课时141空间向量的应用用空间向量研究直线平面的位置关系高二数学练习和分类专题教案

第一章空间向量与立体几何课时1.4.1空间向量的应用〔01〕用空间向量研究直线、平面的位置关系1.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念和求法。2.掌握用直线的方向向量、平面的法向量证明空间中直线、平面平行与垂直关系的方法。根底过关练题组一空间中点、直线和平面的向量表示1.O(0,0,0),N(5,-1,2),A(4,2,-1),假设ON=AB,那么点B的坐标为()A.(-1,3,-3)B.(9,1,1)C.(1,-3,3)D.(-9,-1,-1)2.假设A(-1,0,2),B(1,4,10)在直线l上,那么直线l的一个方向向量为()A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)3.A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,以下条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是()A.OM=OA+OB+OCB.OM=12OA+1C.OM=OA+12OBD.OM=2OA-OB-OC4.空间三点坐标分别为A(1,1,1),B(0,3,0),C(-2,-1,4),点P(-3,x,3)在平面ABC内,那么实数x的值为()A.1B.-2C.0D.-1题组二平面的法向量5.向量AB=(2,4,x),平面α的一个法向量n=(1,y,3),假设AB⊥α,那么()A.x=6,y=2B.x=2,y=6C.3x+4y+2=0D.4x+3y+2=06.假设两个向量AB=(1,2,3),AC=(3,2,1),那么平面ABC的一个法向量为()A.(-1,2,-1)B.(1,2,1)C.(1,2,-1)D.(-1,2,1)7.直线l的一个方向向量d=(2,3,5),平面α的一个法向量u=(-4,m,n),假设l⊥α,那么m+n=.

题组三空间中直线、平面的平行问题8.假设直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,那么可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)9.两个不重合的平面α与平面ABC,假设平面α的法向量为n1=(2,-3,1),向量AB=(1,0,-2),AC=(1,1,1),那么()A.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能10.向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量,假设l1∥l2,那么()A.x=6,y=15B.x=3,y=15C.x=83,y=103题组四空间中直线、平面的垂直问题11.设直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,m),假设l1⊥l2,那么实数m等于()A.1B.2C.3D.412.设u=(-2,2,t),v=(6,-4,5)分别是平面α,β的法向量,假设α⊥β,那么实数t的值是()A.3B.4C.5D.613.直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,那么实数z等于()A.3B.6C.-9D.914.点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),x,z∈R,假设PA⊥平面ABC,那么点P的坐标为()A.(1,0,-2)B.(1,0,2)C.(-1,0,2)D.(2,0,-1)15.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.证明:平面PAD⊥平面PBC.能力提升练题组一用空间向量研究平行问题1.()如下图,在正方体A1B1C1D1-ABCD中,棱长为a,M,N分别为A1B,AC上的点,A1M=AN=2a3,那么MN与平面BB1C1C的位置关系是()A.斜交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内2.()如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=2,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,那么点M的坐标为()A.(1,1,1)B.2C.2D.23.()在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=DD1=1,AB=3,E,F,G分别是棱AB,BC,CC1的中点,P是底面ABCD(不含边界)内的动点,假设直线D1P与平面EFG平行,求△BB1P的面积的最小值.4.()如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60°,M,N分别为AD,PA的中点,证明:平面BMN∥平面PCD.5.()如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,△ABD是边长为1的等边三角形,BC=3.问:线段BD上是否存在点N(不包括端点),使得直线CE∥平面AFN？假设存在,求出BNBD的值；假设不存在,请说明理由.题组二用空间向量研究垂直问题6.()如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,假设D1M⊥CP,那么△BCM面积的最小值为()A.8B.4C.82D.87.