专题3.1 从算式到方程【十大题型】（举一反三）（人教版）（解析版）2023-2024学年七年级数学上册举一反三系列（人教版）

专题3.1从算式到方程【十大题型】【题型1方程的概念辨析】 【题型2列方程】 3【题型3一元一次方程的概念辨析】 【题型4根据方程的解求值】 6【题型5利用等式的性质判断变形正误】 【题型6利用等式的性质解方程】 【题型7利用等式的性质比较大小】 【题型9利用等式的性质检验方程的解】 【知识点1【知识点1方程的定义】方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数.【题型1【题型1方程的概念辨析】【例1】(2023春·湖南衡阳·七年级衡阳市实验中学校考期末)下列各式中：①2x-1=5;②4+8=12;A.①④B.①②⑤C.①④⑤【答案】C【分析】根据方程的定义即可一一判定.故方程有：①④⑤,是我们所学的()天元式天元式三A.2x+3y=1B.3π+4≠5C.-x+y=4【分析】根据方程的定义(含有未知数的等式叫方程),即可解答.【详解】3π+4≠5中不含未知数，所以错误.故选B.【点睛】考查了方程的定义，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点①等式；②含有未知数.C.是方程，其解只有0D.是方程，其解有0和2【点睛】本题主要考查了方程的定义及方程解的定义，关键在于讨论x的取值情况，从而通过解方程的解.【题型2【题型2列方程】【例2】(2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)七年级学生人数为x,其中男生占52%,女生有150人，下列正确的是()A.1-52%x=150B.C.(1+52%)x=150D.(1-52【详解】解：由题意列方程得(1-52%)x=150.【点睛】本题考查了根据题意列方程，理解题意是解题关键.【变式2-1】(2023秋·山西阳泉·七年级统考期末)根据下面所给条件，能列出方程的是()A.B.x与1的差的C.甲数的2倍与乙数的D.a与b的和的60%【分析】根据题意列出方程或代数式，即可求解.,是方程，故符合题意；,不是方程，故不符合题意；D.a与b的和的60%,根据题意列式为：(a+b)×60%,不是方程，故不符合题意，【点睛】本题考查了方程的定义，解题的关键是理解方程的定义，含有未知数的等式是方程.第4页共22页【分析】根据已知对数量关系的描述列式即可.【详解】解：∵a的3倍即3a,a的4倍即4a,比a的3倍大5的数即3a+5,∴所列等式为3a+5=4a,【变式2-3】(2023春·河南南阳·七年级校联考期末)根据图中给出的信息C.π×8²x=π×6²×(x+5)D.π×8²x=π×6²【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等【知识点2【知识点2一元一次方程的定义】只含有一个未知数(元),且未知数的次数是1,这样的方程叫一元一次方程.通常形式是ax+b=0未知数，一次指未知数的次数为1,且未知数的系数不为0.我们将ax+b=0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0)叫一元一次方程的标准形式.这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1.【题型3【题型3一元一次方程的概念辨析】一元一次方程的个数为(),x²-2x-3=0中【分析】根据一元一次方程的定义对各选项进行逐一分析即可.【详解】2x-y=6中有两个未知数，不是一元一次方程；x²-2x-3=0中未知数的最高次数为2,不是一元一次方程；【点睛】本题考查的是一元一次方程，熟知只含有一个未知数(元),且未知数的次数是1,这样的方程叫【分析】一元一次方程中，含x的项叫做一次项，进而直接得出答案.【点晴】本题主要考查了一元一次方程的项，理解一元一次方程的一次项概念是解题关键.x-5y=1;x²-2x=1;ax+1=0(a≠0且a为常数),若方程个数记为m,一元一次方程个数记为n,【答案】3【分析】分别找出方程的个数和一元一次方程的个数即可求出m和n的值，从而可求出m-n的值.且a为常数)是方程，=0(a≠0且a为常数)是一元一次方程，故答案为3.【点睛】本题考查了方程和一元一次方程的定义.含有未知数的等式叫做方程；方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1,像这样的方程叫做一元一次方程，根据定义判断即可.