线性回归方程及其应用

线性回归方程及其应用回归分析问题有线性回归问题和非线性回归问题,着意于回归分析的考查是课标全国卷中体现统计思想的重要方式;回归分析试题已成为近几年高考的一大亮点,归纳回归分析试题的解题程序就十分必要和紧迫.[母题结构]:(Ⅰ)(解题程序):由变量x与y之间的n个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),求x与y之间的回归方程,并解决相关问题:①利用散点图,直观判断回归方程y=a+bf(x)的基本类型;②如果f(x)=x,即变量x与y是线性相关,或直接求线性回归方程;或对原始数椐处理后,求线性回归方程;如果f(x)≠x,即变量x与y是非线性相关,首先使用换元t=f(x),把原始数椐(xi,yi)变为(ti,yi),并由此求变量t与y的线性回归方程,进而得到x与y之间的回归方程;③由x与y之间的回归方程,解决相关问题;(Ⅱ)(基本性质)①回归直线y=x+必过样本中心点(,);②n个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中,数据x1,x2,x3,…,xn减去同一个数X,数据y1,y2,y3,…,yn减去同一个数Y,回归方程中的不变;③n个样本点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中,数据x1,x2,x3,…,xn减去同一个数X,数据y1,y2,y3,…,yn减去同一个数Y,相关系数不变.[母题解析]:略.1.线性回归子题类型Ⅰ:(2007年广东高考试题)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.(Ⅰ)请画出上表数据的散点图;(Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=x+;(Ⅲ)己知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5).[解析]:(Ⅰ)由题中所给数据,可得点(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5),在平面直角坐标系中,描出上述各点,即得散点图:(Ⅱ)由=(3+4+8+6)=4.5,=(2.5+3+4+4.5)=3.5,32+42+52+62=86,3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5===0.7=-=3.5-0.7×4.5=0.35线性回归方程是y=0.7x+0.35;(Ⅲ)由(Ⅱ)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+0.35)=19.65(吨).[点评]:线性回归中,求线性回归方程x的系数是的重点,也是难点,教材中给出两个公式=(称为公式Ⅰ)和=(称为公式Ⅱ),实践证明:若对相关数据不处理,则使用公式Ⅰ比公式Ⅱ的运算量小;若对相关数据进行处理,则使用公式Ⅱ;使用如下性质:回归直线y=x+必过样本中心点(,),求,[同类试题]:1.(2012年福建高考试题)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:(Ⅰ)求回归直线方程=bx+a,其中b=-20,a=-b;(Ⅱ)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(Ⅰ)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入-成本).2.数据处理子题类型Ⅱ:(2011年安徽高考试题)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程=bx+a;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.温馨提示:答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明.[解析]:(法一)(Ⅰ)由=2006,=260.2b==6.5a=-b=-12778.8=6.5x-12778.8;(Ⅱ)在=6.5x-12778.8中,令x=2012得=299.2预测该地2012年的粮食需求量是299.2万吨;(法二)(Ⅰ)因年份x的平均值是2006,y需求量的平均值是260.2,对表中数据处理如下:由此得=0,=0.2b==6.5a=-b=0.2=6.5+0.2-260=6.5(x-2006)+0.2;(Ⅱ)在=6.5+0.2中,令x=2012-2006=6得=39.2=+260=299.2预测该地2012年的粮食需求量是299.2万吨.[点评]:问题(Ⅰ)的解法一是直接使用公式,解法二是对相关数据处理后,再使用公式,简化了计算,减少了计算量,降低了错误的概率,解法二显然优于解法一,解法二用到了基本性质②,从而避开了大数据的计算,体现了数据处理的能力.[同类试题]:2.(2014年课标Ⅱ高考试题)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.3.函数模拟子题类型Ⅲ:(2015年课标Ⅰ高考试题)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.表中wi=,=.(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d,哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程;(Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x,根据(Ⅱ)的结果回答下列问题:(i)当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值时多少？(ii)当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大？附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:=,α=-.[解析]:(Ⅰ)由散点图可判断:y=c+d适合作为年销售y关于年宣传费用x的回归方程类型;(Ⅱ)令w=,由==68=-=563-68×6.8=100.6y关于w的回归方程为=100.6+68wy关于x的回归方程为=100.6+68;(Ⅲ)(i)当x=49时,年销售量y的预报值=100.6+68=576.6年利润z的预报值=0.2×476.6-49=66.32;(ii)由年利润z的预报值=0.2-x=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6-20.12当=6.8,即x=46.24时,取得最大值.[点评]:对于非线性回归问题,先根据试验数据作散点图,由散点图选择与这些散点拟合得最好的函数t=f(x),并把原始数据(xi,yi),由t=f(x)转化为(ti,yi),此时,y与t呈近似的线性相关关系,即把问题转化为线性回归问题,使其得到解决;采用适当的变量代换t=f(x),是把非线性回归问题转变为线性回归问题的有力方法,而变量代换t=f(x),可根据散点图,利用拟合思想,先确定函数模型,y=a+bf(x),再确定变量代换t=f(x).[同类试题]:3.(2016年高考全国丙卷试题)下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.(Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;(Ⅱ)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.参考数据:=9.32,=40.17,=0.55,≈3.646.参考公式:相关系数r=,回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.4.子题系列:4.(2013年重庆高考试题)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得=80,=20,=184,=720.(Ⅰ)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;(Ⅱ)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.附:线性回归方程y＝bx+a中,b=,a=-b,其中,为样本平均值.5.(2015年重庆高考试题)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:(Ⅰ)求y关于t的回归方程;(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.附:回归方程=t+中,==,=-.6.(2017年全国Ⅰ高考试题)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm),下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:经计算得==9.97,s==≈0.212,≈18.439,=-2.78,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.(Ⅰ)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若|r|<0.25,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);(Ⅱ)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(i)从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查？(ii)在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01).附:样本(xi,yi)(i=1,2,…,16)的相关系数r=,≈0.09.5.子题详解:1.解:(Ⅰ)由=(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5,=(90+84+83+80+75+68)=80a=-b=250=-20x+250;(Ⅱ)工厂获得利润z=(x-4)y=-20x2+330x-1000当x=时,zmax=361.25(元)该产品的单价应定为8.25元时,工厂获得的利润最大.2.解:(Ⅰ)由=(1+2+3+4+5+6+7)=4,=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+8.9)=4.3==0.5=-=2.3线性回归方程为:=0.5t+2.3;(Ⅱ)由(Ⅰ)中的回归方程的斜率k=0.5>0可知,2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐渐增加;令t=9得:=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.3.解:(Ⅰ)由=4,=28,=2.89r≈0.99y与t的相关性较大,可用线性回归模型拟合y与t的关系;(Ⅱ)由≈1.331,≈0.103,=-≈0.92y关于t的回归方程:=0.92+0.10t;当t=9时,=1.82,所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.4.解:(Ⅰ)由=80,=20=8,=2b=0.3a=-b=-0.4y=0.3x-0.4;(Ⅱ)由b=0.3>0x与y之间是正相关;(Ⅲ)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄y=0.3×7－0.4=1.7(千元).5.解:(Ⅰ)由=(1+2+3+4+5)=3,=(5+6+7+8+10)=7.2=1.2=7.2-1.2×3=3.6线性回归方程为:=1.2t+3.6;(Ⅱ)将t=6,代入=1.2t+3.6得=10.8.故预测该地区2015年(t=6)的