专题13 垂美四边形模型与378、578模型（解析版）

专题13垂美四边形模型与378、578模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、垂美四边形模型规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形图1图2图3条件：如图1，已知四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD；结论：①AB2+CD2＝AD2+BC2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。【变形1】条件：如图2，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP；结论：DP2+BP2=AP2+PC2【变形2】条件：如图3，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP；结论：AP2+PC2=DP2+BP2用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．【答案】34【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形的对角线，互相垂直，若，，则的长为（

）A．2.5 B．3 C．4 D．【答案】D【分析】在中，，在中，，再根据即可得出答案．【详解】解：在中，，在中，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，正确利用勾股定理是解题的关键．例3．（2023·江苏南通·九年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形．已知垂美四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC＋BD＝12，则当AC＝时，四边形ABCD的面积最大．【答案】6【分析】根据垂美四边形的性质列出函数解析式，进行求解即可．【详解】解：设，则∵四边形ABCD的对角线互相垂直，∴，则：．∴AC=6时，面积有最大值；故答案是6．【点睛】本题主要考查了配方求最大值，准确分析计算是解题的关键．例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____．【答案】4﹣2【分析】以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，根据题意可得，即可求出CE的长度，当C、D、E三点共线时，AB的值最小，且为CE与CD长度之差，故AB最小值可求．【详解】解：以AD、BD为边作矩形ADBE，连接CE、DE，如图所示：则AB＝DE，由题意得：，即，解得：CE＝，当C、D、E三点共线时，DE最小，∴AB的最小值＝DE的最小值＝CE-CD＝-2，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查了以几何为背景的推理与论证、两点之间线段最短，解题的关键在于通过题目中已给的新知推断CD、CE、CA、CB之间的长度关系，并应用两点之间线段最短的定理，求出对应的最值．例5．（2022秋·江苏·八年级专题练习）我们给出如下定义：若一个四边形中，从一个顶点出发的两条边与一条对角线满足：两条边的平方和等于该对角线的平方，则称这个四边形为“爪勾股四边形”．如图1，四边形的顶点都是正方形网格中的格点，每个小正方形的边长为1，，则称四边形是“爪勾股四边形”．（1）如图1，在正方形网格中找一格点（异于点），使四边形是“爪勾股四边形”，并画出四边形；（2）如图2，，，，连接、，且．求证：四边形是“爪勾股四边形”．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）可找一格点E，使BE=5，则有AB2+BC2=BE2，问题得解；（2）连接CE，则由已知可得BC=CE，∠DCE=90°，所以结合勾股定理可得DC2+BC2=AC2，问题得证．【详解】解：（1）如图，E为一格点，则由勾股定理可得：BE=，，∵AB=3，BC=4，∴AB2+BC2=BE2，∴四边形ABCE是“爪勾股四边形”；（2）如图，连接，∵，，∴是等边三角形，∴，，又∵，∴∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°，∵，∴，∵，，，∴，∴．∴在中，，∴，∴四边形是爪勾股四边形．【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握勾股定理的应用、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题关键．例6．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长．【答案】(1)，(2)，证明见解析(3)【分析】（1）利用含角的直角三角形的性质得，，再利用勾股定理即可得出答案；（2）由“垂美四边形”得，再根据勾股定理得；（3）连接，，首先利用证明，得，说明，从而得出，进而解决问题．（1）解：，，，四边形是“垂美四边形”，，，，，，，，故答案为：，；（2）结论：，证明：∵于点O，∴，∴.同理可得，，∴（3）解：如图：连接CG、BE，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴四边形GCBE为垂美四边形，由（2）中结论可知，∵，，∴，∴，，∴，，∴，∴，根据线段为正数可知【点睛】本题是一道新定义题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正方形的性质等知识，利用（2）中结论是解决问题（3）的关键．模型2、378和578模型当我们遇到两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形。条件：当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时；结论：①这两个三角形的面积分别为63、103；②3、8与5、8夹角都是60°。例1．（2023·山东八年级课时练习）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作AD⊥BC于D，设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，由勾股定理得72−（5−x）2＝82−x2，得出CD＝4，则CD＝AC，再证∠CAD＝30°．【详解】法1：∵△ABC的边长为5，7，8，∴其可以和边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如图，观察图形可知∠C为等边三角形的一个内角，所以∠C=60°.故选C.法2：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：设CD＝x，则BD＝BC−CD＝5−x，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2−BD2，在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2−CD2，∴AB2−BD2＝AC2−CD2，即：72−（5−x）2＝82−x2，解得：x＝4，∴CD＝4，∴CD＝AC，∴∠CAD＝30°，∴∠C＝90°−30°＝60°，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的判定、三角形内角和定理等知识；熟练掌握勾股定理，证出∠CAD＝30°是解题的关键．例2．（2022·江苏·八年级专题练习）已知在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，则∠B＝（

