江苏省徐州市丰县中学2023年高一数学第一学期期末质量检测试题含解析

江苏省徐州市丰县中学2023年高一数学第一学期期末质量检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）毫克/毫升，小于毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于饮酒驾车；含量大于（或等于）毫克/毫升的情况下驾驶机动车属于醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（）点（结果取整数）开车才不构成酒驾．（参考数据：，）A. B.C. D.2．已知幂函数的图象过（4，2）点，则A. B.C. D.3．设函数对的一切实数均有，则等于A.2016 B.-2016C.-2017 D.20174．给定函数：①；②；③；④，其中在区间上单调递减函数序号是（）A.①② B.②③C.③④ D.①④5．在中，下列关系恒成立的是A. B.C. D.6．定义在R上的偶函数f(x)满足，当x∈[0，1]时，则函数在区间上的所有零点的和为（）A.10 B.9C.8 D.67．设，，，则的大小关系是（）A. B.C. D.8．菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（）A.平行 B.相交但不垂直C.垂直相交 D.异面且垂直9．将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是A. B.C. D.10．若函数在上的最大值为4，则的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11．设函数fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a，则当时，12．已知函数是定义在的奇函数，则实数b的值为_________；若函数，如果对于，，使得，则实数a的取值范围是__________13．已知命题“∀x∈R，e x≥a”14．直三棱柱ABC-A1B1C1，内接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，则球O的表面积______15．函数，在区间上增数，则实数t的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．对于定义在上的函数，如果存在实数，使得，那么称是函数的一个不动点．已知（1）当时，求的不动点；（2）若函数有两个不动点，，且①求实数的取值范围；②设，求证在上至少有两个不动点17．已知等差数列满足，前项和.（1）求的通项公式（2）设等比数列满足，，求的通项公式及的前项和.18．观察下列各等式：，，.（1）请选择其中的一个式子，求出a的值；（2）分析上述各式的特点，写出能反映一般规律的等式，并进行证明.19．化简（1）（2）20．已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若函数只有一个零点，求的取值范围.21．已知函数，（1）求函数的最大值及取得最大值时的值；（2）若方程在上的解为，，求的值

参考答案一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）1、D【解析】根据题意可得不等式，解不等式可求得，由此可得结论.【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则，即，，则，，次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾.故选：D.2、D【解析】设函数式为，代入点（4，2）得考点：幂函数3、B【解析】将换成再构造一个等式，然后消去，得到的解析式，最后可求得【详解】①②①②得，故选：【点睛】本题考查求解析式的一种特殊方法：方程组法．如已知，求，则由已知得，把和作为未知数，列出方程组可解出．如已知也可以用这种方法求解析式4、B【解析】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数；③，在上为减函数，④为指数型函数，底数在上为增函数，可得解.【详解】①，为幂函数，且的指数，在上为增函数，故①不可选；②，，为对数型函数，且底数，在上为减函数，故②可选；③，在上为减函数，在上为增函数，故③可选；④为指数型函数，底数在上为增函数，故④不可选；综上所述，可选的序号为②③，故选B.【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，熟悉基本初等函数的解析式、图像和性质是解决此类问题的关键，属于基础题.5、D【解析】利用三角函数诱导公式，结合三角形的内角和为，逐个去分析即可选出答案【详解】由题意知，在三角形ABC中，，对A选项，，故A选项错误；对B选项，，故B选项错误；对C选项，，故C选项错误；对D选项，，故D选项正确．故选D.【点睛】本题考查了三角函数诱导公式，属于基础题6、A【解析】根据条件可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称；根据函数的解析式及奇偶性，对称性可得出函数f(x)在的图象；令，画出其图象，进而得出函数的图象．根据函数图象及其对称性，中点坐标公式即可得出结论【详解】因为定义在R上的偶函数f(x)满足，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[0，1]时，，可以得出函数f(x)在上的图象，进而得出函数f(x)在的图象.