小学数学开放题的研究与实践

小学数学开放题的研究与实践数学开放题是在70年代开始出现的一种新题型，开放题是相对于传统的封闭题而言，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。一、数学开放题的概念定位（一）数学开放题的特征数学开放题一般具有下列特征：1、不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解的题目。2、探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。3、非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认知结构的重建。4、发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。5、层次性：常常通过实际问题提出，主体必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。6、发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程，而不管他是属于何种程度和水平。7、创新性：教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。（二）数学开放题的分类1、对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。（1）条件开放题①请编一道应用题，算式为（20-4）÷2-8②在括号里填上适当的数，使两个分数单位的和等于。这样的分数单位你能找出几对？③58个苹果，拿出几个后，可以平均分到8个盘子中？④在下面的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，请你画出一个多边形，使多边形的面积是2。（2）策略开放题①你喜欢用哪种算法（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）你能用几种不同的方法来计算下列题目，并说说你最喜欢哪一种。804-397（四、五年级）25×4+25×4（四、五年级）8.88×12.5(五、六年级)24×（六年级）②在算盘中，请你用一颗上珠和一颗下珠，表示出万以内的数。（3）结论开放题①像212从左往右读和从右往左读都一样的三位数（回文数）有几个？②小明买钢笔和圆珠笔共用去54元，已知每支钢笔3元，圆珠笔2元，那么小明买了几支钢笔？几支圆珠笔？③把24个边长为1cm的小正方形拼成一个大长方形，这个长方形的周长和面积各是多少？④“五一”长假期间，宁波青年旅行社组织了35名游客去“五龙潭”游玩，由一名导游带领。五龙潭入口处的“购票须知”写道：“每人凭票进门。儿童、成人一律每张30元，40张开始可以享受团体八折优惠”。导游买票时付给售票员1000元，你认为够了吗？请用数字知识来说明你的观点？（4）综合开放题①如果校园里有一水池，请估计水池中有多少立方米水？②去十字路口，在10分钟内（或一定时间内）统计来往车辆的情况，而后能否对建立“红绿灯”问题提出你的想法和方案？③调查菜价（六年级）（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）去当地菜场调查一周内主要几种菜的价格变化情况，完成下面这张统计表（可以任意选定五种，分上午7：00左右，下午4：30左右两个时间去调查），然后思考下面问题：㈠根据你调查的结果，你能提出哪些问题？㈡根据调查的结果，你有哪些建议？_____________菜场五种菜价格表__月__日～__月__日星期价格（元）蔬菜类别一二三四五六日上午下午上午下午上午下午上午下午上午下午上午下午上午下午