）．A．45° B．37° C．60° D．90°【答案】C【分析】法1：拼成一个边长为8的等边三角形，即可求解。法2：过点A作交BC延长线于点D，设CD=x，则BC=3+x，在和中，利用勾股定理求出，可求出CD的长，从而得到BD的长，然后利用直角三角形的性质即可求解．【详解】法1：∵△ABC的边长为3，7，8，∴其可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如图，观察图形可知∠B为等边三角形的一个内角，所以∠B=60°.故选C.法2：如图，过点A作交BC延长线于点D，∵在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝3，可设CD=x，则BC=3+x，在中，，在中，，∴，解得：，∴BC=3+x=4，∴在中，，∴，∴．故选C．【定睛】本题主要考查了勾股定理及直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于是解题的关键．例3．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．解：作AD⊥BC于D，由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，解得，CD＝1，则BC边上的高AD＝＝4．另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。例4．（2023·成都市·八年级专题练习）在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（

）A．24 B．56 C．48 D．112【答案】A【分析】如图，过作于，设，则，根据中，利用勾股定理建立方程，求得，继而用勾股定理求得，从而求得面积．【详解】法1：∵该三角形的三边长的比为3∶7∶8，∴其可以和三边长的比为5∶7∶8的三角形（边长为10，14，16）拼成一个边长为16的等边三角形，∴拼成的等边三角形的高为83，∴△ABC的面积为12×6×83=243法2：如图，过作于，设，则，在中解得故选A【点睛】本题考查了勾股定理的应用，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．例5．（2023·河北·八年级校考阶段练习）若△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边长分别为5，2x，3x－5，若这两个三角形全等，则△DEF的周长为______________，x的值为_______________．【答案】

20

4【分析】有两三角形全等可得出关于x的一元一次方程组，解方程即可得出结论．【详解】∵两个三角形全等，∴或，解得：无解或x=4.△DEF的周长=5+8+7=20.故答案为20，4.另解：可以和三边长为3，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，从而求解。【点睛】此题考查全等三角形的性质，解题关键在于根据题意列出方程.例6．（2023·重庆·八年级专题练习）△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为．解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．∵∠BAD＝30°∴＝，AC＝7，∴AD＝x．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴当x1＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD＝×8××＝6；当x2＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD＝×8××＝10．故答案为6或10．课后专项训练1．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M，由题意可证四边形ABFM，四边形DCFM是矩形，可得AM=BF，MD=CF，MF⊥AD，根据勾股定理可得：．【详解】如图：过点E作EF⊥BC，延长FE交AD于点M．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°又∵EF⊥BC∴四边形ABFM，四边形DCFM是矩形∴AM=BF，MD=CF，MF⊥AD∵，，，∴故：选C．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，添加恰当辅助线构造矩形是本题的关键．2．（2023·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（