【变式3-3】(2023秋·河北邢台·七年级统考期末)若方程口-x=1是一元一次方程，则口不可以是()【答案】C【详解】解：A、0-x=1是一元一次方程，故不合题意；不是元一次方程，故符合题意；是一元一次方程，故不合题意；不是元一次方程，故符合题意；是一元一次方程，故不合题意；【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1,一次项系数不是0,这是这类题目考查的重点.【知识点3【知识点3方程的解】解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解.【题型4【题型4根据方程的解求值】第7页共22页,,【点睛】本题考查方程的解与代数式求值，理解方程的解的定义是解题的关键.【变式4-1】(2023秋·福建厦门·七年级统考期末)若x=4是方程mx-3=5的解，则m=【答案】2【分析】将x=4代入方程mx-3=5即可得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到答案.【详解】解：∵x=4是方程mx-3=5的解，故答案为：2.【点睛】本题主要考查了方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，将x=4代入方程mx-3=5是解题的关键.【变式4-2】(2023秋·云南红河·七年级统考期末)小刚同学在做作业时，不小心将方程3(x-3)-■=x+1中的一个常数涂黑了，在询问老师后，老师告诉她方程的解是x=7,请问这个被涂黑的常数■是()A.6B.5【答案】C【分析】将x=7代入3(x-3)-■=x+1求解即可.解得：■=4,【点睛】本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解.【变式4-3】(2023秋·江苏南京·七年级校联考期末)若关于x的一元一次方程的解为x=3,则关于x的一元一次方程的解x=【答案】2故答案为：2.【点睛】本题考查方程的解.熟练掌握方程的解是使方程成立的未知数的值，是解题的关键.【知识点4【知识点4等式的性质】性质1:等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；性质2:等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.【题型5【题型5利用等式的性质判断变形正误】【例5】(2023春·河南南阳·七年级统考期末)下列利用等式的基本性质变形错误的是()A.如果x-5=12,则x=12+5B.如果-4x=8,则x=-2C.如9,则x=3D.如果4x【分析】根据等式的基本性质逐项判断即可.【详解】A.x-5=12,则x=12+5,选项正确，不符合题意.B.-4x=8,则x=-2,选项正确，不符合题意.C.则x=27,选项错误，符合题意.D.4x+1=9,则4x=8,选项正确，不符合题意.【点睛】此题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟悉等式的基本性质.【变式5-1】(2023秋·浙江温州·七年级统考期末)已知3a=2b,则下列选项中的等式成立的是()A.9a=4bB.C.3a-2=2b-2D.3(a+1)=2(b+1)【分析】根据等式的性质逐个判断即可.【点晴】本题考查了等式的性质，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键.等式的性质：(1)等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；(2)等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式.【变式5-2】(2023秋.安徽阜阳·七年级校考期末)若a=b≠0,则下列式子中正确的是(填序号)【分析】根据等式的性质逐项判断即可求解.【详解】解：根据等式性质1,a=b两边都减2,即可得到a-2=b-2,故①正确；,,,根据等式性质2,a=b两边都乘，5,即可得到5a=5b,再根据等式性质1,5a=5b两边都减1,可得5a-1=【点睛】本题考查了等式的性质，等式的性质1:等式的两边同时加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等；等式的性质2:等式的两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等.熟知等式的两条性【变式5-3】(2023春·上海黄浦·六年级统考期中)解方,,下列变形正确的是()【答案】A【分析】利用分数的基本性质把方程左边的分子，分母中的小数化为整数，从而可得答案.