专题08 弧长、扇形的面积与圆锥的侧面积(解析版)（重点突围）

专题08弧长、扇形的面积与圆锥的侧面积考点一求弧长考点二求扇形的面积考点三求图形旋转后扫过的面积考点四求不规则图形的面积考点五求圆锥的侧面积、底面半径、展开图的圆心角考点六求圆锥侧面的最短路径问题典型例题典型例题考点一求弧长例题：（2022·河北唐山·九年级期末）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC=OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【详解】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC=OA，∴∠OAC=30°，∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAC=30°，∴∠AOB=120°，∴劣的长==2π，故选：C．【点睛】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．【变式训练】1．（2021·四川乐山·三模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（）A．π B．π C．π D．π【答案】B【分析】直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数，再利用圆周角定理得出∠BOC的度数，再利用弧长公式求出答案．【详解】解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，∴∠A＝50°，∴∠BOC＝2∠A＝100°，∵AB＝4，∴BO＝2，∴的长为：π．故选：B．【点睛】此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出∠BOC的度数是解题关键．2．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．【答案】##【分析】利用弧长公式，代入数值计算即可．【详解】解：由题意得的长＝＝(cm)，故答案为：【点睛】此题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．考点二求扇形的面积例题：（2022·甘肃兰州·中考真题）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角形成的扇面，若，，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC求解即可．【详解】解：S阴影=S扇形AOD-S扇形BOC====2.25π（m2）故选：D．【点睛】本题考查扇形面积，不规则图形面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．【变式训练】1．（2022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图，在ABCD中，∠D＝60°，对角线AC⊥BC，⊙O经过点A，B，与AC交于点M，连接AO并延长与⊙O交于点F，与CB的延长线交于点E，AB＝EB．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD＝2，求扇形OAM的面积（结果保留π）．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠ABC＝∠D＝60°，求得∠E=∠BAE=30°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质得到∠ABO＝∠OAB＝30°，然后说明∠OBC=90°即可证明结论；（2）根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝2，过O作OH⊥AM于H，则四边形OBCH是矩形，然后再说明△AOM是等边三角形，即∠AOM＝60°；最后根据扇形的面积公式求解即可．（1）证明：连接OB∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠D=60°∴∠ABE=120°∵AB=EB∴∠E=∠BAE=30°∵OA=OB∴∠ABO=∠OAB=30°∴∠OBC=30°+60°=90°∴OB⊥CE∵OB是半径

∴EC是⊙O的切线．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=2过O作OH⊥AM于H则四边形OBCH是矩形∴OH=BC=2，OH∥EC∴∠AOH=∠E=30°∴AH=2，AM=4，OA=4，∠OAH=60°∵OA=OM，∠OAH=60°∴△AOM是等边三角形∴∠AOM＝60°∴．【点睛】本题考查了切线的判定、直角三角形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定和性质、扇形面积计算等知识点，正确的作出辅助线是解答本题的关键．2．（2022·湖南益阳·中考真题）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．【答案】(1)见解析(2)30°(3)2π﹣2【分析】（1）由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB＝∠OCP，即得∠ACO＝∠BCP；（2）由∠ABC＝2∠BCP，可得∠ABC＝2∠A，从而∠A＝30°，∠ABC＝60°，可得∠P的度数是30°；（3）∠A＝30°，可得BC＝AB＝2，AC＝BC，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．（1）∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP，∴∠ACO＝∠BCP；（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，∴∠ABC＝2∠A，∵∠ABC+∠A＝90°，∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，答：∠P的度数是30°；（3）由（2）知∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，∴S△ABC＝BC•AC＝×2×2＝2，∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，答：阴影部分的面积是2π﹣2．【点睛】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线性质，直角三角形性质及应用等知识，题目难度不大．考点三求图形旋转后扫过的面积例题：（2022·广西河池·中考真题）如图，在Rt△ABC中，，，，将绕点B顺时针旋转90°得到．在此旋转过程中所扫过的面积为(

)A．25π+24 B．5π+24 C．25π D．5π【答案】A【分析】根据勾股定理定理求出AB，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式求解．【详解】解：∵，，，∴，∴所扫过的面积为．故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，扇形的面积的计算，勾股定理，熟练掌握扇形的面积公式是解答的关键．【变式训练】1．（2022·河北邯郸·九年级期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC=3，BC=2，则=__________；线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________．【答案】