）A．16 B．32 C．36 D．64【答案】B【分析】利用对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求解即可．【详解】解：设，四边形面积为S，则，则：当时，S最大为：32﹔故选：B．【点睛】本题主要考查配方求最大值，能够正确利用面积计算公式结合方程思想是解题关键．3、当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是．解：∵边长为3，7，8的三角形，可以和边长为5，7，8的三角形拼成一个边长为8的等边三角形，如图，∴拼成的等边三角形的高为43，∴这两个三角形的面积之和为12×8×43=1634．（2023·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于．解：过A作AD⊥BC，交BC于D，△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，∴BD＝4，AD＝4，则CD＝1，ED＝1．∴AE＝＝＝7．故答案为：7．5．（2023·河北·八年级专题练习）已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为．解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，则∠ADC＝90°．∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°．设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．∵∠BAD＝30°，AC＝7，∴AD＝．∴（x）2+（8﹣x）2＝72．解得x1＝，x2＝．∴当x＝时，AB＝2x＝3；当x＝时，AB＝2x＝5．故AB为3或5．故答案为：3或5．6．（2023春·湖北·八年级期中）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，则图中的“等垂四边形”是；如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，则边AB长的最小值为．【答案】【分析】如图：延长交于点H，先证可得，．结合可得，即，从而得到四边形是“等垂四边形”；如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接，然后根据中位线的定义可得，再，根据平行线的性质可得，由角的和差可得，由勾股定理可得；如图③：延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，由,由勾股定理可得即可解答．【详解】解：如图①，延长交于点H，∵四边形与四边形都为正方形，∴．∴．∴．∴．∵，∴，即，∴．∴．又∵，∴四边形是“等垂四边形”；如图②，延长交于点H，分别取的中点E、F、G，连接∴∴．∴∴,∴．延长交于点H，分别取的中点E，F．连接，则，∴故答案为：，．【点睛】本题属于四边形的综合问题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．7．（2023春·湖北鄂州·八年级统考期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于，若，，则．

【答案】100【分析】由得，由勾股定理可得，，，，由，可得，即可得到答案．【详解】解：，，，，，，，，故答案为：100．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题的关键．8．（2023春·广西崇左·八年级统考期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则．【答案】34【分析】在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，进一步得BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，再根据AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，最后求得AB2+CD2=34．【详解】解：∵BD⊥AC，∴∠COB=∠AOB=∠AOD=∠COD=90°，在Rt△COB和Rt△AOB中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB2，OD2+OA2=AD2，∴BO2+CO2+OD2+OA2=9+25，∵AB2=BO2+AO2，CD2=OC2+OD2，∴AB2+CD2=34；故答案为：34．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．9．（2023·山东·八年级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．10．（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．

(1)性质探究：如图1，已知四边形中，，垂足为，求证：；(2)解决问题：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰．如图2，当，连接，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）运用勾股定理可得：，，，，即可得证结论；（2）连接、交于点，根据等腰直角三角形的性质可得，通过证明，可得，利用（1）中的结论得，，即，计算即可得到答案．【详解】（1）证明：，，在中，，在中，，，在中，，在中，，，；（2）解：连接、交于点，如图，

，和都是等腰直角三角形，，，，，，，，又，即，，，利用（1）中的结论得，，即，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．11．（2023·江西九江·八年级统考期末）模型介绍（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即AB2+CD2=BC2+AD2，请结合图1证明这个结论．（2）如图2，在长方形ABCD中，AB=6，P是AD边上一点，且AP=2PD，CP⊥BD，求AD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【分析】（1）根据垂直的定义和勾股定理得出AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2，即可得出结论；（2）连接BP，设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，根据勾股定理以及垂美四边形的性质列方程即可求解．【详解】（1）证明：∵AC⊥BD，∴Rt△AOB中，OA2+OB2=AB2，Rt△AOD中，OA2+OD2=AD2，Rt△COB中，OC2+OB2=CB2，Rt△AOD中，OD2+OC2=DC2，∴AB2+DC2=OA2+OB2+OD2+OC2=AD2+CB2；（2）连接BP，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC，设PD=x，则AP=2x，AD=BC=3x，BP2=AB2+AP2=62+(2x)2=36+4x2，∵PC⊥BD，∴BP2+CD2=BC2+PD2，∴36+4x2+62=(3x)2+x2，化简得x2=12，解得x=2或x=−2(舍)．∴AD=6．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是矩形的性质、勾股定理的应用；熟练掌握矩形的性质，理解新定义，灵活运用勾股定理构建方程是解题的关键．12．（2023春·陕西西安·七年级陕西师大附中校考期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(2)性质探究：如图1，试探索垂美四边形两组对边、与、之间的数量关系并说明理由．(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，，，已知，，求的值．【答案】(1)是，理由见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）连接交于点G，根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）、交于点N，、交于点M，先证明四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．【详解】（1）如图，四边形是垂美四边形．证明：连接交于点G，