2、从开放题答案的开口情况出发，数学开放题可以定量地分成三类：弱开放题──答案情况（包括可能情况）只有两种的开放题；中开放题──答案情况（包括可能情况）超过两种，但为数目确定的有限种；强开放题──只能给出部分答案情况，答案情况（包括可能情况）总数难以确定的开放题。我们将数学问题的开放程度简称为开放度，对于事物的“度”，我们总期望能给予定量表示，“度”的问题只有进行量化表达时才能得到比较成熟的分析，才能从模糊走向精确，将数学问题（包括封闭题）的全体看为一个集合，我们能否建立这个集合到某个数集（比如自然数集N）的一个映射，将开放度定量化？容易想到用答案情况（包括可能情况）的个数来表示数学问题的开放度，照此我们可将封闭题看为开放度为1的数学问题，弱开放题的开放度为2，中开放题是开放度为定值n（n∈N，n≥3）的开放题，而强开放题则是开放度为未知数x的开放题，x随着思考主体对问题答案不同角度、不同层次的理解和要求可能会有所变化。（1）弱开放题（n=2）①把4个棱长为5cm的立方体拼成一个大长方体，它的表面积是多少？②两个自然数的最大公约数是5，最小公倍数是30，那么这两个自然数分别是几？（2）中开放题（n≥3）①在一条笔直的公路上，小明和小刚骑车同时从相距500米的A、B两地出发，小明每分钟行200米，小刚每分钟行300米，多少时间后，两人相距5千米？②在1，2，3，4，5，6，7，8这八个数中，哪些数能组成比例，组成怎样的比例？②在，3，0.8，，4.8，2，中，选出合适的数组成比例：（）。③立方体的表面展开图有几种？（3）强开放题（n=x）①有一块边长为10米的正方形的空地，现在要在空地上设计一个花坛，使花坛的面积是空地面积的二分之一，问如何设计。②请调查你所在地方各种房子的价格，想一想为什么价格有差异？你觉得买哪一类房子比较便宜？3、数学开放题从单纯的适用年级来看，还可以分为一年级数学开放题、二年级数学开放题……（三）数学开放题的概念定位对于开放题的分类讨论，有助于理解开放题的概念，有助于把握问题的开放度，有利于教师把握一个数学开放题是否适用于课堂教学，或者有利于教师改变开放题的设问方式以帮助课堂教学，或者有利于考试评分的可操作性与公平性。综上分析，笔者认为，数学开放题是具有一定现实背景的、解答途径没有固定模式可循的数学问题。具体：1、在数学开放题中，往往是条件不确定或结论不确定，它有时可以是因条件不确定导致结论不确定，有时还可以是因结论不确定而导致条件的不确定；2、从数学问题的开放度来描述，数学开放题的开放度应是n≥2；3、数学开放题要求学生用已学的知识和数学思想方法，通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑思想去得出结论，重在对学生分析问题、解决问题和创新意识的培养。二、数学开放题的设计策略从数学教学的内部来看，任何一本数学教材包含有三个方面的内容：关于概念定义的内容，关于命题定理的内容，关于例题习题（统称为数学题）的内容。数学题的作用首先表现在帮助学生熟悉和掌握数学知识，发展学生的智能，由于教育选拔功能的需要，数学题的作用还表现在评价学生的学业成绩上。因此，数学题就自然成为数学教学的中心，“问题是数学的心脏”，“问题解决是数学教学的核心”正是数学题重要性的体现。现行中小学数学教材中的数学题绝大多数是封闭题，数学题的特征决定了它的功能，进而决定了它的教育价值。实践表明封闭题已不能完全满足数学素质教育的要求，所以，研究设计数学开放题并用之于数学教学具有特别重要的现实意义。、掌握开放题的一些设计方法，是数学教师应该具有的一项重要教学技能。数学开放题的设计，可以从以下两方面考虑：1、选材开放审视目前的小学数学教学，教材中出现的例题是已经经过处理的数学问题，学生做的习题也是人为编制的可以套用现成公式、模仿例题的各种练习。学生在练习时不需要考虑这些问题的来源和作用，更不需要应用数学知识去解决现实生活中的各种问题。学生在长期的、反复操作的数据符号前，会产生乏味、厌学的情绪，久而久之就有可能形成对数学恐惧的心理。由此，数学习题的选材，应由封闭走向开放。它不仅可以来自教材，也可来自学生、来自生活，让学生在亲切、熟悉的情感体验中感受到数学的意义。①创设生活情境数学是对客观世界数量关系和空间关系的一种抽象。因此，在教学中一方面要尽可能让抽象的数学概念在生活中找到原型，另一方面要创造条件，促使学生能把学到的数学知识去解决一些日常生活中有关的数学现象，并能初步解决一些有关的数学问题。例如：笔者曾经在教学“乘法应用题和常见的数量关系”前，创设了这样的生活情境：小芳家开了一个小商店，小芳正替爸爸站柜台卖东西，来了一位叔叔。叔叔：小朋友，我买4支铅笔，2个篮球，4千克糖。小芳：铅笔每支4角，篮球68元1个，糖每千克12元。叔叔：一共要付多少钱？请开张发票。这样的习题，可以使学生在生活经验数学化、数学知识实践化的过程中感受到，数学就在我们的生活中。②利用学生的学习成果教师要善于利用学生的学习成果，这一方面是指上课的题材尽量来自学生。例如教学两位数减一位数的退位减法，可以先出示若干数字，让学生自由选择其中的三个数组成两位数减一位数的题目，并将这些题进行分类，然后引导学生在比较中讨论退位减的方法。这样的题材，不是来自教材而是来自学生，这会使学生感到更加亲切更能激起学生积极参与、主动探求的欲望；另一方面，是指教学的题材可利用课堂上学生解题中所发生的错误。例如，鄞江镇6个村计划栽树6000棵，实际每个村平均栽树1200棵。全镇比计划多栽树多少棵？有学生解为：1200-6000÷6，教师可以请学生就他的列式来改编题目，学生在错和对的对比之下学习，记忆会更加深刻。③改编课本上的封闭题相对于数学开放题而言，小学数学的习题中，大量是常规题，这种题条件完备，答案固定，称之为封闭题。有时一道传统的封统题，稍加改造就成了一道开放题了。