##【分析】根据弧长公式可求得的长；根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，由旋转的性质就可以得出S△ABC=S△A′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．【详解】解：∵△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=120°．∴的长为:2π；∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC-S扇形BCB′-S△A′B′C，∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′，∴AB扫过的图形的面积=．故答案为：2π；．【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，弧长公式以及扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．2．（2022·山东·招远市教学研究室一模）如图，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B(﹣5，0)，C(5，0)，点D(11，0)，将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则线段CD转过区域的面积为________．【答案】【分析】先判断出OB＝OC＝5，根据勾股定理可得OA和AD的长，根据△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，可得∠DAE＝60°，AE＝AD；再利用扇形面积公式即可求出结果．【详解】解：∵B（−5，0），C（5，0），∴OB＝OC＝5，AB＝AC＝BC＝10，∴，∵D（11，0），∴OD＝11，∴AD2＝AO2＋OD2＝75＋121＝196，∵△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD＝，∴图中阴影部分面积＝S扇形DAE−S扇形BAC故答案为：16π【点睛】本题考查了扇形面积的计算，旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形变化−旋转，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．考点四求不规则图形的面积例题：（2022·海南省直辖县级单位·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，，，以B为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点M，交BC于点N，则阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接BM，过M作MH⊥BC于H，由∠ACB=30°得到∠BAC=60°，求得△ABM是等边三角形，得到∠ABM=60°，推出∠MBN=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接BM，过M作MH⊥BC于H，在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵AB=1，∠ACB=30°，∴∠BAC=60°，AC=2AB=2，BC=，∵BA=BM，∴△ABM是等边三角形，∴∠ABM=60°，∴∠MBN=30°，∴MH=BM=，∴S阴=S△BCM-S扇形BMN==，故选：A．【点睛】本题考查扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，明确S阴=S△BCM-S扇形BMN是解题的关键．【变式训练】1．（2022·河南安阳·九年级期末）如图，AB是半圆O的直径，且AB=10，点P为半圆上一点．将此半圆沿AP所在的直线折叠，若恰好弧AP过圆心O，则图中阴影部分的面积是______．（结果保留π）【答案】【分析】过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，则可判断点O是弧AOP的中点，由折叠的性质可得OD=DE=R=，在Rt△OBD中求出∠OAD=30°，继而得出∠AOC，求出扇形AOC的面积即可得出阴影部分的面积．【详解】解：过点O作OD⊥BC于点D，交弧AP于点E，连接OP，则点E是弧AEP的中点，由折叠的性质可得点O为弧AOP的中点，∴S弓形AO=S弓形PO，在Rt△AOD中，OA=OB=R=5，OD=DE=R=，∴∠OAD=30°，∴∠BOP=60°，∴S阴影=S扇形BOP==π．故答案为：π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是作出辅助线，判断点O是弧AOP的中点，将阴影部分的面积转化为扇形的面积．2．（2022·河南信阳·九年级期末）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，点的对应点落在边上，交于点，则图中阴影部分的面积为______．【答案】【分析】根据旋转的性质，可得，，再由勾股定理可得，再证得为等边三角形，可得，，进而得到，，再根据阴影部分的面积等于，即可求解．【详解】解：根据题意得：，，在中，，，，∴AB=2BC=4，，∴，，∴为等边三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，∴阴影部分的面积等于．故答案为：【点睛】本题主要考查了求扇形面积，勾股定理，等边三角形的判定和性质等知识，根据题意得到阴影部分的面积等于是解题的关键．考点五求圆锥的侧面积、底面半径、展开图的圆心角例题：（2022·山东济宁·中考真题）已知圆锥的母线长8cm，底面圆的直径6cm，则这个圆锥的侧面积是（

）A．96πcm2 B．48πcm2 C．33πcm2 D．24πcm2【答案】D【分析】根据圆锥的侧面积=×底面周长×母线长计算即可求解．【详解】解：底面直径为6cm，则底面周长=6π，侧面面积=×6π×8=24πcm2．故选D．【点睛】本题考查圆锥的计算，解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积=×底面周长×母线长．【变式训练】1．（2021·广东·广州市黄埔区华实初级中学二模）如图，圆锥的母线长l为10cm，侧面积为50πcm2，则圆锥的底面圆半径r＝___cm．【答案】5【分析】根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．【详解】解：∵圆锥的母线长是10cm，侧面积是50πcm2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l10π（cm），∵圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r5（cm），故答案为：5．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．2．（2022·黑龙江牡丹江·九年级期末）一个圆锥的底面周长是6cm，母线长是6cm，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是_______．【答案】【分析】先用圆锥的底面周长得到圆锥的侧面扇形的弧长，然后再利用弧长公式求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长是6cm，∴圆锥的侧面扇形的弧长为6πcm，，解得：．故答案为．【点睛】本题主要考查弧长的计算，掌握弧长公式成为解答本题的关键．考点六求圆锥侧面的最短路径问题例题：（2022·河南三门峡·九年级期末）如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（

