2023年高考数学第36讲 对数学归纳法的深入理解

第36讲对数学归纳法的深入理解—递归思想的运用

一、知识聚焦

通过把一般性问题逐步归结为同类的已知的特殊问题，或从已知初始条件出发利用“递

推关系”而推得一般结论的思想方法，我们称之为递归思想方法，这里的“递归”是一种具

有确定方向和一定程序的变换，因而递归思想属于对应思想.

数学归纳法是一种证明与自然数〃(〃eN*)有关的数学命题的重要方法：其核心是递

推，而递推思想是递归思想的主要组成部分，因此，对数学归纳法的理解应该从运用递归思

想来深入思考.

数学归纳法证题由归纳奠基、归纳递推(推理)、归纳断言3个部分组成.教材上将这3个

部分划分为两步，归纳奠基为第一步，后两部分归结为第二步，这3个部分在证题中处于同

样重要的地位，缺少其中任何一部分都将导致错误.

当然，数学归纳法只能对所发现的结论正确与否加以论证，不能直接发现结论，因此,

将不完全归纳法与数学归纳法并举是一种探讨数学问题的好方法，从而就有了“归纳一猜想

一证明"题型，它是一个完整的思维过程，“归纳”是“猜想”的前提，它体现了由“特殊”

到“一般”的转化，为了增强“猜想”结论的可靠性，在“归纳”阶段，一般应多演算几种

特殊情形，然后通过对特殊情形的分析去研究其一般规律，最后结论的正确性必须用数学归

纳法证明.在解题的整个过程中，递归思想体现得相当充分.

二、精讲与训练

核心例题1已知函数/(x)与函数y=Ja(x-l)(a>0)的图像关于直线y=x对称.

(1)在数列｛4,,｝中，q=l,当”..2时，an>at.在数列他,｝中，

4=2,S.=4+3++b“.

若点用4,j在函数/(%)的图像上，求a的值；

7C

⑵在⑴的条件下，过点匕作倾斜角为I的直线，若/“在y轴上的截距为

也+D，

求数列｛%｝的通项公式.

解题策略本例是一道以数列为载体的能力题，结合函数与解析几何的一些知识，其

解题核心是“观察、猜测、抽象、概括、证明”，这是发现问题和解决问题的重要途径.实际

上，攻克数学中的难点一般都是在观察归纳、猜测证明的过程中得以突破的.

.______r2

解：⑴函数/。)是丁=麻二可(a>0)的反函数，.•../-(x)=—+1(X.O).

q、q42

(〃£N*)在函数/(力的图像上，.・.」=2+l.

(nJna

2

令〃=1,得S]=幺+1,〃]=1,S]=4=2,则a=l.

a

o2(

(2)由(1)得a=l,j=三+l可化为①

nan

直线的方程为：y-1=x-a”.

n

ISI、

在y轴上截距为+1),=£色,+1).

3n5

结合①式可得”=3d—3a“+2.②

由①式可知，当自然数.2时,S“=〃4+n,S„_,=(〃一+n-l.

两式作差得bn=〃片一(〃-1应3+1,结合②式得

(〃-3)。；+34=(〃-1)“3+1(九.2,〃eN)③

在③式中，令”=2,结合q=l,可解得4=1或2,

又当几.2时，a“>4，:.%=2.

同理，在③式中，依次令〃=3,〃=4,可解得%=3,%=4,由此猜想。“=".

然后用数学归纳法证朋如下.

(i)当“=1,2,3时，已证成立；

(ii)假设当〃=&时命题成立，即以=左(4eN*,且左..3),当“=k+1时，由

,女2一人+]

③式可得(％-2)片+|+3%]=3；+1,把4=%代入，解%i=------—

k-2

或%+i=k+1-

,c,k2-k+l%(左一1)+1八k2-k+l-»

由于左..3,则一———=:<°，；♦4+i=――=一不符合题意，

k-22-kk-2

应舍去，

故只有q+i=A+l,即当〃=%+1时命题也成立.

综上可知,数列｛an｝的通项公式为an=n.

变式训练在数列｛4｝中，4=1,当〃..2时，a”,S”,S,—g成等比数列.

(1)求。2，。3，。4，并推出4的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论.

V-13

核心例题2设J(x)=一斤令巧=耳,见=z，a“+2=/(4)+/,(%+1)(〃=1，2,),

证明：对任意正整数〃，有了(3X2"T)融2“/(3x22T).

解题策略本例给出的是二阶递推式，要证明的是双向不等式，难度较高，首先应当

从递推式出发，构造数列｛&｝关于相邻两项大小的不等式，这是后续证明中放缩的基础；

其次，当直接证不等式比较困难时，转化为更强的不等式加以证明反而变得简单，这也是运

用致学归纳法证不等式的常用方法.