例如⑴：浙教版第十册P101第12题，王师傅3小时做29个机器零件，方师傅5小时做48个同样的零件，谁做得快些？我们只要把问题改成：“你认为哪一位是老师傅？为什么？”这道题就变成了一道“开放题”了。例如⑵：浙教版第十一册P122第1题，指出下图圆的直径和半径。如果我们把它改为：下图是一张圆形纸片，图中画有一条线段，请你想办法判断这条线段是否是所在圆的半径？这就成为了一道非常好的开放题了。④以身边的事例为背景人们在日常生活中经常接触到的是一些平凡的事物。如果我们能以数学的眼光对这些看似平凡的事物进行审视，就可能发现一些有趣的规律性的东西，以此为背景，编制出一些富有启发性的数学“开放性应用问题”，就能促使学生体会到“处处留心皆学问”的道理。例如1.笔者从前段日子电视上了解到了全国大红鹰杯电视歌唱大赛的比赛情况，受此启发编出了“请你当评委”（五年级）的数学开放题。（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）请你当评委（五、六年级）学校组织校园歌曲独唱比赛，6个评委给③号选手打的分数分别是：评委123456得分9.659.258.7510.008.357.70⑴假如你是第七位评委，会给③号选手打几分？为什么？⑵你打的分数若不影响③号选手原先的名次，应该给他打几分？说说你的理由。同样，笔者针对上几次宁波发行体育福利彩票的有关事例，编拟了“彩票问题（六年级）”的数学开放题：（发表在《小学数学教师》2000年1-2期上）彩票问题（六年级）宁波市去年年底发行体育福利彩票，彩票面额每张2元，中奖后资金情况见下页表。中奖等级奖金额中奖数（个）特等奖20万元20一等奖10万元20二等奖1万元50三等奖5000元100四等奖1000元500五等奖100元2000六等奖10元20000七等奖2元250000⑴小庄在12月24日那天，先后摸了10张彩票，你猜她可能付出了几元钱？说说你的理由。⑵若本次奖金总额是发行额的42%，则至少卖出多少张彩票才能兑现这表中的奖金？⑶从这张表格中，你能了解到哪些信息？其实只要我们有心，身边的许多事例都可以用来作为编拟开放题的材料，这也验证了一句话“生活中处处有数学问题”。⑤择“洋题”为中用在国外的一些数学“应用问题”资料中，可以挑选一些适合我国国情和符合我们的《课程标准》要求的题目，以供我们教学时借鉴使用，这也丰富了“数学开放题“的来源。其实，许多的“数学开放题”都是从国外翻译、改编而来，例如：《小学数学教师》近几年来每期基本上都刊登有李至文老师编译的开放题。2、设计开放①条件开放传统的练习设计，条件是所求问题的充要条件，容易给学生造成思维的定势。当遇到条件不足或条件有余时，感到束手无策或疑惑不解，设计条件开放的开放题，可以提高学生分析问题、解决问题的能力。条件开放题，可以有少用条件、多余条件、比常规少了条件、缺条件（补条件）、图文条件等。让学生在审题时，摄取必要的条件，不用或少用一些条件创造性地运用条件去解决问题。例如：少年宫美术组有24人，航模组比美术组少6人，书法组的人数是美术组的3倍，美术组和航模组一共有多少人？通过分析可知书法组的人数是美术组的3倍条件多余；再如：一块长方形菜地，长100米，因建养鸡场需要，在这块地的一端划出一块最大的正方形地做养鸡场，剩下地的四周围上篱笆，篱笆长多少？表面看来似乎条件不足，进一步分析便可发现篱芭的总长实际就是菜地长的2倍。引导学生从众多的已知条件中排除表面现象的干扰，抓住问题的本质，高效、简洁地解决问题，能促进学生思维深刻性的发展，提高他们创造性地解决问题的能力。②问题开放学生学习上的差异，使他们在利用已知信息进行分析时，能发现并提出多种多样的问题。设计问题开放的开放题，有助于贯彻因材施教的原则，充分发展学生的个性特长，做到面向全体学生，使每个学生都得到发展。问题开放题，在解决形式上可有解答式问题、问答式问题、图表式问题；在答案方面，可有唯一答案、多种答案、“不存在”答案等。例如：在□里填上合适的数：一般学生能根据商十位商0和个位商7得出被除数的十位是5，个位是6；思路相对活跃的同学能从余数不确定得出个位也可能是7（8、9……）；分析能力较强的同学能归纳出被除数的后两位可从56起填到63。这样的练习，一方面给每个学生提供了获得成功的机会，促进了不同程度的学生都得到提高和发展；另一方面，也为学生提供了发散的空间，培养了学生思维的发散性和深刻性。③策略开放习题解答，除了让学生学会常规的解题方法之外，还要让学生学会多方位、多角度地解决问题，并从中发现最有效的解决问题的方法，促进学生思维广阔性、灵活性、创造性的发展。例如：分子、分母都不相同的两个分数比大小，便可打破“先通分”的常规，寻求最佳的解题策略。你能用哪些方法来比较和的大小？方法⑴：把和化成同分母分数来比较。⑵：把和化成同分子分数来比较。⑶：和1进行比较⑷：把分数扩大成整数后进行比较⑸：用倒数进行比较总之，在教学中，要鼓励学生从多角度思考，大胆创新，不要局限于常规和固定模式，开拓思路，以促进思维创造性的发展。④综合性开放学生是社会的成员，学生以后都是面向综合的复杂的社会，因此，习题设计也应有综合性的，可以集其它学科相关知识于题中，也可以集本学科相关知识于题中。例如学完平面图形知识以后，可设计这样一题让学生研究：把校园内的一块长100米，宽80米的长方形空地设计成一个花园，其中要有圆形、方形、菱形等面积不等的花地、草坪。要求：⑴花地、草坪、道路所占面积比例适中；⑵图案美观。这样的习题打破了人为训练的目的，又能培养学生的数学素质。从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。直接编拟数学开放题，特别是直接编开放性应用题，难度较大。如果对我们熟悉的大量封闭题进行改编，保留原题中的基本情境和一些现成构件，并根据形式逻辑的理论进行适当的加工改造，就能较容易地编出开放题。

