第十四章 整式的乘法与因式分解 重难点检测卷（解析版）

第十四章整式的乘法与因式分解重难点检测卷注意事项：本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置选择题（10小题，每小题3分，共30分）1．（2023上·北京海淀·八年级北京市八一中学校考期中）下列运算错误的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”，合并同类项法则“同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和指数不变”，同底数幂的除法法则“底数不变，指数相减”，积的乘方法则“先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘”，逐项判断即可．掌握各项运算法则是解题的关键．【详解】解：，故A选项运算正确；，故B选项运算正确；，故C选项运算正确；，故D选项运算错误；故选D．2．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）下列各式能用平方差公式进行计算的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了平方差公式，运用平方差公式时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．【详解】解：A、不符合平方差公式，故本选项不合题意；B、不符合平方差公式，故本选项不合题意；C、不符合平方差公式，故本选项不合题意；D、符合平方差公式，故本选项合题意；故选：D．3．（2023上·四川绵阳·八年级统考期中）如果，那么的值为（

）A．3 B．4 C．8 D．2【答案】C【分析】本题考查幂的乘方运算．，据此即可求解．【详解】解：∵，∴，故选：C4．（2023上·海南海口·八年级海南华侨中学校考期中）小华在利用完全平方公式计算一个二项整式的平方时，不小心用墨水把中间一项的系数染黑了，得到正确的结果为，则中间一项的系数是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】本题考查了完全平方公式，根据，直接作答即可．【详解】解：依题意，，则中间一项的系数是或，能使左右两边相等，即，或，故选：C5．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如果与的乘积中不含x的一次项，则的值为（

）A． B． C．0 D．3【答案】A【分析】根据与的乘积中不含的一次项，可得，进一步求解即可．【详解】解：，∵与的乘积中不含的一次项，∴，∴，故选：A．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解题的关键．6．（2023上·天津南开·八年级南开中学校考期中）已知，，则的值为(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了多项式的乘法，将代数式展开，将已知式子的值代入即可求解．【详解】解：∵，，∴，故选：D．7．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，现有三种类型卡片，卡片是边长为的正方形，卡片是边长为的正方形，卡片是两边长分别为和的长方形，若想拼出一个边长为的正方形，则需三种类型卡片的数量分别为（

）

A．2，3，6 B．4，9，0 C．4，9，6 D．4，9，12【答案】D【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，求出边长为的正方形的面积即可求解．【详解】解：∵，∴需三种类型卡片的数量分别为4，9，12．故选D．8．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）将多项式进行因式分解得到，则的值为（

）A． B． C．9 D．【答案】D【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答．【详解】解：依题意，因为多项式进行因式分解得到，所以那么，，故，，所以，故选：D9．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）已知，则的值是（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，利用提取公因式法因式分解是解题关键．将变形为，可得，再将代入所求式子中即可求解．【详解】解：，，，，，，原式，故选：B．10．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知，，，则的值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】本题考查了完全平方公式的应用，由题意得，把溱成两个数的差的平方形式即可求解；灵活运用完全平方公式是解题的关键．【详解】解：由题意得，则，故选：D．二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）11．（江苏省南京市联合体2023-2024学年七年级上学期期中数学试题）若，则．【答案】64【分析】本题考查的是幂的乘方运算的逆运算，理解是解本题的关键．【详解】解：∵，∴，故答案为：12．（2022下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期中）计算．【答案】【分析】利用积的乘方的计算法则的逆运算计算即可；【详解】解：【点睛】本题考查了积的乘方运算法则的逆运算，熟练掌握计算法则是解决本题的关键．13．（2023上·四川眉山·八年级校考阶段练习）如果是一个完全平方式，则m的值是．【答案】6或0【分析】运用完全平方式的特征进行求解．【详解】解：∵是一个完全平方式，∴，解得：或0．故答案为：6或0．【点睛】此题考查了完全平方式概念的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行求解．14．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，点C是线段上的一点，以为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为．