第10页共22页故选A.【点睛】本题考查的是分数的基本性质与等式的基本性质，掌握以上性质是解题的关键.【题型6【题型6利用等式的性质解方程】【例6】(2023秋·湖北武汉·七年级统考期中)用等式的性质解下列方程：解；方程两边同时加上,得：【答案】(1)2;4x=4;除以4;x=1【分析】(1)根据等式的性质方程两边同时加上2,然后方程两边同时除以4,即可求解；(2)根据等式的性质方程两边同时减去2,然后方程两边同时乘以2,即可求解.【详解】(1)解：4x-2=2;方程两边同时加上2,得：4x=4;方程两边同时除以4,得：x=1;故答案为：2;4x=4;除以4;x=1;x=8.【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键.等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等；等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子),结果仍相等.【答案】(1)x=0;(2)x=-39【分析】(1)根据等式性质1,方程两边同时加上一x+5即可求得x;(2)根据等式性质1,方程两边分别加上5,再利用等式性质2即可求得x.【详解】(1)方程两边都加上一x+5,得：2x-5-x+5=x-5-x+5(2)方程两边都加上5,得：解：根据等式性质1,两边同时根据两边同时乘以-3,可得x=.【答案】减去3;-3;1;等式的性质2;-3根据等式性质1,两边同时减去3,根据等式的性质2,两边同时乘以-3,可得x=-3,故答案为：减去3;-3;1;等式的性质2;-3.【点睛】本题考查等式的性质，熟知等式的基本性质是解答此题的关键.【变式6-3】(2023秋·湖北咸宁·七年级校考期中)利用等式的性质解方程【分析】(1)去括号，然后用等式的性质求解即可；(2)利用等式的性质去分母，然后进一步求解即可；【详解】(1)解：4x-4=3(x+1)等式两边同时加上(-3x+4),(2)解：等式两边同时乘3得：等式两边同时除以5,得：y=4.【点睛】本题考查了用等式的性质解方程；熟练掌握等式的基本性质是解题的关键.【题型7【题型7利用等式的性质比较大小】【例7】(2023秋·云南昆明·七年级统考期末)已知2m-1=2n,利用等式的性质比较m,n的大小是()A.m>nB.m<nC.m=nD.无法确定【答案】A第13页共22页【详解】等式两边同时除以2得：即可得到答案.【点睛】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键.等式的基本性质1是等式的两边都加上(或减去)同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得的结果仍是等式.的大小.【分析】利用等式的性质将一个字母用另一个字母表示出来，再判断.【详解】解：等式两边同时加3b+1,得5a=8b-3a+1.等式两边同时加3a,得8a=8b+1.【点睛】本题主要考查了等式的基本性质.等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立.【变式7-2】(2023秋·江苏泰州·第14页共22页此进行判断.【详解】解：等式的两边同时减去(m+5n-5),可得3m-3n=5,等式的两边再同时除以3可得，故答案为>.【点睛】本题考查了等式的性质.【变式7-3】(2023·甘肃武威·七年级统考期中)已知试用等式的性质比较m与n的大小.【详解】试题分析：根据等式的性质进行变形，最后得到m与n的差，根据差的正负即可进行判断.试题解析：等式两边同时乘以4得：3m-4=3n,整理得：3(m-n)=4,【点睛】此题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键.【题型8等式的性质在天平中的运用】【题型8等式的性质在天平中的运用】大小，两次情况如图.那么,每个“o”“口”“△”按质量大小的顺序排列为()A.O△□B.O□△C.□O△D.△□O【答案】B【分析】根据图一可知O与□质量大小关系，根据图二可知□与△的质量大小关系，即可求解.【详解】由图1可知OO>□O∴1个O的质量大于1个□的质量，由图2可知△△△=□△∴1个□的质量等于2个△的质量，∴1个□质量大于1个△质量.∴按质量大小的顺序排列O□△【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解答本题的关键.