漫谈小学数学思想及其在教学中的渗透数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，它直接支配着数学的实践活动，是数学的灵魂。而数学方法则体现了数学思想，在自然辩证法一书的导言中，恩格斯叙述了笛卡儿制定了解析几何，耐普尔制定了对数，来布尼茨和牛顿制定了微积分后指出：“最重要的数学方法基本上被确定了”，对数学而言，可以说最重要的数学思想也基本上被确定了。《九年制义务教育全日制小学数学课程标准》（试验稿）提出：“学生通过学习，能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法。”因此，在小学数学教学阶段有意识地向学生渗透一些基本数学思想方法可以加深学生对数学概念、公式、定理、定律的理解，是提高学生数学能力和思维品质的重要手段，是数学教育中实现从传授知识到培养学生分析问题、解决问题能力的重要途径，也是小学数学教学进行素质教育的真正内涵之所在。在小学阶段，数学思想主要有符号思想、类比思想、分类思想、方程与函数思想、建模思想等。一、符号思想西方较早地在数学研究中引进了符号，十六世纪数学家韦达对数学符号作了很多改进，并且第一个有意识地系统地用字母表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学研究的重大拓展，奠定了符号代数的基础，后来大数学家笛卡儿对韦达使用的字母又作了改进。用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息，如乘法分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……长方形的面积计算公式s＝a×b，不管世界上有多少个不同的长方形，都可用它计算出来。又如在“有余数的除法”教学中，最后出现一道思考题：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗？解决这个问题，学生可以有多种方法。如，用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbcaaabbcaaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律，并推出第24个气球是蓝色的。上例所分析的这些都是符号思想的具体体现，它们将所有的数据实例集为一体，把复杂的语言文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用，正如华罗庚所说的“数学的特点是抽象，正因为如此，用符号表示就更具有广泛的应用性与优越性”。这种用符号来体现的数学语言是世界性语言，是一个人数学素养的综合反映。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象符号化的过程，小学生在数学学习中，从接受到运用会遇到较多的困难，需要教师在平时地教学中，从介绍字母使用的历史入手，循循善诱，加强培养和训练。二、类比思想数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。就迁移过程来分，有些类比十分明显、直接、比较简单，如由加法交换律a＋b＝b＋a的学习迁移到乘法分配律a×b=b×a的学习；而有些类比需在建立抽象分析的基础上才能实现，比较复杂。例如有这么一道数学奥林匹克竞赛题：某科学考察组进行科学考察，要越过一座山。上午8时上山，每小时行3千米，到达山顶时休息1小时。下山时，每小时行5千米，下午2时到达山底。全程共行了19千米。上山和下山的路程各是多少千米？分析：此题表面上看似一道行程问题，但实质上只不过是一道典型的“鸡兔同笼”问题的变化题型。其特征是：（1）已知两种事物的单值：上山速度为3千米；下山速度为5千米。(2)已知这两种不同事物的总个数：除去休息1小时的5小时；全程19千米。(3)要求的是这两种不同事物的个数：上山和下山的时间各是多少？可见此题的解答方法与"鸡兔同笼"问题的解答方法完全相同。假设5小时都是上山时间，则共走路程为3×5＝15（千米），比实际走的19千米少了19－15＝4（千米），原因是由于把下山时间也当作了上山时间，则下山时间为4÷（5－3）＝2（小时）。从而可以推出下山路程是5×2＝10（千米），上山路程是19－10＝9（千米）。当然我们也可以假设5小时都是下山时间来类推求解。数学中所有公式定理的运用就是类比思想的直接反映。目前，小学数学教材中类比思想的内容很多，杂志上发表得较多的某些定理，问题的延伸，推论，拓广也是类比思想的反映，这就要求教师去发掘去实施，如长方形的面积公式为长×宽＝a×b，通过类比，三角形的面积公式也可以理解为长（底）×宽（高）÷2＝a×b（h）÷2。类似的，圆柱体体积公式为底面积×高，那么锥体的体积可以理解为底面积×高÷。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟得自然和简洁，从而可以激发起学生的创造力，正如数学家波利亚所说："我们应该讨论一般化和特殊化和类比的这些过程本身，它们是获得发现的伟大源泉。"三、分类思想数学中每一个概念都有其特有的本质特征，它又是按照一定的规律扩展变化的，它们之间都存在着质变到量变的关系。要正确的认识这些概念，就需要具体的概念依据具体的标准具体分析，这就是数学的分类思想，是指按某种标准，将研究地数学对象分成若干部分进行分析研究。一般我们分类时要求满足互斥，无遗漏、最简便的原则。如整数以能否被2整除为例，可分为奇数和偶数；若以自然数的约数个数来分类，则可分为质数、合数和1。几何图形中的分类更常见，如学习"角的分类"时，涉及到许多概念，而这些概念之间的关系渗透着量变到质变的规律。其中几种角是按照度数的大小，从量变到质变来分类的，由此推理到在三角形中以最大一个角大于、等于和小于90°为分类标准，可分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。而三角形以边的长短关系为分类标准，又可分为不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。不同的分类标准会有不同的分类结果，从而产生新的数学概念和数学知识的结构。由于分类讨论，一则在学习数学的过程中，学生潜移默化地受到了辨证唯物主义思想的启蒙教育；又一则对学生能力有明显的区别功能，再加上现实世界需要分类研究的普遍性，作为一种数学思想必然会引起人们的重视。例如在教学多位数读写法后，设计了这样一道开放题：下面五张卡片上分别写有数字0、0、1、2、3，可以利用它们组成许多不同的五位数，求所有五位数的平均数。分析：以最高位上的数字为标准，把所有能组成的五位数分成三类，再依从小到大的顺序列表如下。（1）10023（2）20013（3）30012100322003130021102032010330102102302013030120103022030130201103202031030210120032100331002120302103031020123002130031200130022300132001130202301032010132002310032100这36个数的平均数，万位上的数字是2，可由（1＋2＋3）÷3＝2确定，其他数位上的数字都是1，可由（1＋2＋3）×6÷36＝1确定。平均数是21111。四、方程和函数思想在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程（组），这就是方程思想的由来。在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程问题、还原问题等，用代数方法即假设未知数来解答比较简便，因为用字母x表示数后，要求的未知数和已知数处于平等的地位，数量关系就更加明显，因而更容易思考，更容易找到解题思路。在近代数学中，与方程思想密切相关的是函数思想，它利用了运动和变化观点，在集合的基础上，把变量与变量之间的关系，归纳为两集合中元素间的对应。数学思想是现实世界数量关系深入研究的必然产物，对于变量的重要性，恩格斯在自然辩证法一书有关“数学”的论述中已阐述得非常明确：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辨证法进入了数学；有了变数，微分与积分也立刻成为必要的了。”数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规律，是近代数学发生和发展的重要基础。在小学数学教材的练习中有如下形式：6×3＝