【答案】6【分析】由完全平方公式，求出与的积，即可求解；【详解】设∵四边形是正方形,故答案为：6．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，关键是应用此公式求出与的乘积．15．（2023上·河北承德·八年级统考期中）已知，则的值是．【答案】7【分析】本题考查了完全平方公式，根据，直接作答即可．【详解】解：∵，∴，则，故答案为：716．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考期中）利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由，就可求出多项式的最小值．例如：求多项式的最小值．解：．因为，所以，即当时，，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1，若代数式，则代数式A的最小值为．【答案】1【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方公式将变形为，即可得解．【详解】解：∵，∴A的最小值为1，故答案为：1．17．（2023上·宁夏石嘴山·九年级校考阶段练习）我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了展开式的系数规律．代数式的值为1时，则的值为．【答案】4或2【分析】根据系数规律得出，令，，由代数式的值为1得出，进而求出x的值．【详解】解：由系数规律可得：，令，，∴，∵，∴，∴，∴或，故答案为：4或2．【点睛】本题考查了数字的变化规律，整式的乘法，熟练掌握展开式的系数规律是解题的关键．18．（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）下列说法：①已知，，满足，则；②已知，，是正整数，，且，则，，；③实数，，满足，，则代数式的值可以是6；其中正确的是（请在横线上填写序号）．【答案】①②/②①【分析】①利用完全平方公式及平方的非负性判定即可，②利用平方差公式转化成方程组，判定方程组的整数解即可，③两方程相减得，根据x，y得取值判断即可．【详解】解：①，，，，，，故①正确，②，，，是正整数，，都是整数，，，，而5只能分解成1和5的乘积，，解得：，，，或，，，，，不符合题意舍去，故②正确，③实数，，满足，，两方程相减得：，当x，y均大于或等于0时，即，，则，故不成立，当x，y有一个大于0有一个小于0时，，故不成立，当x，y都小于0时，，不符合题意，故③错误．故答案为：①②．【点睛】本题考查了完全平方公式及平方的非负性，方程组的整数解，熟练掌握相关知识是解题关键．三、解答题（8小题，共66分）19．（2023上·广东广州·七年级广州市天河区汇景实验学校校考期中）化简：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了整式的混合运算．（1）利用合并同类项法则计算即可；（2）先去括号，利用单项式乘多项式展开，再合并同类项．【详解】（1）解：；（2）．20．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解．（1）利用提公因式法进行因式分解；（2）先提取公因式，再利用平方差公式法分解．【详解】（1）；（2）．21．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查的是多项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握“”和“”是解题的关键．【详解】解：原式当，时，原式．22．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）已知，，(1)求代数式的值；(2)求代数式的值．【答案】(1)1(2)3【分析】（1）利用完全平方公式计算即可；（2）先因式分解，再代入求值即可．【详解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，原式．【点睛】本题考查了完全平方公式，因式分解，代入求值等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．23．（2023上·山西晋城·八年级统考期中）在现今“互联网+”的时代：密码与我们的生活已经密不可分．而诸如“000000”“666666”“生日”等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是将一个多项式分解因式．如多项式：分解因式的结果为，当，时，，，，此时可以得到6个6位数的数字密码141812，141218，181412，181214，121418，121814．(1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成哪些数字密码？（写出三个）(2)小敏同学设计的多项式，根据上述方法，当，时，写出多项式分解因式后形成的八位数的数字密码．（写出一个）【答案】(1)可得数字密码是251931，253119，192531（答案不唯一）(2)八位数的密码为18181010（答案不唯一）【分析】本题主要考查了因式分解的应用；（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，求出，，然后写出数字密码即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，然后再用平方差公式分解因式即可．解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．【详解】（1）解：，当，时，，，∴可得数字密码是251931，253119，192531．（答案不唯一）（2）解：，当，时，，，即八位数的密码为18181010．（答案不唯一）24．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）图是由边长分别为，的两个正方形拼成的图形，其面积为，图是长、宽分别为，的长方形，其面积为．

(1)图是由图中的图形补成的大正方形，其面积为，则，，的数量关系是______；(2)对于图，通过两种不同方法计算它的面积，可以得到一个代数恒等式是：_______；(3)在图边长为的正方形中放入两个边长为的小正方形，得到图所示的图形，若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）因为整体图形的面积等于各部分面积之和，所以，故；（）；（）因为，所以，由，，，可得；此题主要考查整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．【详解】（1）由题意知：，．∵，，，∴，故答案为：；（2），，，，故答案为：；（3）∵，，，∴，，∴，又∵，∴，，．25．（2023上·全国·八年级专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式：．(1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式）(2)利用（1）中所得到的结论，填空：已知，，则；(3)如图3，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和．①用含，的式子表示阴影部分的面积；②若，，则阴影部分的面积．【答案】(1)用不同的形式表示这个大正方形的面积为，，(2)45(3)①，②20【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合，利用面积法正确写出相关图形的面积．（1）图2大正方形边长为，其面积为，分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为，二者面积相等，从而可得要求得等式；（2）将，代入（1）中等式，变形可得答案；（3）①利用等于直角三角形的面积加上正方形的面积，再减去三角形的面积，化简即可得答案；②将①中结论配方，然后将，代入计算即可．【详解】（1）解：图2大正方形边长为，其面积为，分部分看，是由8个长方形，一个小正方形构成，其面积和为二者面积相等由此得等式：．（2）解：，故答案为：45．（3）解：①故答案为：．②由①知阴影部分面积为，故答案为：20．26．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”．如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为．(1)下列各组多项式互为“对消多项式”的是（填序号）；与；与；与(2)多项式与多项式（，为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消值”；(3)关于的多项式与互为“对消多