【变式8-1】(2023秋·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试)有15盒饼干，其中的14盒质量相同另有一盒少了几块，如果能用天平称，至少()次保证可以找出这盒饼干.【答案】3【分析】把15盒饼干进行分组，天平两端摆放相同的盒数，利用天平的原理进行求解.【详解】解：把15盒分成5、5、5三份，第一次在天平两端各放5盒，若平衡，少了几块的一盒在没称的5盒中，若不平衡，少了几块的一盒在较轻一端的5盒中；把5盒分成2、2、1三份，第二次在天平两端各放2盒，若平衡，少了几块的一盒是没称的那一盒，若不平衡，少了几块的一盒在较轻一端的2盒中；第三次在天平两端各放1盒，即可找到少了几块的一盒.综上可知，至少称3次可以保证找出这盒饼干.故答案为：3.【点睛】本题主要考查了学生根据天平的原理解答问题的能力，解题的关键是具备一定的逻辑思维能力，方法不唯一.【变式8-2】(2023秋·广东江门·七年级校考阶段练习)设■,●,▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么第三架天平右边不能放的是()A.▲▲▲▲B.▲▲▲▲▲C.·▲【答案】A【分析】设■,●,▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c,根据前面两幅图可以得到2a=b+c,a+b=c进而推出a=2b,c=3b,由此即可得到答案.【详解】解：设■,●,▲代表的三个物体的重量分别为a、b、c,由左边第一幅图可知a+c=2b①,由中间一幅图可知b+c=a②,第16页共22页故选A【点睛】本题主要考查了等式的性质，正确理解题意得到a=3c,b=2c是解题的关键.【提出问题】能否借助一架天平和一个10克的砝码测量出一个乒乓球和一个一次性纸杯的质量?【实验探究】准备若干相同的乒乓球和若干相同的一次性纸杯(每个乒乓球的质量相同，每个纸杯的质量也相同),设一个乒乓球的质量是x克，经过试验，将有关信息记录在下表中：天平状态乒乓球总质量一次性纸杯的总质量一5个乒乓球，1个10克的砝码15个一次性纸杯二1个一次性纸杯1个10克的砝码【解决问题】(1)将表格中两个空白部分用含x的代数式表示；(2)分别求出一个乒乓球的质量和一个一次性纸杯的质量.【及时迁移】(3)借助以上相关数据以及实验经验，你能设计一种方案，使实验中选取的乒乓球的个数是纸杯的个数的3倍吗?请补全下面横线上内容，完善方案，并说明方案设计的合理性.方案：将天平左边放置,天平右边放置,使得天平平衡.【答案】(1)5x+10;3x-10;(2)一个乒乓球的质量为4克，一个一次性纸杯的质量为2克；(3)3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，详见解析；【分析】解决问题：(1)用乒乓球的总质量加上砝码的总质量可得答案；(2)根据题意列出方程，求解可得答案；及时迁移：根据乒乓球、纸杯、砝码的质量设计即可，只是平衡即可.【详解】解：(1)根据题意可得：记录一中的一次性纸杯的总质量为：5x+10;(2)由题意得：5x+10=15(3x-10),及时迁移：将天平左边放置3个乒乓球，天平右边放置1个一次性纸杯和1个10克的砝码，使得天平平衡.故答案为：3个乒乓球，1个一次性纸杯和1个10克的砝码，理由：不唯一，算术方法或者方程方法说明都可以，言之有理即可.【点睛】此题考查的是等式的性质、列代数式，掌握等式两边加同一个数(或式子)结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式【题型9【题型9利用等式的性质检验方程的解】【例9】(2023秋·江苏盐城·七年级统考期末)整式mx-n的值随x取值的变化而变化，下表是当x取不同X9630再根据表格中的数据求解即可.【详解】解：关于x的方程-mx+n=9变形为mx-n=-9,B.当x=-2时，3(x+1)-3=【点晴】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解答本题的关键，能使一元一次方程左右两边(2)0.52x-(1-0.52)x=80,(x=100(2)将x=1000分别代入方程两边，再比较两边，若相等，则x=1000是该方程的解，否则不是.【详解】(1)解：当x=1时，左边=2x+5=7,右边=10x-3=7.∴x=1是该方程的解.(2)解：当x=1000时，左边=0.52x-(1-0.52)x=520-480=40,右边=80,【变式9-3】(2023春·上海·六年级专题练习4a的解.第19页共22页【答案】x=3不是方程2ax-5=3x