20×5＝

700×800＝60×3＝

20×50＝

70×800＝600×3＝

20×500＝

7×800＝有些老师，让学生计算完毕，答案正确就满足了。有经验的老师却这样来设计教学：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律），答案的变化是怎样引起的？然后再出现下面两组题：45×9＝

1800÷200＝15×9＝

1800÷20＝5×9＝

1800÷2＝通过对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，结论可由学生用自己的话讲出来，只求体会，不求死记硬背。研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示，这时可以把解析式理解成方程，通过对方程的研究去分析函数问题。中学阶段这方面的内容较多，有正反比例函数，一次函数，二次函数，幂指对函数，三角函数等等，小学虽不多，但也有，如在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键；在应用题中也常见，如行程问题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程；再如一元方程x＋a＝b等等。学好这些函数是继续深造所必需的；构造函数，需要思维的飞跃；利用函数思想，不但能达到解题的要求，而且思路也较清晰，解法巧妙，引人入胜。五、建模思想目前，由世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔提出的“现实数学教育”观点得到国际数学教育界的普遍认同，也为广大数学教师所接受。这一思想表明，一则学校数学具有现实的性质，数学来源于现实生活，再运用到现实生活中去；二则学生应该用现实的方法学习数学，即学生通过熟悉的现实生活，自己逐步发现和得出的数学结论。这就意味着数学课程的应用性和实践性成为国际数学课程改革的一个基本趋势。例如美国数学教师协会1989数学课程标准和2000年标准的基本特点之一都是强调数学应用；荷兰从60年代起就开始了现实数学教育的改革历程，到90年代初，几乎所有的荷兰中小学生都已经在使用根据现实数学教育思想编写的数学课本，注重培养学生数学应用意识与实践能力；日本的数学课程设置了综合课题学习，同样也体现了数学知识综合应用的关注。这一系列实际上强调的是一种数学建模思想。所谓数学模型是对于现实世界的某一特定研究对象，为了某个目的，在作了一些必要的简化和假设之后运用适当的数学工具，并通过数学语言表达出来的一个数学结构。而数学建模思想就是把现实世界中有待解决或未解决的问题，从数学的角度发现问题、提出问题、理解问题，通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，并综合运用所学的数学知识与技能求得解决的一种数学思想和方法。数学中的各种基本概念都以各自相应的现实模型作背景。如自然数集是用以描述离散数量的模型；各类几何图形也都是从现实中抽象出来的数学模型。那些基本的数学模型使我们能对与之联系的实际问题，举一反三，触类旁通。例如在平面图形面积一章复习中，设计了这样一个综合学习课题：自主运用已学图形为自己的房间进行简单的镶嵌设计。学生能顺利解决问题，关键在于理清各种平面图形之间的知识联系，在教学中，可以建立一个平面求积的模型S＝ab，从长方形求积公式出发推导出正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆形的求积公式，沟通了各平面图形的内在联系；同时又随着相关边长的变化，展示出这些平面图形可以相互转化。学生学会了建模，有顿悟之感。在此基础上，进一步让学生通过探索平面图形的镶嵌，知道三角形、四边形或者正六边形可以镶嵌平面，然后自行设计房间镶嵌方案。在这整个过程中，强调了数学学习经历“问题情境──建立模型──分类求解──解释与应用”的基本过程，引导学生主动参与、亲身实践、独立思考、合作探究，实现了学习方式的转变，改变了单一的记忆、接受、模仿的被动学习方式，发展了学生搜集和处理信息的能力，以及交流与合作的能力。当然，在数学教育中,加强数学思想和数学方法的渗透不只是单存的思维活动,它本身就蕴涵了情感素养的熏染。而这一点在传统的数学教育中往往被忽视了。我们在强调学习知识和技能的过程和方法的同时，更加应该关注的是伴随这一过程而产生的积极情感体验和正确的价值观。《标准》把“情感与态度”作为四大目标领域之一，与“知识技能”、“数学思考”、“解决问题”三大领域相提并论，这充分说明新一轮的数学课程标准改革对培养学生良好的情感与态度的高度重视。它应该包括能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。另一方面引导学生在学习知识的过程中，学会合作学习，培养探究与创造精神，形成正确的人格意识。现代数学思想方法的内涵极为丰富，诸如还有集合思想、极限思想、优化思想、统计思想、猜想与证明等等，小学数学教学中都有所涉及。我们广大小学数学教师要做教学有心人，有意渗透，有意点拨，重视数学史的渗透，重视课堂教学小结，要以适应小学生年龄特点的大众化、生活化方式呈现教学内容，让学生通过现实活动，主动参与、自主探究，学会用数学思维方法提出问题、分析问题、解决问题，从而让学生的数学思维能力得到切实、有效地发展，进而提高全民族的数学文化素养。