）A．3 B． C． D．4【答案】B【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离．【详解】解：圆锥的底面周长是，则，，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中，，度．在圆锥侧面展开图中．故小猫经过的最短距离是．故选：．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，已知圆锥的母线AB长为40cm，底面半径OB长为10cm，若将绳子一端固定在点B，绕圆锥侧面一周，另一端与点B重合，则这根绳子的最短长度是______________．【答案】cm【分析】根据底面圆的周长等于扇形的弧长求解扇形的圆心角再利用勾股定理求解即可.【详解】解：圆锥的侧面展开图如图所示：设圆锥侧面展开图的圆心角为n°，圆锥底面圆周长为则n=90，∵即这根绳子的最短长度是cm，故答案为：．【点睛】本题考查的是圆锥的侧面展开图，弧长的计算，掌握“圆锥的底面圆的周长等于展开图的弧长求解圆心角”是解本题的关键.2．（2021·江苏省盐城中学新洋分校九年级阶段练习）如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是1，母线长是4．（1）求这个圆锥的侧面展开图中∠ABC的度数．（2）如果A是底面圆周上一点，一只蚂蚁从点A出发，绕圆锥侧面一圈再回到A点，求这只蚂蚁爬过的最短距离．【答案】（1）90°；（2）4【分析】（1）利用侧面展开图是以4为半径，2π为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角，进而即可求解；（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得蚂蚁爬行的最短距离为AC的距离，进而即可求解．【详解】解：（1）设∠ABC的度数为n，底面圆的周长等于2π×1＝，解得n＝90°；（2）连接AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD＝45°．∴是等腰直角三角形，∵AB＝4，∴AD＝BD＝4÷=2，∴AC＝2AD＝4，即这只蚂蚁爬过的最短距离4．【点睛】此题考查了圆锥的侧面展开图弧长的计算；得到圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等是解决本题的关键．一、选择题1．（2022·江苏·九年级专题练习）半径为6的圆中，一个扇形的圆心角为60°，则该扇形的面积为（

