专题13.3 利用轴对称的性质解决将军饮马问题之五大题型（解析版）

专题13.3利用轴对称的性质解决将军饮马问题之五大题型【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【题型一在几何中找线段和最小值的点】 1【题型二三角形中线段和的最小值问题】 6【题型三在角中线段和最小值的问题】 13【题型四在全等三角形中线段和最小值的问题】 18【题型五实际问题中的最短路径问题】 22【典型例题】【题型一在几何中找线段和最小值的点】例题：如图，已知，两点在直线的同一侧，根据题意，用尺规作图．

(1)在（图①）直线上找出一点，使；(2)在（图②）直线上找出一点，使的值最小；(3)在（图③）直线上找出一点，使的值最大．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求；（2）作点关于直线的对称点，连接，线段与直线交于点，则点即为所求．（也可作关于直线的对称点）（3）过点，作直线与直线交于点，则点即为所求．【详解】（1）如图①，点P即为所求

此时；（2）如图②，点P即为所求

此时的值最小；（3）如图③，点P即为所求

此时最大．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用，解题的关键是正确画出图形．【变式训练】1.如图，在平面直角坐标系中，点．(1)在图中作出关于y轴对称的；(2)在y轴上画出点P，使得最小，并直接写出点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)见解析，【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点的位置进而得出答案．（2）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．【详解】（1）作如图所示，（2）如图所示，∵点与点关于y轴对称，且P点在y轴上，∴，∴，要使最小，连接即可，∴P点坐标为．故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．2．在如图所示的直角坐标系中，已知，，．(1)在图中画出，以及关于y轴成轴对称的；(2)的面积为______；(3)在x轴上找一点P，使得的周长最小（保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析(2)7(3)见解析【分析】（1）根据A（1，4），B（3，1），C（5，5），即可在图中画出△ABC，再根据轴对称的性质即可画出△ABC关于y轴成轴对称的△DEF；（2）根据网格利用割补法即可得△ABC的面积；（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接CB′交x轴于点P，即可使得△PBC的周长最小．【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求；△DEF即为所求；（2）解：△ABC的面积＝4×4−×2×3−×2×4−×1×4＝7；故答案为：7．（3）解：如图，点P即为所求．【点睛】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．3．如图，三个顶点的坐标分别为，，．

(1)请画出向右平移5个单位长度后得到；(2)在x轴上找出一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标．【答案】(1)见解析(2)，图见解析【分析】（1）分别把、、三点向右平移5个单位得到、、即可解决问题．（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求．【详解】（1）解：如图所示，即为所画．

（2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于，点即为所求．此时．

由对称的性质可得，∴，根据两点之间线段最短，此时最小，∵的周长，∴此时的周长最小．【点睛】本题考查作图平移变换，轴对称最短问题、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．【题型二三角形中线段和的最小值问题】例题：（2023·浙江·八年级假期作业）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点E，F分别是，上的动点，则的最小值是（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】解：作关于的对称点，是的角平分线，点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，的面积为12，长为6，，垂直平分，，，，的最小值是4，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线．【变式训练】1．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，在中，，，面积是10；的垂直平分线分别交，边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为（

）

A．7 B．9 C．10 D．14【答案】A【分析】连接，根据线段垂直平分线性质得，周长，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出，，即可得出答案．【详解】解：如图所示．连接，

∵是的垂直平分线，∴，∴周长．连接，∵，点F是的中点，∴，∴．∵，∴，，∴周长的最小值是．故选：A．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断周长的最小值是解题的关键．2．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交，边于，点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为；

【答案】9【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，．

是等腰三角形，点是边的中点，，，解得，是线段的垂直平分线，点关于直线的对称点为点，的长为的最小值，的周长最短．故答案为：9．【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．在中，，D是边上一点，，E，F分别是边上的动点，则的最小值为．【答案】5【分析】延长作，连接，由点到直线的距离可知当时有最小值，根据30度角的直角三角形性质作答即可．【详解】解：延长作，连接，此时，∵最小，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，故答案为：5．【点睛】本题考查了求最短距离，含30度角的直角三角形的性质，正确构造辅助线是解题的关键．4．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．

【答案】【分析】作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，证明即可．【详解】解：作点关于的对称点，延长至，使，连接，交于，此时的值最小，就是的长，