优化合作学习提高合作效能合作，作为新时代人应该具备的一种素质，正在被越来越多的教育专家和学者所接受，并进行重点的研究。《数学课程标准》中指出：“有效的数学活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。”课程标准把“自主探索、合作交流”提到一个前所未有的高度，这充分肯定了合作学习能从许多方面促进学生更加生动、活泼地学习。它是在教师指导下，学生群体研讨、协作交流的一种学习方式，它能有效地改善学习环境，扩大参与面，提高学生自主探索的能力。通过合作，有利于学生用不同的方式探索和思考问题，培养其参与意识和探索能力。因此，随着课程改革的不断深入，合作学习被越来越多地引入课堂，小组合作学习成为学生学习数学的重要方式，也成为现代课堂教学的一道亮丽的风景线。但是，我们常常看到，由于小组划分的随意性，组织的散乱，设置的问题缺少研究价值，学生参与的欠平衡等，致使小组探究“浮在表层”或偏离正题，造成小组合作活动流于形式，看似热热闹闹，实为摆架子、走过场。那么，怎样才能防止上述现象的发生，使小组合作学习得以优化，从而提高合作效能呢？一、组建科学的合作学习小组科学的构建学习小组，既是学生合作的基础和前提，也是实现学生群体合作的基本手段。一个学习小组应该是一个班组或集体的缩影。因此组建合作学习小组时，应在尊重学生自愿的基础上，根据学生的知识基础、兴趣爱好、学习能力、心理素质、家庭情况、性别等进行综合评价，然后搭配成若干组内异质、组间同质的学习小组。通常4──6人为妥，保证优势互补和每个人都有充分发表见解的时间，以便使小组探究在短时间内取得成效。小组长可由民主推选出具有较强责任心、组织管理和表达能力强的学生担任，以保证合作学习的正常开展。也可以采取轮换制，让每个学生都有公平锻炼与施展才能的机会，防止思维定势与惰性的产生，增强小组活力，提高合作学习的效益。二、构建合适的合作学习环境1.安全的心理环境。美国心理学家马斯洛认为：人的生存需要和安全需要得到基本满足后，爱的需要和受尊重的需要就会突出来，成为主要的需要。小学生都是得到了生存需要和安全需要的人，只有对他们热爱尊重、理解和信任，才能激发他们的上进心，发挥他们的主体作用。因此，教师要尊重每一个学生，使每个学生都有展示自己的机会，都能享受成功的喜悦。教师在课堂上把鼓励送给他们，让每一个学生都能发表自己的见解，即使回答错了，也没有人会嘲笑；在课外，教师要主动和学生交流内心的想法，拉近距离，培养良好的师生感情。学生只有在这种氛围中，才能毫无戒备地和老师、同学进行交流，这样，学生的思维就会更加活跃了，探索热情就会更高涨，合作的欲望就会更强，课堂就会更加生机勃勃。2.充裕的时空环境。这里的时空环境一方面是指在小组合作时教师要给足学生讨论、交流的时空，让各种不同程度学生的智慧都得到尽情的发挥。另一方面，往往是教师最容易忽略的，是小组合作之前学生独立思考的时空，只有学生经过独立思考，对所要研究的问题形成了初步的认识，才会有交流的需要和能力，才能进行有效的学习。因此教师在布置合作学习时，要提醒学生：先独立思考，再把自己的想法与同组的同学说一说，这样才能提高合作学习的成效。比如：在认识圆柱时，要让学生先独立的看一看、摸一摸、滚一滚圆柱，然后再向组内的同学交流自己是怎么摸的，怎么滚的，自己有什么发现，再听听同伴的做法和意见，与自己的又有什么不同。这样，学生在充分感知和独立思考的基础上，他们的合作将不再盲目，这样的合作学习才是有价值的，有成效的。3.热情的帮助环境。全班十多个小组中，免不了有些因组长的组织能力偏低，或因小组整体实力偏差等原因而无法顺利地展开合作，教师应因组而异，为学生提供必要的启发式帮助。教师要以一个普通合作者的身份，自然地参与到有困难的小组中去，让学生觉察不出因本组水平低而需要教师的帮助。考虑到学生能力之间存在的差异，教师可以设计一些具有帮助性的提示，在那部分学生遇到困难时，能得到一定的启示，而不至于让他们束手无策，从而降低学习效率。如“分类”这节课中，在实际应用阶段可以让各小组整理一个学生的书包并进行合理的分类，看看有哪些不同的分法。由于书包里装的大部分是书籍类，要对同样的书籍类进行再分，就有一定的难度，这时教师可以设计一个提示信封：（1）按书本的大小分。（2）按不同科目分。（3）按书本的厚薄分。告诉学生尽量依靠小组的力量完成，当有困难的时候可以打开提示信封。这样能增强他们的学习信心，让他们共同参与到学习中来。4.真诚的激励环境。适时适当的激励，可以起到事半功倍的效果。首先教师要有意识地给他们多创造一些表现的机会，以激发他们奋发向上的热情，为学生的成功学习创造条件。其次教学中教师应掌握并运用好激励这一课堂杠杆，营造一种可以充分发挥学生个性、各抒已见、相互交流甚至各执已见的合作学习氛围，一句真诚的表扬、一个赞许的目光……都能使每个学生真切地体验到合作学习的成功与快乐，从而产生进一步合作的欲望。三、培养良好的合作学习习惯1.让学生学会大胆表达。语言表达是人与人交往和互动的基础，也是个人实际能力的重要指标。合作学习需要每个成员清楚地表达自己的想法，互相了解对方的观点，在此基础上才能合作探究问题。因此，在合作学习的过程中，教师要鼓励学生大胆发言，勇于发表自己的见解，把自己的探索、发现过程用语言表达出来，在组内交流。这样，既能发现不同的思考方法、解题思路，又能对学有困难的学生提供帮助，发挥团队合作精神，使学生在小组合作中敢想、敢做、敢说。2.让学生学会认真倾听。倾听是合作学习的重要环节，倾听也是一种学习。在开始合作时，同学之间最大的问题是不能容纳别人的意见。因此，教师要着力培养学生认真听取别人意见的习惯。使学生意识到倾听别人发言，是一种文明礼貌的行为，是对发言者的尊重，只有认真倾听他人的发言，才能使发言人感到自己发言的价值。相反的，当有人发言而无人倾听时，发言者就会觉得自己的发言无关紧要，从而挫伤发言者的积极性。