）A．6π B．3π C．2π D．π【答案】A【分析】根据扇形的面积公式（n为圆心角）进行计算即可．【详解】解：S．故选：A．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法是解决本题的关键．2．（2021·山东·威海市实验中学九年级期末）如图，边长为2的菱形ABCD绕点A旋转，当B、C两点恰好落在扇形AEF的EF上时，弧BC的长度等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接AC，根据题意可得△ABC为等边三角形，从而可得到∠A的度数，再根据弧长公式求得弧BC的长度．【详解】解：连接AC，∵菱形ABCD中，AB=BC，又AC=AB，∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．∴∠BAC=60°，又∵AB=2，∴故选B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质菱形的性质，等边三角形的性质与判定以及弧长公式的理解及运用．3．（2022·山东德州·九年级期末）如图，从一张腰长为90cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面圆的半径为（）cm．A．15 B．30 C．45 D．30π【答案】A【分析】作出等腰三角形底边上的高线OE，首先根据直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半求出等腰三角形底边上的高线OE的长度，即得到扇形OCD所在的圆的半径R，然后根据弧长公式求出的长度，的长度即为圆锥底面圆的周长，最后根据周长求出半径即可．【详解】如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E，∵△OAB为顶角为120°的等腰三角形，∴=30°，cm，∴cm，设圆锥的底面圆半径为rcm，根据题意得，，解得，所以该圆锥的底面圆的半径为15cm，故选A．【点睛】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半、扇形的弧长公式、圆的周长公式，准确将扇形的弧长转化为底面圆的周长是解决本题的关键．4．（2022·四川内江·中考真题）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（）A．4， B．3，π C．2， D．3，2π【答案】D【分析】连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可．【详解】解：连接、，六边形为正六边形，，，为等边三角形，，，，的长为．故选：D．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键．5．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，边长为的正方形内接于，，分别与相切于点和点，的延长线与的延长线交于点，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质以及切线的性质，求得的长，勾股定理求得的长，进而根据即可求解．【详解】如图，连接,，边长为的正方形内接于，即，，，为的直径，，，分别与相切于点和点，，四边形是正方形，，是等腰直角三角形，，，四边形是矩形，，四边形是正方形，，，．故选C．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．二、填空题6．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校三模）如果圆锥底面圆的半径为3cm，它的侧面积为12cm2，则这个圆锥的母线长为_____cm．【答案】4【分析】设圆锥的母线长为lcm，根据圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到，然后解方程即可．【详解】解：由扇形面积公式和弧长公式可得，设圆锥的母线长为lcm，根据题意知侧面展开扇形的弧长为，从而得到，解得l＝4，即圆锥的母线长为4cm，故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．7．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）如图，的半径为2cm，正六边形内接于，则图中阴影部分面积为______．【答案】【分析】如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，证明△OBC的面积=△ABC的面积，可得图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积，再利用扇形的面积公式进行计算即可．【详解】解：如图，连接BO，CO，OA．由题意得，△OBC，△AOB都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴，∴△OBC的面积=△ABC的面积，∴图中阴影部分的面积等于扇形OBC的面积=．故答案为：【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．8．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在矩形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转，使得点落在边上的点处，线段扫过的面积为___________．【答案】##【分析】由旋转的性质可得由锐角三角函数可求从而得出由扇形面积公式即可求解．【详解】解：∵矩形中，由旋转可知，∵，∴∴线段AB扫过的面积故答案为：【点睛】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，扇形面积公式，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解此题的关键．9．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．【答案】【分析】由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BHAC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=AC，BH=2．在RtABH中，由勾股定理求得AH=，得到．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可．【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴AB=BC=4，，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴，如图，过B作BHAC于H，∴AH=CH=AC，，在RtABH中，，∴，同理可求∠EAF=30°，∴，∴，∴，∵，∴，∴r=，故答案为：．【点睛】本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．10．（2022·山东青岛·中考真题）如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】【分析】先证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得到答案．【详解】解：如图，连接OB，是的切线，设故答案为：【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键．三、解答题11．（2022·辽宁大连·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是AB延长线上一点，∠BCD＝∠A，CA＝CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若BD=2，求图中阴影部分面积.【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据切线的判断方法，利用等腰三角形的性质以及圆周角定理求出∠OCD＝90°即可；（2）求出三角形OCD的面积和扇形BOC的面积即可．（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵AO＝OC，∴∠A＝∠ACO，又∵∠BCD＝∠A，∴∠OCD＝∠OCB+∠BCD＝∠OCB+∠ACO＝∠ACB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC是⊙O半径，∴CD是⊙O的切线；（2）连接OC，设∠D＝x，∵CA＝CD，∴∠A＝∠D＝x，∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠D＝x，∴CB＝BD，∠OCB＝∠BCD+∠D＝x+x＝2x．∵OC＝OB，∴∠OBC＝∠OCB＝2x．由（1）可得CD是⊙O的切线，OC是⊙O半径，∴∠OCD＝90°，∵∠OCD＝∠OBC+∠BCD＝2x+x＝3x，∴3x＝90°，即x＝30°∴∠OBC＝∠OCB＝2x＝60°，∴∠COB＝180°﹣∠OCB﹣∠OBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠COB＝∠OBC，∴OB＝BC＝BD＝2．∴OC＝OB＝2，OD＝OB+BD＝2+2＝4．在Rt△OCD中，CD2＝OD2﹣OC2，∴，∴，．∴．【点睛】本题考查切线的判断和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法，圆周角定理以及切线的判断是正确详解的关键．12．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在⊙O中，AB＝，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于F，∠A＝(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBC围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用同弧（或等弧）所对的圆周角等于所对的圆心角的一半和垂径定理，求出扇形的圆心角为120°，在Rt△ABF中根据勾股定理可求出半径的长，利用扇形的面积公式即可求解；（2）直接根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得圆锥的底面圆的半径．(1)解：连接AC．∵AD⊥BC，AD是直径，∴AD垂直平分BC∴AB＝AC，BF＝FC，∴∠BAC＝2∠BAD＝60°，∴∠BOC＝2∠BAC＝120°．∵BF＝AB＝2，AF＝＝6．∴OB2＝BF2+OF2∴∴OB＝4．∴S阴影＝(2)解：设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴2πr＝∴【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式和圆锥的侧面展开图与底面周长之间的关系．本题还涉及到圆中的一些性质，如垂径定理等．13．（2022·山东日照·九年级期末）如图，平面直角坐标系xoy在由边长为1的小正方形组成的网格中，一段圆弧过，，三点．(1)利用直尺画图，确定圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标__________；(2)求出的半径；(3)连接AM、CM，将扇形AMC剪下，围成一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆半径是___________．【答案】(1)图见解析，M（2，1）(2)(3)【分析】（1）连接AB、BC，分别作AB、BC的垂直平分线，两条直线交点即为圆心M；（2）连接MC，利用勾股定理求出半径；（3）如图，证明△AFM≌△MNC（SAS），得到∠AMF=∠MCN，证得∠AMC=90°，设圆锥的底面圆半径是r，得到求出r即可．(1)解：如图，点M即为所求，点M坐标为（2，1）；故答案为（2，1）；(2)解：连接MC，的半径；(3)如图，∵AF=MN