画出函数，的图象；令，可得周期T1，画出其图象，进而得出函数的图象由图象可得：函数在区间上共有10个零点，即5对零点，每对零点的中点都为1，所以所有零点的和为.故选：A7、C【解析】根据对数函数和幂函数单调性可比较出大小关系.【详解】，；，，，即，又，.故选：C.8、D【解析】由菱形ABCD平面内,则对角线,又,可得平面,进而可得,又显然，PA与BD不在同一平面内，可判断其位置关系.【详解】假设PA与BD共面，根据条件点和菱形ABCD都在平面内，这与条件相矛盾.故假设不成立，即PA与BD异面.又在菱形ABCD中，对角线，，，则且，所以平面平面.则,所以PA与BD异面且垂直.故选：D【点睛】本题考查异面直线的判定和垂直关系的证明,属于基础题.9、A【解析】由函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍得到，向右平移个单位得到，将代入得，所以函数的一个对称中心是，故选A10、C【解析】先分别探究函数与的单调性，再求的最大值.【详解】因为在上单调递增，在上单调递增.而，，所以的取值范围为.【点睛】本题主要考查分段函数的最值以及指数函数，对数函数的单调性，属于中档题.二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11、①.②.【解析】当时得到，令，再利用定义法证明在上单调递减，从而得到，令，，根据指数函数的性质得到函数的单调性，即可求出的最小值，即可得到的最小值；分别求出与的零点，根据恰有两个零点，即可求出的取值范围；【详解】解：当时，令，，设且，则因为且，所以，，所以，所以，所以在上单调递减，所以，令，，函数在定义域上单调递增，所以，所以的最小值为；对于，令，即，解得，对于，令，即，解得或或，因为fx=ex-1,x≥a-xx2-5x+6,x<a恰有两个零点，则和一定为的零点，不为的零点，所以，即；故答案为：；；12、①.0②.【解析】由，可得，设在的值域为，在上的值域为，根据题意转化为，根据函数的单调性求得函数和的值域，结合集合的运算，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数是定义在的奇函数，可得，即，经检验，b=0成立，设在值域为，在上的值域为，对于，，使得，等价于，又由为奇函数，可得，当时，，，所以在的值域为，因为在上单调递增，在上单调递减，可得的最小值为，最大值为，所以函数的值域为，则，解得，即实数的取值范围为.故答案为：；.13、a≤0【解析】根据∀x∈R，e x≥a成立，【详解】因为∀x∈R，e所以e 则a≤0，故答案为：a≤014、【解析】利用三线垂直联想长方体，而长方体外接球直径为其体对角线长，容易得到球半径，得解【详解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1两两垂直，可知其为长方体的一部分，利用长方体外接球直径为其体对角线长，可知其直径为，∴=41π，故答案为41π【点睛】本题主要考查了三棱柱的外接球和球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.15、【解析】作出函数的图象，数形结合可得结果.【详解】解:函数的图像如图.由图像可知要使函数是区间上的增函数，则.故答案为【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16、（1）的不动点为和；（2）①，②证明见解析.【解析】（1）当时，函数，令，即可求解；（2）①由题意，得到的两个实数根为，，设，根据二次函数的图象与性质，列出不等式即可求解；②把可化为，设的两个实数根为，，根据是方程的实数根，得出，结合函数单调性，即可求解.【详解】（1）当时，函数，方程可化为，解得或，所以的不动点为和（2）①因为函数有两个不动点，，所以方程，即的两个实数根为，，记，则的零点为和，因为，所以，即，解得.所以实数的取值范围为②因为方程可化为，即因为，，所以有两个不相等的实数根设的两个实数根为，，不妨设因为函数图象的对称轴为直线，且，，，所以记，因为，且，所以是方程的实数根，所以1是的一个不动点，，因为，所以，，且的图象在上的图象是不间断曲线，所以，使得，又因为在上单调递增，所以，所以是的一个不动点，综上，在上至少有两个不动点【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根据就是函数和图象的交点的横坐标；2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.17、（1）；（2），【解析】（1）设的公差为，则由已知条件得，化简得解得故通项公式，即（2）由（1）得．设的公比为,则,从而故的前项和18、（1）（2）证明见详解【解析】（1）利用第三个式子，结合特殊角的三角函数值代入计算即可；（2）用两角和正弦公式展开，代入化简，结合，即得解【小问1详解】由题意，【小问2详解】根据题干中各个式子的特点，猜想等式：证明：左边即得证19、（1）（2）【解析】三角换元之后，逆用和差角公式即可化简【小问1详解】【小问2详解】20、（1）；（2）【解析】（1）当时，求的解析式，令真数位置大于，解不等式即可求解；（2）由题意可得，整理可得只有一解，分别讨论，时是否符合题意，再分别讨论和有且只有一个是方程①的解，结合定义域列不等式即可求解.【小问1详解】当时，，由，即，因为，所以.故的定义域为.【小问2详解】因为函数只有一个零点，所以关于的方程①的解集中只有一个元素.由，可得，即，所以②，当时，，无意义不符合题意，当，即时，方程②的解为.由（1）得的定义域为，不在的定义域内，不符合题意.当是方程①的解，且不是方程①