同时也要让学生意识到倾听也是一种好的学习方法，从别人的发言中会得到很多启发，从小组其他成员身上收获更多的知识、方法。因此教师要逐步培养学生在课堂上学会三听：一是认真听每个同学的发言，不插嘴；二要听出别人的发言要点，培养学生收集信息的能力；三是听后需作思考，提出自己的见解，提高学生处理信息、反思评价的能力。3.让学生学会积极参与。每次学生的合作学习都由小组推出一名代表发表本组的意见，对于这位“代言人”而言，他当然能积极参与学习的活动。而对其他人来说，是否以积极的态度参与到合作学习中去，就不得而知了。因此，组织小组合作学习时，组内成员要有具体的明确分工，合理分工是提高小组合作学习效率的重要措施之一。因此，根据研究内容的不同，学生的特长、个性差异，在教师指导下或由小组成员民主协商自行分工，比如谁当表述员，谁当组织员、谁当记录员，谁当检查员等。在一个阶段里，每人都应有相对侧重的一项责任，担任一个具体的合作角色，一定时间以后，角色互换，使每个成员都能从不同的位置上得到体验、锻炼和提高。对于教师，应热切关注整个学习活动，对谁已经发言了，谁还没有发言要心中有数。把一些简单易懂的问题让基础知识差、思维能力弱、不善言谈的学生回答，充分发挥每个小组成员的作用与优势，使他们也有参与表现自我和获得成功的机会，提高学生的参与度，增强学生的责任感，从而使每位学生都能学会合作，以保证合作学习取得最佳成效。四、抓住恰当的合作学习时机1.个人操作无法完成时。数学有些操作内容依靠学生个人是无法独立完成或无法很好地完成的。比如：在认识“米和厘米”时，在运用所学知识解决实际问题时，让学生用卷尺或米尺去量身边物体的长度，如黑板的长，教室的宽，课桌的高等等，就必须有两人或两人以上的合作才可能较好地完成；又如，在学习“可能性”时，可安排同桌为一个小组，一人摸球一个猜的形式，增强学生对可能性的认识；再如，在学习统计时，教师调查班上部分学生爱吃水果的情况，要进行归纳与统计时，也需要小组的力量才能又快又好地完成。小组合作学习中的操作活动，既能体现集体的智慧，又能激发学生的合作热情。因此，教师应多设计这样的活动，以培养学生的合作意识，提高合作效率。2.独立思考出现困难时。在课堂教学中，教师往往会提出一些具有挑战性的问题，而有些问题依靠学生的独立思考是没办法解决的，这时就可采用小组合作学习，鼓励学生之间展开讨论，教师适当指导，使学生亲身经历问题的解决过程，更能有效的促进学生获得对数学知识的真正理解。比如：如在教学十几减9的退位减法时，教师出示课件，一个小猴子在卖桃，盒里放了十个，盒外有3个，小猴子说：一共有13个桃子，小兔说：我买9个，白菜老师问：还剩几个？小猴子抓耳挠腮想不出来，老师说：同学们能帮帮小猴子吗？学生兴致高涨，纷纷动脑筋，想办法。独立思考了几分钟后，有的同学眉头紧锁，面露难色。本课是学生第一次接触退位减法，大部分的学生都感觉有一定的困难，这时教师趁势说：小组的同学可以合作，大家一起出主意，想办法。同学们一听，立刻又活跃起来，你一言我一语的交流着各自的看法，通过集体的智慧得到了许多的解决办法，让学生再一次感觉合作的力量。3.意见不一需要争论时。学生在学习的过程中，经常会出现意见不统一的时候，这时教师不要急于下定论，而应该组织学生以小组的形式进行充分的讨论，然后让意见不一的双方发表自己的见解，允许与对方争辩，在辩论中明晰正误。比如：在《对称》这一节课里，“做一做”里有一题，让学生判断哪些图形是对称的，如图：当出现这个图形时，学生有的说是对称图形，有的说不是，大家各持已见，互不相让。这时老师就组织学生讨论，并让学生说出自己的理由。有的同学说：老师，这房子对折后它的左右两边不会重合，因为它一边没有窗户，所以它不是对称图形。有的同学说：老师，如果我们不要看窗户，对折后房子的外框会重合。瞧，多么独特的见解，如果老师一味的否定，哪里有这么精彩的发言，哪里有这么有创意的想法，学生已经能灵活的运用所学的知识来解决问题了，这是多么值得庆幸呀！五、增加有效的合作学习途径1.融入竞争机制。有竞争才有提高，针对小学生好胜的心理特点，在合作学习的过程中不失时机地引入竞争机制，对合作学习的效果能起到纠正、提高、深化的作用，使合作学习更具实效、高效。教师可以在日常的教学中有意识地强化“学习小组”的集体荣誉感，比如可以经常地评比“最佳小组”，采用单课评比与积分相结合的竞争方法，或者以每课各组轮流推出“小组发言人”、“小组主讲人”的形式，在诸如此类的激励中，基础好的学生就会感到仅仅提高自己的成绩是不够的，还必须尽力帮助组内的其他成员；而基础较差的学生则认识到小组的成功取决于每个成员的努力，认识到自己对于小组所承担的责任，压力能够变成动力，使小组内出现互动，互助、互勉、互助的局面。经过一段时间持之以恒的训练，学生的学习目光必然会投身整体、投向长远，而不仅仅局限于自身、局限于眼前，有利于强化学生的合作意识，全面提升学生的整体素质。2.重视展示交流。展示交流是合作学习的主要环节，是形成正确认知、发展创新思维能力的关键所在。因此在各小组各自合作的基础上，教师要给足学生的发言、补充、更正甚至于辩论的时空，让各小组充分展示成果，阐述观点，通过充分交流、相互开拓、辨析和质疑答辩，进一步内化知识，加深对问题本质的理解，最终达成共识，归纳概括合理的结论或得出解决问题的最佳策略。3.及时反馈评价。恰当的评价起着导向与促进作用。因此，教师要不失时机的对学生合作的情感、态度、表现等及时进行恰当的形成性评价，并且组织小组间的相互评价和学生的自我反思，以此肯定成绩、找出不足、指明方向、指导行动。教师要善于发现学生思维成果的合理部分，不苛意求全，保护学生的积极性，促进学生合作水平的不断发展和提高。总之，合作学习并不仅仅意味着安排小组坐在一起共同完成一个任务，它需要教师对小组活动过程的各个方面，尤其结合数学学科的特点给予认真的思考和关注。小组合作学习是培养学生创新意识和动手能力的重要学习形式，也是促进学生学会学习，学会交往的重要形式，需要我们不断的探索研究，使这种学习形式更合理、更有效。