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,且AB=1,BC=2,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AE⊥PC于E.给出以下四个结论:①AB⊥AC；②AB⊥平面PAC；③PC⊥平面ABE；④PC⊥BE,其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.48.(多项选择)()点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,假设AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),那么以下结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP是平面ABCD的一个法向量D.AP∥BD9.()如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=b,点E,F分别在BB1,CC1上,且BE=13BB1,C1F=13CC1.设λ=ba.假设平面AEF⊥平面A1EF,10.()如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,且PA=AD,F是棱PD的中点,E是棱CD的中点.(1)证明:EF∥平面PAC；(2)证明:AF⊥PC.11.()如下图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上(不含端点).(1)是否存在点E,使PC⊥平面BDE？(2)是否存在点E,使平面PCD⊥平面AED？答案全解全析根底过关练1.B因为ON=AB,AB=OB-OA,所以OB=ON+OA=(5,-1,2)+(4,2,-1)=(9,1,1).应选B.2.A由得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),应选项A中的向量与AB共线,应选A.3.B由空间平面ABC的向量表示式知,空间一点M位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使OM=OA+xAB+yAC,可以变形为OM=(1-x-y)OA+xOB+yOC,注意到OA,OB,OC的系数和为1,满足这个条件的只有选项B,应选B.4.ABA=(1,-2,1),BC=(-2,-4,4),BP=(-3,x-3,3),可设BP=yBA+zBC(y,z∈R),那么y-2z=-5.A因为AB⊥α,所以AB∥n,由21=4y=x3,得6.A设平面ABC的法向量n=(x,y,z),由AB⊥n,AC⊥n,得x+2y+3z=0,3所以n=(-1,2,-1),应选A.7.答案-16解析∵l⊥α,∴d∥u,又d=(2,3,5),u=(-4,m,n),∴-42=m3=n5,解得8.D因为l∥α,所以m⊥n,即m·n=0,满足条件的只有选项D,应选D.9.A因为n1·AB=0,n1·AC=0,AB∩AC=A,所以n1也是平面ABC的法向量,又平面α与平面ABC不重合,所以平面α与平面ABC平行,应选A.10.D因为l1∥l2,所以a∥b,得32=x4=y5,解得x=6,y=1511.B因为l1⊥l2,所以a⊥b,那么a·b=-2+6-2m=0,解得m=2,应选B.12.B因为α⊥β,所以u⊥v,那么u·v=-12-8+5t=0,解得t=4,应选B.13.C由题意可得u⊥v,那么u·v=3+6+z=0,解得z=-9.应选C.14.CAB=(-1,-1,-1),AC=(2,0,1),PA=(-x,1,-z).∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,∴PA·AB=PA·AC=0,∴x解得x∴点P的坐标为(-1,0,2).应选C.15.证明取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,那么OM⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,∴OM⊥平面PAB,又PA=PB,∴PO⊥AB,∴以点O为原点建立空间直角坐标系,如图.设AP=2a,AD=b,那么A(0,-a,0),B(0,a,0),P(a,0,0),C(0,a,b),D(0,-a,b),∴AD=(0,0,b),AP=(a,a,0),BC=(0,0,b),BP=(a,-a,0).设n1=(x1,y1,z1)是平面PAD的法向量,n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量,那么由n1·AD=0,n1·AP=0得bz1=0,ax1+ay1=0,同理,bz2=0,ax2即n2=(1,1,0).∵n1·n2=1-1=0,∴平面PAD⊥平面PBC.能力提升练1.B建立如下图的空间直角坐标系,由于A1M=AN=2a所以Ma,2a3,a3,N又C1D1⊥平面BB1C1C,所以C1D1=(0,a,0)为平面BB1C1因为MN·C1D1=0,所以MN又MN⊄平面BB1C1C,所以MN∥平面BB1C1C.应选B.2.C连接OE.设点M的坐标为(x,y,1),因为AC∩BD=O,所以O22又E(0,0,1),A(2,2,0),所以OE=-22,-22,1,因为AM∥平面BDE,所以OE∥AM,所以x-2所以M点的坐标为22应选C.3.解析如图,建立空间直角坐标系,那么A(1,0,0),B(1,3,0),C(0,3,0),D1(0,0,1),C1(0,3,1),∴E1,32,0,F1∴EF=-12,32设n=(x,y,z)是平面EFG的法向量,那么n·EF=0,n·FG=0,代入坐标计算得-令x=3,那么y=1,z=3,∴n=(3,1,3).