，，，，，，，，是等边三角形，点E为边上的中点，，，即的最小值为，故答案为：．【点睛】本题考查了轴对称，最短路径问题和直角三角形的性质，解题的关键是根据轴对称的性质作出对称点，掌握线段垂直平分线的性质和等边三角形的性质与判定的灵活运用．5．如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，．(1)求的最小值，并说明理由．(2)求周长的最小值．【答案】(1)6，理由见解析(2)10【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论；（2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【详解】（1）解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短；原因：两点之间，线段最短．（2）∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上，∴点C关于直线m的对称点是点B，则，∵，∵，要使周长最小，即最小，当点P是直线m与AB的交点时，最小，即，此时．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．6．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．(1)若∠B=70°，则∠NMA的度数是；(2)探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；(3)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．【答案】(1)50°(2)∠AMN=2∠B-90°，理由见解析(3)①6cm；②存在，图见解析，8cm【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，再根据直角三角形两锐角的关系，可得答案；（3）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据题意得出点B关于直线MN的对称点为点A，要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，此时点P与点M重合，则可得PB＋PC的最小值．【详解】（1）解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠B=∠C=70°，∴，∵MN垂直平分AB，∴，∴．故答案为：50°．（2）解：∠AMN=2∠B-90°；理由如下：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-2∠B，又∵MN是AB的垂直平分线，∴∠ANM=90°，∴∠A+∠AMN=90°，∴∠AMN=90-∠A=90°-（180°-2∠B）=2∠B−90°．（3）①∵MN是AB的垂直平分线∴AM=BM∵C△BCM=BM+BC+CM=AM+MC+BC=AC+BC=14cm，又∵AB=AC=8cm，∴BC=14-8=6（cm）；②∵MN是AB的垂直平分线，∴AN=BN，∴点B关于直线MN的对称点为点A，∴要使PB+PC的值最小，则连接AC与直线MN的交点即为点P，∴点P与点M重合，PB+PC=AC=8cm，∴PB＋CP的最小值是8cm．【点睛】本题主要考查了轴对称，等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质、最短路径问题，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．【题型三在角中线段和最小值的问题】例题：（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是．【答案】/厘米【分析】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，得出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【详解】作M关于的对称点Q，过Q作于N，交于P，则此时的值最小，连接，则，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形的性质，轴对称—最短路径问题，垂线段最短的应用，确定点P、N的位置的解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东深圳·七年级统考期末）如图，点，分别是角两边、上的定点，，．点，分别是边，上的动点，则的最小值是．

【答案】4【分析】如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接，由轴对称的性质可得，，证明是等边三角形，；推出当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，作点D关于的对称点H，作点C关于的对称点G，连接，由轴对称的性质可得，，∴，∴是等边三角形，∴；∵，∴当H、F、E、G四点共线时，最小，即最小，最小为的长，∴的最小值为4，故答案为：4．

