本题主要考查利用三角函数的图象求解析式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11、C【解析】对于选项A,D对应的函数与函数的对应法则不同，对于选项B对应的函数与函数的定义域不同，对于选项C对应的函数与函数的定义域、对应法则相同，得解.【详解】解：对于选项A，等价于，即A不符合题意，对于选项B，等价于，即B不符合题意，对于选项C，等价于，即C符合题意，对于选项D，，显然不符合题意，即D不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了同一函数的判断、函数的对应法则及定义域，属基础题.12、B【解析】由题可得函数为减函数，根据单调性可求解参数的范围.【详解】由题可得，函数为单调递减函数，当时，若单减，则对称轴，得：,当时，若单减，则，在分界点处，应满足，即，综上：故选：B二、填空题（本大题共4小题，共20分）13、【解析】基本事件总数6，取出的两件产品都是正品包含的基本事件个数2，由此能求出取出的两件产品都是正品的概率.【详解】从含有两件正品和一件次品的3件产品中，按先后顺序任意取出两件产品，每次取出后不放回，共包含，，，，，6个基本事件，取出的两件产品都是正品包含，2个基本事件，∴取出的两件产品都是正品的概率为，故答案为：.14、【解析】按的取值范围分类讨论.【详解】当时，定义域，，满足要求；当时，定义域，取，，时，，不满足要求；当时，定义域，，，满足要求；当时，定义域，取，，时，，不满足要求；综上：故答案为：【点睛】关键点睛：由参数变化引起的分类讨论，可根据题设按参数在不同区间，对应函数的变化，找到参数的取值范围.15、【解析】根据两直线平行得出实数满足的等式与不等式，解出即可.【详解】由于直线与平行，则，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.16、【解析】作出函数的图象，设，求出的取值范围以及的值，由此可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象，设，如下图所示：二次函数的图象关于直线对称，则，由图可得，可得，解得，所以，.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查零点有关代数式的取值范围的求解，解题的关键在于利用利用图象结合对称性以及对数运算得出零点相关的等式与不等式，进而求解.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，求得函数在上的单调递增区间，与取交集可得出结果；（Ⅱ）由可得出，利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用两角和的正弦公式可求得的值详解】（Ⅰ）令，，得，令，得；令，得.因此，函数在区间上的单调递增区间为，；（Ⅱ）由，得，，又，，因此，【点睛】本题考查正弦型函数的单调区间的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.18、（1），（2）【解析】（1）根据相邻对称中心之间间隔可求得最小正周期和，由此可得解析式；（2）令，解不等式即可得到所求单调递增区间.小问1详解】两相邻对称中心之间的距离为，的最小正周期，，解得：，；【小问2详解】令，解得：，的单调递增区间为.19、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）将代入函数的解析式，并求出函数的定义域，利用对数的运算法则可解出方程；（2）当时，，分、和三种情况讨论，去绝对值，分析函数在区间上的单调性，结合该函数在区间上的最大值为，可求出实数的取值范围；（3）利用对数的运算性质可得出，可知该函数在区间上为减函数，由题意得出对任意的恒成立，求出在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，定义域为.由，可得，可得，解得或（舍去），因此，关于的方程的解为；（2）当时，.当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为增函数，，合乎题意；当时，对任意的恒成立，则，此时，函数在区间上为减函数，，解得，不合乎题意；当时，令，得，此时，所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数.，，由于，所以，解得.此时，.综上所述，实数的取值范围是；（3），由于内层函数在区间为减函数，外层函数为增函数，所以，函数在区间上为减函数，所以，，由题意可得，可得，所以，.①当时，；②当时，令，设，可得.下面利用定义证明函数在区间上的单调性，任取、且，即，，，，，，即，所以，函数在区间上单调递减，当时，函数取得最大值.综上所述，函数在上的最大值为，.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查对数方程的求解、考查了利用带绝对值函数的最值求参数，同时也考查了函数不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中等题.20、（1）；（2）.【解析】（1）求出的值，利用诱导公式结合弦化切可求得结果；（2）在代数式上除以，再结合弦化切可求得结果.【小问1详解】解：因为，则，原式【小问2详解】解：原式.21、（1），；（2）当仓库建在离车站5千米时，总费用最少，最小值为70万元.【解析】（1）先设，依题意求参数，即得的解析式；（2）先整理函数，再利用基本不等式求最值，即得函数最小值及取最小值的条件.【详解】解：（1）根据题意，设修路费用，，解得，.，；（2）=，当且仅当即时取等号.当仓库建在离车站5千米时，