设P(m,s,0)(0<m<1,0<s<3),那么D1BP=(m-1,s-3,0),∵D1P∥平面EFG,∴n⊥D1∴n·D1P=3m+s-∴s=3-3m,易知BB1=1,∴S△BB1P=12BB1×BP=12×1当m=14时,S△B4.证明连接BD,PM,∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴BM⊥AD,又PA=PD,M为AD的中点,∴PM⊥AD,又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PM⊥平面ABCD,∴以M为原点,建立如下图的空间直角坐标系,设PA=PD=22a,CD=b,那么B(23a,0,0),C(b,2a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2a),M(0,0,0),N(0,-a,a),∴MN=(0,-a,a),MB=(23a,0,0),PC=(b,2a,-2a),PD=(0,2a,-2a),设n1=(x1,y1,z1)是平面BMN的法向量,n2=(x2,y2,z2)是平面PCD的法向量,那么由MN·n1=0,MB·n1=0,得-ay1+az1=0,23a∴n1=(0,1,1)是平面BMN的一个法向量,同理,由PC·n2=0,PD·n2=0,得b令y2=1,可得x2=0,z2=1,∴n2=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量.∵n1=n2,∴平面BMN∥平面PCD.5.解析存在.理由如下:∵平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,∴AF⊥平面ABCD.过点D作DG⊥BC于点G.如图,以点D为原点,建立空间直角坐标系,那么A(1,0,0),B12,32,0,C-52,32,0,D(0,0,0),E(0,0,1),F(1,0,1),∴AF=(0,0,1),CE设BNBD=λ,0<λ<1,那么BN=λBD=-12λ,-32λ,0设n=(x,y,z)是平面AFN的法向量,那么n即z∴z取x=3,那么y=1+λ1-λ,∴n=3由n·CE=532-32×1+λ1-λ=0,得λ=23,符合题意,即存在点N,使得直线方法归纳利用向量法证明线面平行的一般步骤是先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.6.D以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系,如图,那么P(4,0,2),C(0,4,0),D1(0,0,4),B(4,4,0),设M(4,a,b)(a,b∈[0,4]),那么D1M=(4,a,b-4),∵D1M⊥CP,∴D1M·CP=16-4a+2b-8=0,∴M(4,a,2a-4),∴BM=(4-4=5a当a=125时,|BM|取最小值4易知BC=4,∴S△BCM的最小值为455×4×12应选D.7.D由题意得,AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos60°,∴AC=1+4-2×1×2×12=3,而AC2+AB又PA⊥平面ABCD,故以A为原点建立空间直角坐标系,如图,设AP=a(a>0),那么A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),P(0,0,a),∴AB=(1,0,0),PC=(0,3,-a).∵AB·PC=0,∴AB⊥PC,∴AB⊥PC,又AC∩PC=C,∴AB⊥平面PAC,②对；∵AB⊥PC,AE⊥PC,AB∩AE=A,∴PC⊥平面ABE,③对；由③及BE⊂平面ABE,得PC⊥BE,④对.应选D.8.ABC∵AP·AB=-2-2+4=0,∴AP⊥AB,∴AP⊥AB,A对；∵AP·AD=-4+4+0=0,∴AP⊥AD,∴AP⊥AD,B对；∵AP⊥AB,AP⊥AD,AB∩AD=A,∴AP⊥平面ABCD,∴AP是平面ABCD的一个法向量,C对；BD=AD-AB=(2,3,4),设BD=λAP,即2=-λ,3=2应选ABC.9.解析在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,因为AB,AC⊂平面ABC,所以AA1⊥AB,AA1⊥AC,又因为∠BAC=90°,所以AB,AC,AA1两两垂直,分别以AB,AC,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.那么Ea,0,b3,F0,∴AE=a,0,b3,AF=0,a,2b3,设平面AEF的法向量为n1=(x,y,z),那么n1·AE=0,n1·AF=0,即ax+bz3=0,ay+2令z=1,那么x=-b3a,y=-所以n1=-b3a,-2b3a,1同理,n2=2b3a,b3a,1因为平面AEF⊥平面A1EF,所以n1·n2=0,即-2λ29-2λ29+1=0,所以当平面AEF⊥平面A1EF时,λ=3210.证明(1)设PA=2,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,那么A(0,0,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(1,2,0),F(0,1,1),所以AP=(0,0,2),AC=(2,2,0),设平面PAC的法向量为n=(x,y,z),那么2z=0,2x+2y=0,令x=1,那么y=-1,z=0,即n=(1,-1,0),又EF=(-1,-1,1),(2)由(1)得AF=(0