第二十五章 锐角的三角比（单元重点综合测试）（解析版）

第二十五章锐角的三角比单元重点综合测试注意事项：本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（6小题，每小题2分，共12分）1．（2023·上海·九年级假期作业）在中，各边的长度都缩小4倍，那么锐角A的余切值（

）A．扩大4倍 B．保持不变 C．缩小2倍 D．缩小4倍【答案】B【分析】根据题意可知大小不变，即得出锐角A的余切值保持不变．【详解】解：∵在中，各边的长度都缩小4倍，∴各角的大小不变，即大小不变．∵一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关，∴锐角A的余切值保持不变．故选B．【点睛】本题考查锐角三角函数．理解一个角的锐角三角函数值只与角的大小有关是解题关键．2．（2023·上海·九年级假期作业）在中，，已知，，那么的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用锐角三角函数求出结果即可．【详解】解：如图，

在中，，，，，故选C．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角的对边与斜边的比叫做该锐角的正弦是解题的关键．3．（2023·上海·九年级假期作业）在中，，、、所对的边分别是a、b、c．则下列各式中，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边求解即可．【详解】解：如图，∴故选C．【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，已知在中，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，进行逐一判断即可．【详解】A.，，，，，，由图得：与不一定相等，不一定等于，故此项错误；B.在中，，故此项正确；C.在中，，故此项正确；D.在中，，故此项正确．故选：A．【点睛】本题考查了锐角三角函数中正弦函数的定义，理解锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，DE垂直平分AB，分别交AB，BC于点D，E，连接CD，若，，则的面积为（

）．

A．5 B．8 C．10 D．16【答案】D【分析】过作于，连接，由于DE垂直平分AB，故,,,因为为中点，所以，有,，可得，所以，即,，则，则，即可得到，在中，同时可得的值，故即可求出．【详解】解：过作于，连接，如图所示:

∵DE垂直平分AB，∴,,,∵为直角三角形，为中点，∴∵,，∴，∴，∵，∴，即,在中，，则，，∵，∴，在中，，故．故选：D．【点睛】本题考查了垂直平分线，相似三角形，三角函数，熟练掌握垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的应用是解此题的关键．6．（2023·上海·九年级假期作业）圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可．【详解】解：在中，，，，∴，在中，，，，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．二、填空题（12小题，每小题2分，共24分）7．（2023·上海杨浦·统考一模）计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值直接写出即可．【详解】解：根据特殊角的三角函数值知：，故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题时牢记特殊角的三角函数值是关键．8．（2023·上海·九年级假期作业）已知是锐角，且，那么．【答案】/45度【分析】直接根据特殊角的三角函数值解答即可．【详解】∵，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．9．（2023·上海·一模）小芳在楼下点D处看到楼上点E处的小红的仰角是34度，那么点E处的小红看点D处的小芳的俯角等于度．【答案】34【分析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点E处的小明看点D处的小杰的俯角的度数，本题得以解决．【详解】解：由题意可得，，∵，∴∴，即点E处的小明看点D处的小杰的俯角等于34度，故答案为：34．【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．10．（2023·上海金山·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，tan∠DCB＝，AC＝12，则BC=．【答案】9【分析】根据直角三角形的性质、同角的余角相等得到∠BCD=∠A，根据正切的定义计算即可【详解】解：∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠B=90°，∴∠BCD=∠A，在Rt△ACB中，∵tanA=tan∠BCD==，∴BC=AC=×12=9．故答案为：9．【点睛】本题考查了解直角三角形：掌握正切的定义是解题的关键．11．（2023·上海·九年级假期作业）已知α为锐角，且，则°．【答案】20【分析】根据求解即可．【详解】解：∵α为锐角，且，∴，则，故答案为：20．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．12．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，已知将沿角平分线所在直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的余弦值为.

【答案】【分析】设与交点为，过作交于，证出为的中位线，由三角形中位线定理得出，由翻折变换的性质得出：，，同理由三角形中位线定理得出，设，则，，得出，，利用勾股定理求出，根据余弦的定义即可得出结果．【详解】解：设与交点为，过作交于，如图所示：

为的中点，为的中点，为的中位线，，由翻折变换的性质得：，，同理：是的中位线，，设，则，，，，，∴，．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出，是解决问题的关键．13．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）某滑雪运动员沿着坡比的斜坡向下滑行了200米，则运动员下降的垂直高度为米．【答案】100【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设垂直高度下降了米，则水平前进了米．根据勾股定理可得：．解得，即它距离地面的垂直高度下降了100米．故答案为：100．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，难度不大，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）垂直高度水平宽度，综合利用了勾股定理．14．（2023·上海普陀·统考二模）如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡米．

