四川省成都市简阳实验中学等2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题

2023~2024学年度上期高中2023级期中联考数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名､座位号､准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”.2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上､试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】应用集合的交运算求即可.【详解】由题设.故选：A2.设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由全称命题的否定：任意改存在并否定原结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题，则原命题的否定为.故选：B3.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.既不充分也不必要条件C.充要条件 D.必要不充分条件【答案】D【解析】【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】由可得或，不一定是；当时，必有成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：D4.函数的值域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质求值域即可.【详解】由，故，又，，所以函数在的值域为.故选：C5.如图，为全集，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合.【详解】由韦恩图知：阴影部分表示对应元素不属于，但属于，所以阴影部分所表示的集合是.故选：A6.命题，若为真命题，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由全称命题为真，结合一元二次不等式恒成立有，即可求范围.【详解】由为真命题，根据一元二次不等式恒成立知：.故选：D7.已知函数为奇函数，函数为偶函数，，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】B【解析】【分析】根据，的奇偶性得到，然后求函数值即可.【详解】由①得，因为为奇函数，为偶函数，所以，，所以②，①-②得：，所以，则故选：B.8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔（L.E.J.Brouwer）.简单地讲就是：对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点.已知函数在区间上恰有两个不同的不动点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据不动点的定义列出方程，然后根据二次函数零点的分布列不等式求解即可.【详解】函数在区间上恰有两个不同的不动点，即在区间上恰有两个解，即在区间上恰有两个零点，所以或者，解得：或，故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由不等式性质判断A；特殊值法判断B，作差法判断C、D.【详解】由，则，A错；当时，B错；，即，C对；，即，D对.故选：CD10.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数的定义域为B.函数的值域为C.函数的图象关于轴对称D.函数在区间上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据解析式确定函数定义域和值域，利用定义判断函数的区间单调性和奇偶性即可得答案.【详解】由解析式知：定义域为，且，，所以，又，即为偶函数，令，则，所以，即在区间上单调递减，综上，A、C对，B、D错.故选：AC11.已知，则下列说法正确的是（）A.的最小值为16 B.的最小值为4C.的最小值为12 D.的最小值为17【答案】AD【解析】【分析】对已知式子中的使用基本不等式，再利用换元法，从而转化为一元二次不等式，求解即可得到的最小值，从而判断AB项；直接对已知的式子变形得，然后通过配凑，使用基本不等式即可求出的最小值，从而判断CD项.【详解】由得（当且仅当时取等号），令，则且，所以，解得，所以，故A正确，B错误；因为，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为17，故C错误，D正确；故选：AD.12.已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：①，②当时，，则下列结论正确的是（）A.B.函数是偶函数C.函数在上是增函数D.不等式解集为【答案】AC【解析】【分析】特殊值法、求得判断A；令即判断B；在上，若得到判断C；若，，进而得到，结合奇函数性质确定在各区间上的符号，最后求解集判断D.【详解】令，则；令，则，A对；令，则，即是奇函数，B错；在上，若，则当时，所以，故，所以在上递增，C对；若，，则，根据性质②知，所以时，结合奇函数性质知：时，同理，由时，则时，由或，则解集为，D错.故选：AC【点睛】关键点点睛：对于D，利用性质②并设，判断符号，结合奇函数对称性确定其它区间的符号为关键.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为__________.【答案】【解析】【分析】根据根式、分式的性质求函数定义域即可.【详解】由解析式知：且，所以函数定义域为.故答案为：14.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质，结合已知单调区间求参数范围即可.【详解】由解析式知：的开口向上且对称轴为，又函数在区间上单调递增，故.故答案为：15.已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________.【答案】【解析】【分析】根据幂函数的定义与幂函数在的单调性，列式求解.【详解】由幂函数的定义与性质可得，，所以得.故答案为：.16.已知满足对，都有，则实数的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】分段函数单调性需要满足每一段都单调且在拐点处也满足单调.【详解】因为对，都有，所以在定义域上单调递增，当时，若则单调递增，若，则需满足，解得；当时需满足解得；同时需要满足时，解得，所以，故答案为：四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知集合.（1）当时，求；（2）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求集合B，再由交运算求.（2）根据包含关系，讨论、求参数范围即可.【小问1详解】由题设，所以.【小问2详解】由，当，则；当，则；综上，18.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.（1）求函数在上解析式，并在坐标系内作出函数的图象；（2）若，求的取值范围.【答案】（1），图象见解析（2）【解析】【分析】（1）设，则，根据题意得到，再由函数是上的奇函数，进而求得函数的解析式，并画出函数的图象；（2）由（1）得到在上为单调递增函数，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解.【小问1详解】由题意知，当时，，设，则，可得因为函数是上的奇函数，所以，所以函数的解析式为，函数的图象，如图所示，【小问2详解】由（1）中，函数的图象，可得函数在定义域上为单调递增函数，又由函数为定义域上的奇函数，则不等式，可得，解得，即实数的取值范围为.19.已知函数.（1）若，求的最小值及此时的值；（2）若，根据函数单调性的定义证明为增函数.【答案】（1）时的最小值为5.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设，且，利用基本不等式求其最小值并确定取值条件；（2）根据单调性定义，令，应用作差法比较大小，即可证.【小问1详解】由题设，且，所以，当且仅当时等号成立，故时的最小值为5.【小问2详解】由题设，令，则，所以，而，所以，故为增函数，得证.20.某公司生产某种产品的固定成本为200万元，年产量为万件，可变成本与年产量的关系满足（单位：万元），每件产品的售价为100元，当地政府对该产品征收税率为的税收（即销售100元要征收25元）.通过市场分析，该公司生产的产品能全部售完.（1）求年利润（纳税后）的解析表达式及最大值（年利润总收入-固定成本-可变成本-税收）；（2）若该公司目前年产量为35万件，政府为鼓励该公司改造升级，决定对该产品降低税率，该公司通过改造升级，年产量有所增加，为保证在年产量增加的同时，该公司的年利润也能不断增加，则政府对该产品的税率应控制在什么范围内（税率大于0）？【答案】（1）且，最大年利润为万元.（2）.【解析】【分析】（1）根据题设有，并确定定义域，应用二次函数性质求最大值；（2）设税率为且，则，根据题意得到，即可求税率的范围.【小问1详解】由题设，由题设，当时最大年利润为万元，所以且，最大年利润为万元.【小问2详解】设税率为且，且改造升级后利润，所以，且，所以，即，综上，.21.已知函数.（1）若的解集为，求的值；（2）当时，解不等式.【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题设是方程两根，结合根与系数关系求参数，注意验证；（2）由题设可得，讨论、、求对应解集即可.【小问1详解】由题设的解集为，则是方程的两根，所以，经验证满足题设，所以.【小问2详解】由题设且，所以，当，即时，解集为；当，即时，解集为；当，即时，解集为.22.已知.（1）求的单调区间；（2）函数的图像关于点对称，且，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为和（2）【解析】【分析】（1）去绝对值，确定的解析式，然后分段求