【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线确定有最小值的情形是解题的关键．2．（1）唐朝诗人李顾的诗古从军行开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题：如图所示，诗中大意是将军从山脚下的点出发，带着马走到河边点饮水后，再回到点宿营，请问将军怎样走才能使总路程最短？请你通过画图，在图中找出点，使的值最小，不说明理由；（2）实践应用，如图，点为内一点，请在射线、上分别找到两点、，使的周长最小，不说明理由；（3）实践应用：如图，在中，，，，，平分，、分别是、边上的动点，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的最小值为【分析】（1）作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；（2）分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；（3）过点C作，交于，于，连接ME，则最小，证明≌，可得，，可证得△COM≌△EOM，从而得到当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，再根据，可得，即可求解．【详解】解：（1）如图，作点关于直线小河的对称点，连接，交于，则最小；理由：根据作法得：，∴，∴当点共线时，最小；（2）如图，分别作点关于，的对称点和，连接交于，于，连接，，，则的周长最小；理由：根据作法得：，，∴，∴当点共线时，的周长最小；（3）如图，过点C作，交于，于，连接ME，则最小，，平分，，在和中，，≌，，，∵，OM=OM，∴△COM≌△EOM，，，∴当点N，M，E共线时，CM+MN最小，最小值为EN，且当EN⊥AC时，NE最小，过点C作CF⊥AB于点F，∵，，，，∴，解得：，∵，，∴的最小值为．【点睛】本题考查了轴对称性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”及其变形的模型．【题型四在全等三角形中线段和最小值的问题】例题：直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题．(1)问题情境：如图1，三个相同的三角尺拼成一个图形，直接写出图中的平行线；(2)问题理解：如图2，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，若点M是线段BC的三等分点（其中CM>BM），点P是线段AC上的一个动点，画出BP＋PM取得最小值时点P的位置，并说明理由；(3)问题运用：如图3，在三个相同的直角三角形拼成的一个图形中，点M是直线BD上的一个动点，点P是线段CE上的一个动点．若AC＝a、CE＝b、AE＝c（其中a、b、c为常数），求DP＋PM的最小值．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据平行线的判定定理解答即可；（2）延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P；（3）延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，证得△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，求出DP=NP，得到DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，利用S△BDN=×DN×BN=×BD×NH求出NH即可．【详解】（1）解：∵∠DEC=∠ACE，∴DE∥AC，∵∠DCE=∠B，∴CD∥AB，∵∠EAC=∠ACB，∴AE∥CB；（2）如图，延长BA至点Q，使AQ=BA，连接MQ交AC于一点即为点P，∵AB=AQ，AC⊥BQ，∴AC是BQ的垂直平分线，∴BP=PQ，∴BM+PM=PQ+PM=MQ；即此时BP＋PM取得最小值；（3）如图，延长DE至点N，使EN=DE，连接AN，∵AE∥DB，∴∠NEA=∠NDC，∠NAE=∠B，∴∠ENA=90°，∴△NDB是直角三角形，且△NAE是可以由△ECD平移得到，∴AN=CE，连接DP，NP，PM，过N作NH⊥DB于H，∵DE=NE，CE⊥DN，∴DP=NP，∴DP+PM=NP+PM，当N、P、M三点共线，且NM⊥DB时DP+PM有最小值，最小值为NH的长度，∵S△BDN=×DN×BN=×BD×NH，∴2c×NH=2a×2b，解得NH=，∴DP+PM的最小值为．【点睛】此题考查了平行线的判定定理，轴对称求最短路径问题，正确掌握轴对称的性质得到最短路径问题的思路并解决问题是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？【答案】(1)(2)9(3)当时，；当时，【分析】（1）根据轴对称的性质即可判断；（2）根据对称的性质，在上取点，使得，结合对称性质推出，确定三点共线且垂直于时，取得最小值，结合面积进行计算即可；（3）分和两种情况，根据翻折变换的性质和平行线的性质解答．【详解】（1）解：∵沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，∴，故答案为：；（2）解：如图所示，在上取点，使得，连接，根据对称的性质，，

∴，要求的最小值，求的最小值即可，∴当B、P、M三点共线，且时，取得最小值，此时，如图所示，

由对称的性质，，∵取得最小值时，，∴，即：，解得：，∴的最小值为9；（3）解：①当时，；∵由翻折变换的性质可知，，∴，∵，∴，∴，∴；②由翻折的性质，当时，．【点睛】本题考查全等三角形的性质、翻折变换的性质、轴对称-最短路径问题、等腰三角形的性质等，熟知折叠是一种对称变换，属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题关键．【题型五实际问题中的最短路径问题】例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）延长，取，再连接，与交于点E即可；（2）作出以为斜边的直角，求出直角边，利用勾股定理求出结果．【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置；（2）如图，作出以为斜边的直角，由（1）可知：，由题意可得：，，，∴，，，∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为．【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于的对称点是确定建水厂位置的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．【答案】(1)见解析；(2)50万元.【分析】（1）作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求；（2）连接交于H点，过点B作，根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】（1）解：如图，作点A关于直线的对称点，连接，交于M点，即M为所求.（2）解：如图，连接交于H点，过点B作，由题意可知：，，，∴，∴在中，，∴在中，，由对称性质可知：，水管长，完成这项工程乡政府投入的资金至少为（万元）【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，题目比较典型，是一道比较好的题目，考查了学生的动手操作能力和计算能力．2．如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．【答案】(1)475米(2)1000米，米【分析】（1）根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P．则AP＝P，AP+BP＝P+BP，PA+PB的最小值为B．（1）解