【答案】【分析】根据斜坡的坡度与的值先求出，再根据斜坡的坡度，求得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴,∵，∴，∵，∴，在中，,故答案为：．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．15．（2023·上海·九年级假期作业）如图，和都是等边三角形，点D是的重心，那么．【答案】【分析】如图，延长交于F，由题意得，，则，由，可得，计算求解即可．【详解】解：如图，延长交于F，∵点D是的重心，∴，∵是等边三角形，∴，∴，∵和都是等边三角形，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了重心，等边三角形的性质，正弦函数，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．16．（2023·上海·九年级假期作业）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，点B落在点E处，与边相交于点F．如果，那么的正弦值等于．【答案】/0.6【分析】通过证明得到，，在中，根据勾股定理列出等量关系式，得出边之间的关系，即可求解．【详解】解：依题意画图如下：∵，∴设，∵由沿折叠得到，∴，，在和中，，∴，∴，，设，则，在中，根据勾股定理可得：，即，整理得：，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，求正弦函数值，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾股定理．17．（2023·上海·九年级假期作业）某班学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），则电池板离地面的高度的长为米．（结果精确到1米，参考数据：，，）【答案】【分析】延长交于点F，设米，先说明四边形，四边形，四边形均为矩形，得出米，，，根据，得出（米），（米）利用锐角三角函数得出，即求解即可．【详解】解：延长交于点F，如图，设米，∵，，，，∴，∴四边形，四边形，四边形均为矩形，∴米，，，∵，，∴（米），（米），在中，，即，解得（米），

∴，即电池板离地面的高度约为米，故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质，掌握解直角三角形的应用方法，仰角问题，矩形判定与性质，等腰直角三角形性质是解题关键．18．（2023·上海·一模）如图，已知在中，，，，点P是斜边上一点，过点P作交边于点M，过点P作的平行线，与过点M作的平行线交于点Q．如果直线，那么的长为．

【答案】【分析】如图，设．证明，根据，构建方程求解．【详解】解：如图，设．

∵，，∴四边形是平行四边形，，∴，在在中，，，，∴，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，经检验是分式方程的解，∴．故答案为：．【点睛】本题考查直解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．三、解答题（9小题，共64分）19．（2023·九年级单元测试）计算：．【答案】【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．20．（2023·上海·九年级假期作业）如图，在中，，，垂足为点Q．

(1)．(2)______，______．（用正切或余切表示）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据角的正切值可进行求解；（2）根据角的正切值可进行求解【详解】（1）解：由题意得：；故答案为；（2）解：由题意得：，；故答案为【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握“直角三角形中一个锐角A的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（）”是解题的关键．21．（2023·上海·九年级假期作业）已知，在中，，，求的值．【答案】【分析】由题意可设，则有，然后问题可求解．【详解】解：在中，，设，则，∴．【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键．22．（2023·上海·九年级假期作业）已知，在中，，，．求：(1)的长；(2)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先画图，再利用，求解，再利用勾股定理求解即可；（2）直接利用锐角的正切的定义求解即可．【详解】（1）解：如图，

在中，，，，∴，∴．由勾股定理，得；（2）．【点睛】本题考查锐角的正切值的基础运用，学生需要利用已知的三角比来求解相关线段．23．（2023·上海嘉定·模拟预测）某校数学实践小组利用所学数学知识测量某塔的高度．下面是两个方案及测量数据：项目测量某塔的高度方案方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长CD，影长ED，塔影长DB.方案二：利用锐角三角函数，测量：距离CD，仰角α，仰角β.测量示意图

测量项目第一次第二次平均值测量项目第一次第二次平均值测量数据CD1.61m1.59m1.6mβ26.4°26.6°26.5°ED1.18m1.22m1.2mα37.1°36.9°37°DB38.9m39.1m39mCD34.8m35.2m35m(1)根据“方案一”的测量数据，直接写出塔的高度为m；(2)根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：）【答案】(1)52(2)塔AB的高度约为52.5m【分析】（1）证即可求解；（2）分别在和中表示出，建立等量关系即可求解．【详解】（1）解：由题意得：，∴，∴，∴，∴，解得：，故答案为：52；（2）解：由题意得：，设m，∵m，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，解得：，∴，∴塔AB的高度约为m．【点睛】本题考查三角函数的实际应用．构造直角三角形是解题关键．24．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如图，矩形中，，点是边上的一个动点，联结，过点作，垂足为点.

(1)设，的余切值为，求关于的函数解析式；(2)若存在点，使得、与四边形的面积比是，试求矩形的面积；(3)对（2）中求出的矩形，联结，当的长为多少时，是等腰三角形？【答案】(1)(2)(3)或或1【分析】（1）根据已知条件矩形和，得出，，从而求出，再根据求出结果；（2）假设存在，由题意、与四边形的面积比是，可得，设，证，根据三角形的相似比，从而求解；（3）过点作，垂足为点，判断是等腰三角形，要分类讨论，①；②；③，根据三角形相似进行求解．【详解】（1）解：，，，，∵在矩形中，，∴，则，；（2）：四边形的面积比是，，，设，则，∵，，，且，，，解得，，∴；（3）①时，过点作，垂足为点，则，，延长交于点，

，，当时，是等腰三角形；②时，则，

，，，则，当时，是等腰三角形；③时，则点在的垂直平分线上，故为中点．

，，，∴，，，即，∴，解得，当时，是等腰三角形，综上：的长度为或或1．【点睛】此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似