第二章 分数（压轴题专练）（解析版）

第二章分数（压轴题专练）压轴题1分数的基本性质例题1一个分数的分子与分母的乘积是500，将它化成最简分数是，则原分数为．【答案】【分析】结合题意，根据分数的性质计算，即可得到答案．【详解】∵一个分数的最简分数是设分子和分母的最大公因数为x∴分子为：4x，分母为：5x结合题意得：∴∴分子为：20，分母为：25∴原分数为故答案为：．压轴题2分数的大小比较例题2我们可以用下面的方法比较两个分数的大小（交叉相乘法）：（1）分别用每一个分数的分子去乘另一个分数的分母，哪个分子乘得的积大．这个分数就大．比如：比较与的大小．因为，所以．请用这种方法比较两个分数的大小：____________；____________．（2）一个分数的分子、分母相差3．如果分子、分母同时加上13后可化简为最简分数，求原分数．【答案】（1）>，>；（2）【分析】（1）根据题意，用交叉相乘法计算，即可得到答案；（2）根据分数和最简分数的性质计算，即可得到答案．【详解】（1）∵∴∵∴故答案为：>，>；（2）设分子为x，则分母为x+3结合题意得：∴∴∴原分数为：．例题3观察：

（1）你能总结出什么规律？（2）比较与的大小．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意根据图片可以看出单位“1”相同时，，且分子依次增加1，分母依次增加1；（2）根据题意结合（1）得出的规律，可知到分子分母也分别增加了1，从而得解．【详解】解：解：（1）由到到到得到：前一分数分子依次增加1，分母依次增加1，则前一分数值小于后一分数值，所以；（2）因为＜，所以前一分数值小于后一分数值，则有．【点睛】本题考查图形与数字的规律，解题的关键是根据图形及各分数分子和分母的变化找到规律．跟进练习阅读材料并回答问题：我们学习过许多分数比较大小的方法，如通分，或将分子变成相同的数或将分数化成小数，都是有效的分数大小比较的方法，但是并不是所有的数都适合用这样的做法来比较大小．(1)请问下列适合用通分来比较大小的一组数是；适合将分数化成小数来比较大小的一组数是；①；②，，，③，，，(2)我们经常也会用到将分数与比较大小，进而比出分数大小的方法．如，，这三个数，比0.5要小，而．我们就可以比较这三个数的大小（用“＜”连接）．像这样的方法称为“中间数”比大小法，中间数有时也可以是其他数字．(3)阅读上述材料后，完成下列问题（没有用到第（2）小题材料中做法的不得分）：①，，，，这组数中，哪一个最小？②，，，，，，这组数中，第三小的是哪一个？【答案】(1)①；②；(2)(3)①本组数中，最小；②这组数中，第三小的是．【分析】（1）根据分数的特点、通分法则判断即可；（2）根据有理数的大小比较法则解答；（3）①先比较各个分数与的大小，再比较和的大小即可；②先比较各个分数与的大小，再比较、、的大小，进而得到答案．【详解】（1）解：适合用通分来比较大小的一组数是①，适合将分数化成小数来比较大小的一组数是②，故答案为：①；②；（2）解：∵，，∴，故答案为：；（3）解：①∵，∴、和是较小的两个数，∵，，∴，∴本组数中，最小；②∵，∴较小的三个数是；∵，∴，∴这组数中，第三小的是．【点睛】本题考查的是分数的通分，掌握分数的基本性质、分数的大小比较法则是解题的关键．压轴题3分数的简便运算例题4观察：根据上述式子，完成下列问题：(1)＝﹣，＝+．(2)计算：．(3)计算：．(4)解方程：．【答案】(1)7，8，8，9(2)(3)36(4)x＝【详解】（1），故答案为：7，8，8，9（2）（3）（4）∵∴即：∴即∴例题5计算：．【答案】【分析】首先计算括号内的部分，然后连续约分即可求解．【详解】原式．故答案为．【点睛】本题考查了分数乘法，熟练掌握分数乘分数的意义和运算法则是本题的关键，重点是先去括号，然后计算连乘．跟进练习1.设a，b，c，d为自然数，且，，求a，b，c，d．【答案】；；；；；【分析】根据得到，由大小关系得到，从而得到a，依次类推得到b、c，最后计算判断即可．【详解】∵，∴，∴，∴，∵a，b，c，d为自然数，∴a=2或3，当时，，∴，∴b=3或4或5，当时，，∴，∴c=4或5或6或7或8或9或10或11，由，依次代入经过计算可得：，，，，，．2.观察：那么直接写出下面的计算结果：．【答案】【分析】根据已知条件可得，然后将各个相乘项以此规律变形计算求解即可．【详解】解：原式====故答案为：．【点睛】此题主要考查了分数的运算规律性知识，运用已知条件得出分数的分子与分母的变化是解决问题的关键，对于该问题中需要提取，才能正确计算．压轴题4运算律使用例题6计算：．【答案】【分析】把带分数拆成整数和小数，再相加即可．【详解】．跟进练习计算：【答案】1【分析】设，，原式变形进行计算即可求解．【详解】解：设，，原式=====1.【点睛】本题考查了分数的混合运算，整体思想的运用是解题的关键．压轴题5循环小数化分数例题7计算：．【答案】【分析】将无限循环小数化为分数，再进行分数的加法运算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题主要考查无限循环小数与分数的互化以及分数加法的运算法则，将无限循环小数化为分数是解题关键．压轴题6应用类问题例题8马路上有一辆车身长为米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时千米．路一旁的人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？【答案】再过16秒以后甲、乙两人相遇【分析】根据题意先求出甲、乙的速度，然后求出相遇前两人之间的路程，再根据相遇问题的特点解答.【详解】解：车速为每秒：（米），所以甲的速度为每秒：（米），乙的速度为每秒：（米），汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：（米），所以甲、乙再次相遇时间：（秒）；答：再过16秒以后甲、乙两人相遇．【点睛】本题考查了行程问题，正确理解题意、熟知路程、速度与时间的关系是解题的关键．跟进练习甲、乙合作完成一项工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高了，乙的工作效率比单独做时提高，甲、乙合作6小时完成了这项任务．如果甲单独做需要11小时，那么乙单独做需要多少小时？【答案】18小时【分析】根据题意，把这项工程看作单位“1”，则甲的工作效率为，甲在合作时的工作效率为×(1+)＝，甲乙合作的工作效率为，用合作的工作效率减去甲在合作时的工作效率，就是乙在合作时的工作效率，再用乙在合做时的工作效率除以（1+），既得乙的工作效率．然后根据工作总量÷工作效率=工作时间，求出乙独做的时间．【详解】解：乙在合作时的工作效率：−×(1+)=−=，乙独做时的工作效率：÷(1+)=÷=，乙独做所用时间：1÷=18（小时），答：乙单独做需要18小时．【点睛】本题考查工程问题．关键把这项工作看成单位“1”，工作效率分别用分数表示出来，通过工作效率之间的数量关系求出乙独做时的工作效率，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，求出乙独做的工作时间．巩固训练1.简便运算．（1）；