证明：先观察数列｛%｝的单调性，用数学归纳法证明命题“对任意正整数〃,有/.

]3316

⑴当〃=1时，q=/<;=%,命题成立.当〃=2时，a2=^<-=a3,命题成立.

(ii)假设当”=女(女一2,攵eN)时命题成立，即a1<%,%<4+1,则当〃=k+1时,

Y1

由/(X)=—7=1——7在[0,+°。)上单调递增，

X+lX+1

“4)，/(%)<，

%+1=f(%T)+/3)<《+2=/(%)+/(%+J，

.•.当”=A+1时，结论成立.

由(i)和(ii)可得a“<a,w

下面用数学归纳法证明命II：“对任何正整数〃，有。2“-/(3乂2~)”

(i)当“=1时，«2=|=/(3)=/(3X2°),命II成立；

(ii)假设当〃=%/..2)时命题成立，即如../(3x2i),贝IJ〃=Z+1时，注意到

2*79v

2/(/(%))=—曰1==/(2x),

上+]2x+l

x+l

A(

就有%,=4八2>2/(«2,)..2/(/(3X2-))=/(3x2«)=/(3x2-'),

所以〃=左+1时命题成立.

由(i)和(ii)可知，对任何正整数〃，有a2,「J(3x2"T).

对于另一边的不等式，用数学归纳法证明更一般的命题：“对任何正整数〃，有

%J(3X2"-2”

(i)当〃=1时，«I=1=/(1)</(3X2-'),命题成立；

当〃=2时，«2=|=/(3)=/(3X2°),命题成立.

(ii)假设n=攵(％..2且%eN)时命题成立，即取J(3x2k-2).

则当〃=左+1时，有

%=矶=/(/)+fM<2/3),2/(/(3xA?))=/(3x2")=/(3x)

即〃二女+1时命题也成立.

由(i)和(ii)可知，对任何正整数〃，4,J(3X2"-2).

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这个结论比要证明的结论a2n„/(3x2"-)更好.

・••对任意正整数〃，有/(3X2"T)融2“/(3X22T).

变式训练已知递增等差数列｛4｝满足q=1,且成等比数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(।V।>(1>

(2)若不等式1-；；；-1---1--一，、I对任意恒成立，

I2«Jl2«JI2a„)J2.+1

试猜想出实数机的最小值，并证明.

核心例题2如图36-1所示，片（不必），6（私必），，，修（当，片），是曲线

C：y2=gx（y..o）上的点，4（4,0），&（。2，°），，4（见，°），是X轴正半

轴上的点，

且，A!T4月，均为等腰直角三角形（4为坐标原点）•

⑴求数列｛4｝的通项公式；

（2）设=---H-------------1----------+---------,集合B=｛4也也，,bn,｝,

4+1%+24+3%

A=｛x|x=log8/（r＞（））｝,若AB=0,求实数f的取值范围.

解题策略本例是点列问题，是数列学习中的一个难点，条件中含有以及

4-,。“等诸多因素.第⑴问求数列｛q,｝的通项公式，因此，需要找到x„,y„和4-，氏之间

的等量关系，从而将它们统一到数列｛《,｝上，尽管如此，由于条件与解题目标之间关系比

较复杂，所以从特殊开始，即通过归纳一猜想一证明，找到一种解决问题的有效方法.第⑵

问，把（1）探求得到的结果代入并运用裂项相消所得结果探究其单调性，求出切的取值范围，

再由AB=0,求/的取值范围.

解：（1）依题意，有升=3；%,y„=-.

由胃=；毛，得；""Tj,即（a“一a,i）2=a,i+a”.

由&=0可得q=1，4=3,q=6,猜汛!la“=

2

证明：(i)当〃=1时，可求得4=1=，，命题成立；

(ii)假设当〃=k+1时，命题成立，即有4=:•

则当〃=%+1时，由归纳假设得

—™l0

/\2f左(Z+1)~%(2+1)

(%+】一%)=%+。八］,及aM-="*"%+］

即(3卡+叫4M

(女+1)(k+2)k{k—1)

解得%+i=-----------(4+1=—鼠，<4，不合题意，舍去).

即当〃=攵+1,命题成立.

由(i)和(ii)可知，对所有〃eN*,a“="(D.

(2)

1111222

----1-----1-----F4---=------------1F-I

a

an+]a„+24+32n5+1)(〃+2)(〃+2)(〃+3)-----2〃(2〃+l)