平面向量的数量积

平面向量的数量积Fs

┓定义：一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同；当λ<0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0运算律：设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb复习实数与向量积θ=180°θ=90°回顾向量夹角的定义已知两个非零向量a和b，作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角。θ=0°特殊情况OBAθ例如图，等边三角形中，求（1）AB与AC的夹角；（2）AB与BC的夹角。ABC

通过平移变成共起点！找向量夹角必须保证向量有相同的起点我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角向量的夹角？新课引入我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）θFS力F所做的功W可用下式计算

W=|F||S|cosθ其中θ是F与S的夹角新课引入

在问题中，功是一个标量，它由力和位移两个向量确定。这启示我们，能否把功看成是这两个向量的一种运算结果呢？规定:零向量与任一向量的数量积为数0。

数量积(向量的乘法)定义：说明：(1)两向量相乘(数量积)结果是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定,怎么决定？(2)a·b不能写成a×b

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积（或内积），记作a·b.

a·b=|a||b|cosθ，

物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．θsF，过点B作垂直于直线OA，垂足为，则|b|cosθOABabOABab|b|cosθ叫向量b

在a

方向上的投影．θ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0BOAab数量积的几何意义数量积a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。数量积的重要性质:说明：“向量方等于向量模方”是向量和向量模相互转化的重要依据，今后常用。

平面向量数量积的运算律已知向量和实数，则向量的数量积满足：（1）（交换律）（2）（数乘结合律）（3）（分配律）注意：数量积运算不满足结合律两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功

则(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律(3)1．若a=0，则对任一向量b，有a·b=02．若a≠0，则对任一非零向量b,有a·b≠03.若a≠0，a·b=0,则b=04.若a·b=0,则a·b中至少有一个为05.若b≠0，a·b=b·c,则a=c6.若a·b=a·c,则b≠c,当且仅当a=0时成立7.对任意向量a,b,c,有(a·b)·c≠a·(b·c)8.对任一向量a,有a2=|a|2

练习：判断正误(√

）(×

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平面向量的数量积及运算律

例2.求证：（1）（2）证明：（1）（2）向量满足完全平方公式、平方差公式

例4.已知与的夹角为60°，求：（1）在方向上的投影；（2）在方向上的投影；（3）=2=3当且仅当为何值时，与互相垂直？1.a·b=|a||b|cosθ2.

数量积几何意义3.重要性质课堂小结4.

运算律课堂练习:1.在△ABC中,=a,=b,a·b<0,则△ABC

是_____三角形BABC2.已知|a|=4,е为单位向量,它们的夹角为则a在е方向上的投影是_____2π33.设a、b、c是非零向量，则（a·b)·c是（）（A）数量（B）与a共线的向量

(C)与c共线的向量(D)无意义钝角–2C2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一.复习回顾：

1.平面向量的数量积公式？向量的运算律？运算律有：2、两平面向量垂直的充要条件是什么？3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如何用坐标表示出来？一.复习回顾：

4.平面向量的坐标定义一.复习回顾：

5.平面向量的坐标运算课前练习：重心的计算分析：利用重心到三个顶点的向量和为零向量可参考答案：①1；②1；③0；④0.二、新课讲授问题：已知怎样用的坐标表示呢？先考虑下面问题.设x轴上单位向量为，Y轴上单位向量为请计算下列式子：①②③④====

问题探究：的坐标公式的推导.oA(x1,y1)B(x2,y2)平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和容易推得1.两向量垂直的坐标表示注意：与向量共线的坐标表示区别清楚。平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和容易推得2.向量的长度（模）平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和容易推得3.两向量的夹角想一想的夹角有多大？（利用计算器算出近似值，精确到1度）(2)若则与夹角的余弦值为（）B

例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证

△ABC是直角三角形.想一想：还有其他证明方法吗？提示：可先计算三边长，再用勾股定理验证。证明：△ABC是直角三角形例2：已知A（1,2）,B（2,3）,C（－2,5）,求证

△ABC