（2）；（3）；

（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）首先将除法转化为乘法，然后约分求解即可；（2）先求出括号内的值，然后将除法转化为乘法，最后约分求解即可；（3）首先将除法转化为乘法，然后根据加法计算法则计算即可；（4）首先将除法转化为乘法，然后应用乘法分配了即可．【详解】（1）．（2）（3）．（4）．故答案为（1）；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查了分数的四则混合运算，关键是去括号时要注意符号变化问题，并且要熟练掌握分数四则混合运算法则．2.已知：；；；…；请根据这个规律计算．【答案】【分析】根据分数分解的规律可以发现第一项的减数和第二项的被减数正好抵消，以此类推，整个式子就只剩第一项的被减数和最后一项的减数，依照这个规律可得到结果．【详解】，故答案为：．【点睛】本题考查了分数的分解规律，依照规律发现加减可以相互抵消，进而可以解决本题，但是本题难度大，需要很强的理解能力和运算能力．3.（1）操作：如果把圆的面积看作整体1，请在图中用阴影部分表示出分数，，，，再观察式子，；；；思考并回答下列问题．（2）把分数，，，由小到大的顺序排列是_________________．（3）比较大小．________（填“<”或“>”）．（4）如果一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上1，所得的分数一定比原来的分数__________（填“大”或“小”）．（5）猜想，如果一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上相同的自然数，所得的分数（

）A．一定比原来的分数大B．一定比原来的分数小C．与原来的分数相等D．可能比原来的分数大，也有可能与原来的分数相等【答案】（1）见解析；（2）；（3）<；（4）大；（5）D【分析】（1）根据分数的意义进行表示即可；（2）根据（1）中面积大小进行比较即可；（3）根据题目可推得，从而得到结果；（4）根据（1）、（2）即可得到结果；（5）分“加上的自然数为0和加上的自然数不为0”两种情况，进行判断即可．【详解】（1）如图所示；（2）由（1）中阴影面积的大小得知，；（3）由（2）可推得，，∴；（4）由（1）、（2）可知，，，，∴一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上1，所得的分数一定比原来的分数大；（5）若一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上0，则所得的分数与原来的分数相等，若一个分数（且a，b为正整数）的分子和分母都加上相同的非零自然数，由（4）可知，所得的分数可能比原来的分数大，所以选D．的关键．4.姐、弟二人录入一批稿件，姐姐单独录入需要的时间是弟弟的，姐姐先录入了这批稿件的，接着由弟弟单独录入，共用24小时录入完．问：姐姐录入用了多少小时？【答案】小时【分析】设弟弟单独打印需要的时间为x小时，姐姐单独打印需要的时间是弟弟所需时间的，那么姐姐单独打印需要的时间就是小时，姐姐先打印了这批稿件的，那么需要的时间就是的，同理可得弟弟打完剩下的部分需要（1-）小时，根据姐姐和弟弟一共用了24小时列出方程求解即可【详解】解：设弟弟单独打印需要的时间设为x小时，那么姐姐单独打印需要的时间就是小时；；；（小时）答：姐姐录入用了小时5.如图，在一环行轨道上有三枚子弹同时沿逆时针方向运动．已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，在第