∵，∴点A在线段的垂直平分线上，∵，∴点C在线段的垂直平分线上，∴直线是线段的垂直平分线，∴，即四边形是垂美四边形；（2）猜想结论．如图1，已知四边形中，∵，∴，由勾股定理得，，，∴；（3）如图，、交于点N，、交于点M，

∵，∴，即，又∵，，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四边形是垂美四边形，由（2）得，，∵，，∴，∴，又∵∴，由（2）可得．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．13．（2023春·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：在下列四边形中，正方形；矩形；菱形；平行四边形．是垂美四边形的是：______（填写序号）；(2)性质探究：如图，垂美四边形中，，垂足为，试猜想：两组对边，与，之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决：如图，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，且与相交于点，已知，，求长．【答案】(1)①③(2)；理由见解析(3)【分析】（1）根据垂美四边形的定义进行判断即可；（2）根据勾股定理得出，，，，即可得出结论；（3）连接，，根据勾股定理得出，证明，得出，证明，得出，根据解析（2）的结论可知，，求出，即可得出结论．【详解】（1）解：正方形的对角线互相垂直平分且相等；矩形的对角线互相平分且相等；菱形对角线互相垂直平分；平行四边形的对角线互相平分；因此是垂美四边形的是①③；故答案为：①③；（2）解：；理由如下：∵，∴，∴，，，，∴，，∴；（3）解：连接，，如图所示：

∵在中，，，∴，∵四边形和为正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，根据解析（2）的结论可知，，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了正方形、矩形、菱形和平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，证明．14．（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是__________．(2)性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，求证：．(3)问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长．【答案】(1)菱形，正方形(2)见解析(3)【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；（2）利用勾股定理即可得出结论；（3）先判断出，得出四边形是垂美四边形，借助（2）的结论即可得出结论．【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，∴菱形和正方形一定是垂美四边形，故答案为：菱形、正方形；（2）证明：如图，连接，交于点．

四边形是垂美四边形，，．由勾股定理，得，，．（3）如图，连接，．

，，即．在和中，，，，，．又，．又，，，四边形是垂美四边形．由（2）可知，，，由勾股定理，得，，，，．【点睛】本题是四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．15．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）小明学习了平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现了这样一类特殊的四边形：两条对角线互相垂直的四边形，叫做垂美四边形．(1)【理解定义】在“平行四边形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形”中，一定是垂美四边形的是．(2)【探究性质】如图1，在垂美四边形中，对角线相交于点O，猜想之间的数量关系，并写出证明过程．(3)【综合运用】如图2，在中，，分别以为腰向外侧作等腰和等腰，且，连接．①图中哪个四边形是垂美四边形？并证明你的结论．②求的长（直接写出答案）．【答案】(1)菱形、正方形(2)，见解析(3)①四边形是垂美四边形，见解析；②【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论；（2）利用勾股定理即可得出结论；（3）①根据证明，得，再由三角形内角和定理得，从而可得结论；②根据等腰直角三角形的性质可得，再代入计算即可【详解】（1）∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形，∴菱形和正方形一定是垂美四边形，故答案为：菱形、正方形；（2）∵，垂足为点E，∴，由勾股定理得，，，∴；故答案为：，（3）①连接与交于点O，与交于点N，如图，∵，∴，即，∵是等腰直角三角形，∴∴，∴，∵∴，∴，即CE⊥BG，∴四边形是垂美四边形；②∵在中，，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵四边形是垂美四边形，∴，即解得，【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．16．（2023春·江苏·八年级专题练习）阅读理解：如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．垂美四边形有如下性质：垂美四边形的两组对边的平方和相等