发挥计算机的潜力推进数学教学改革计算机技术对我们生活的各个方面都产生了巨大的冲击，我们很难想象一个组织机构在运做中不使用计算机。在百货商店，带条形码扫描仪的计算机可以让我们更快地结帐；当我们去看足球比赛时，我们能够看到计算机控制的记分牌；汽车引擎系统和仪器面板都是由计算机控制的；有很多人已经开始使用个人计算机来管理家庭的日常收支、管理名片、打印信封、给朋友发送电子邮件、甚至上网玩拱猪游戏。

在学校，计算机的普及率也在逐步提高。在美国，1994年底已经使用1810万台教育计算机，其中620万台直接进入了中小学，98%的中小学已经在不同程度上使用计算机辅助教学，全美小学、初中、高中在校人数与计算机的比率分别为15∶1、14∶1、10∶1。在我国，中小学计算机的普及率也在逐步提高，据不完全统计，截止1996年，在我国近80万所中小学中，已有3~4万所配置了不同档次的计算机40万台，许多学校还配备了网络计算机教室。但实际上真正在课堂上使用计算机的教师却很少，计算机教室成了打字室。这种情况在发达国家也是如此。比如日本高中计算机普及率达99.7%，但教师愿意在课堂上使用的也仅占18.7%。造成这种情况有许多原因，如有的教师对CAI持怀疑态度，或由于对新技术的陌生而不愿意尝试，还有教学软件的缺乏，现有的教学软件质量不高等。在21世纪，计算机必然在数学教育中发挥重要作用，因此，如何在数学教学中充分地发挥计算机的优势，已成为数学教育现代化和数学教改的现实课题了。本文将根据计算机的优势及它与数学教育现代化的关系谈谈笔者对在数学教学中使用计算机的几点看法。一、数学教学中如何更好地应用计算机目前，随着计算机的发展和教学软件数量的增加，数学CAI也在逐步开展，许多地区、学校都在进行CAI实验。但是，根据目前学校、学生拥有计算机的状况以及教师对于计算机的熟悉程度，目前的应用还只是初步的，利用CAI的数学课还是比较少，大多也只是讲一讲公开课，而缺乏大范围的、系统的实验。在数学CAI课中，教师该如何组织课堂教学，如何发挥主导作用，学生在CAI课堂上的认知过程如何等等，都只有通过实验才能回答。另外，通过实验，寻找数学CAI的切入点，也是发展数学CAI所必须的。因此，在今后的数学课中，有条件的地方应尽可能多地使用计算机，解决传统教学做不好的事情，这应作为教学改革的重要内容。下面根据不同的计算机软件的特点，谈谈计算机在数学教学中的应用。1．用计算机进行课堂演示在这种模式下，计算机作为指导者，是将传统教学过程中教师通过黑板、投影片、教具模型等媒体展示的各种信息，由计算机加工成文字、图形、影象等资料，并进行一些必要的处理（如动画），将这些资料组织起来。课堂教学时，可以将计算机与大屏幕投影电视连接起来，也可以在网络计算机教室中进行。利用这种模式进行课堂教学，在较短的时间内，计算机使学生多种感官并用，提高对信息的吸收率，加深对知识的理解，因而可以做到更高密度的知识传授，大大提高课堂利用率。例如，对于三角形“三线合一”的教学，传统教学因较难展现其发现过程，从而造成学生对其不好理解。利用计算机，可以在屏幕上作出斜三角形ABC及其角A的平分线、BC边的垂直平分线和中线，之后用鼠标在屏幕上随意拖动点A，利用软件功能，此时三角形ABC和“三线”在保持依存关系的前提下随之发生变化。在移动的过程中，学生会直观地发现存在这样的点A，使得角平分线、垂直平分线和中线三线重合。再如，对于圆周率的概念的教学，利用CAI，可以对圆周进行展开，同时跟踪测量圆周长和圆半径，引导学生发现圆周长与圆半径的比是一个定值。由于实验中圆可以随意变化，学生很容易接受π的存在。利用计算机进行课堂演示，通过精心设计的动画、插图和音频等，可以使抽象深奥的数学知识以简单明了、直观的形式出现，缩短了客观事物与学生之间的距离，更好地帮助学生思考知识间的联系，促进新的认知结构的形成。计算机的动态变化可以将形与数有机结合起来，把运动和变化展现在学生面前，使学生由形象的认识提高为抽象的概括，这对于培养学生良好的思维习惯会起到很好的效果。同时，在这里也应注意，计算机的演示只能是帮助学生思考，而不能代替学生的思考，教师应当恰当的给予提示，结合计算机的演示帮助学生完成思考过程，形成对概念的理解。2．利用计算机进行小组合作学习在信息技术环境发展的背景下，我们传统的教育思想也应当发生转变。发展以学生为中心进行合作学习的思想，发展以问题共同解决为中心的思想，发展以培养能力为中心，强调终身学习的思想。问题是数学发展的动力，所以对解题的教学历来受到教师的重视，现代数学教育更是强调要进行“问题解决”，在解决问题过程中锻炼思维、提高应用能力。而传统的数学教育由于多方面的限制，片面强调了数学演绎推理的一面，忽视了数学作为经验科学的一面。现在，计算机强大的处理能力为数学的发现学习提供了可能，它的动态情境可以为学生“做”数学提供必要的工具与手段，使学生可以自主地在“问题空间”里进行探索，来做“数学实验”。教师可以将更多的探索、分析、思考的任务交给学生去完成。在数学实验课中，可考虑把学生分成2~3个人一个小组，每组共用一台计算机。教师提供问题，学生利用计算机提供的环境，积极思考、讨论，动手演算，解答这个问题。教师要深入每一个小组中参加讨论，观察其进程，了解遇到的问题并及时解答，对有共性的问题组织全班讨论或讲解，努力在全班创设一种研究探索的学术气氛。例如，几何画板提供了一个十分理想的让学生积极的探索问题的“做数学”的环境，学生完全可以利用它来做数学实验，这样就能在问题解决过程中理解和掌握抽象的数学概念，使得学生获得真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。目前，在这方面已经有了一些有益的尝试。如’98全国计算机辅助中学数学教学课例展评、交流、研讨活动中，北京师大附中的一个课例“求圆内接三角形面积的最大值”，就是在电脑网络教室里，让学生利用几何画板，自己在动态变化中观察静态图形的变化规律，对图形进行定量的研究，通过交流、讨论，最终得到问题的解答，其中有一个解法是教师在备课时也未想到的。1995年夏季学期，两个美国初中二年级学生DavidGoldeheim和DanLitchfiled应用几何画板发现了又一种任意等分线段的方法；东北育才学校一名学生发现了广义蝴蝶定理。抛开这些问题自身的意义不说，他们处理问题的过程（猜测，验证，论证），对我们的数学教学也是一种启示。在这种小组合作学习的模式下，教师在教室里的角色更象学生的辅导者或帮助者。他们设置环境，帮助学生提出问题并进行探索，刺激学生解答问题，并为学生提供他们需要使用的工具与资源，以便学生能够建构知识。教师不可能——也不应该期望——完全掌握与某个主题有关的内容，他们需要知道的是如何引导学生，如何问学生一些探试性的问题，如何使学生与有关的资源联系起来，如何提供给他们存储、操纵与分析信息的工具。3．利用计算机复习、作业在课后，可以利用一些辅导软件来巩固和熟练某些已经学会的知识和技能。提高学生完成任务的速度和准确性。辅导软件把计算机变成了教师。这种课件不仅提供文字、图形、动画视频图象，还有语音解说和效果音响，文、图并茂，具有很好的视听效果。教学内容的组织多按章节划分知识点模块，学习者可以根据需要自取进度，个别系统逐步深入地学习，复习已经学过的知识内容。这种课件能够补充课堂学习的内容和加强概念的学习。交互性、及时反馈和足够耐心的优点使