课下梯度训练（三）等差数列的概念及通项公式

课时跟踪检测（三）等差数列的概念及通项公式层级(一)“四基”落实练1．已知等差数列{an}的通项公式为an＝3－2n，则它的公差为()A．2 B．3C．－2 D．－3解析：选C∵an＝3－2n＝1＋(n－1)×(－2)，∴d＝－2，故选C.2．等差数列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，则n等于()A．50 B．49C．48 D．47解析：选A由题得2a1＋5d＝4，将a1＝eq\f(1,3)代入得，d＝eq\f(2,3)，则an＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)(n－1)．令an＝33，得n＝50，故选A.3．(多选)给出下列命题，正确的是()A．数列6,4,2,0是公差为2的等差数列B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列解析：选BCD根据等差数列的定义可知，数列6,4,2,0的公差为－2，A错误；由等差数列的定义可知，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确；由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d，得an＝dn＋(a1－d)，令k＝d，b＝a1－d，则an＝kn＋b，所以C正确；因为an＋1－an＝2(n＋1)＋1－(2n＋1)＝2，所以数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列，所以D正确．4．已知数列{an}是等差数列，且a2＝6，a5＝15.若bn＝a2n，则数列{bn}是()A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列解析：选D因为数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))是等差数列，a2＝6，a5＝15，设公差为d，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝6，,a1＋4d＝15，))解得a1＝3，d＝3，所以an＝3n，因此bn＝a2n＝6n，而bn－bn－1＝6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n≥2，n∈N*))，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn))是以6为首项，6为公差的等差数列，故选D.5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差是()A．－2 B．－3C．－4 D．－5解析：选C设等差数列{an}的公差为d，∴a6＝23＋5d，a7＝23＋6d，∵数列前6项均为正数，从第7项起为负数，∴23＋5d＞0,23＋6d＜0，∴－eq\f(23,5)＜d＜－eq\f(23,6).又数列是公差为整数的等差数列，∴d＝－4，故选C.6．给出下列各组等差数列的通项公式：①1,4,7，…，an＝3n－2；②21,17,13，…，an＝4n－17；③1，eq\f(1,3)，－eq\f(1,3)，…，an＝eq\f(1,3)n＋eq\f(2,3)；④1,2＋eq\r(3)，3＋2eq\r(3)，…，an＝(1＋eq\r(3))n－eq\r(3).其中正确的序号是________．解析：由d＝a2－a1求得公差，结合a1即可写出通项公式，验证知①④正确．②中an＝25－4n，③中an＝eq\f(5,3)－eq\f(2,3)n.答案：①④7．已知数列{an}满足an－1＋an＋1＝2an(n≥2)，且a2＝5，a5＝13，则a8＝________.解析：由an－1＋an＋1＝2an(n≥2)知，数列{an}是等差数列，∴a2，a5，a8成等差数列．∴a2＋a8＝2a5，∴a8＝2a5－a2＝2×13－5＝21.答案：218．已知b是a，c的等差中项，且a＞b＞c，若lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差数列，a＋b＋c＝15，则a的值为________．解析：由题意，知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,2lgb－1＝lga＋1＋lgc－1，,a＋b＋c＝15，,a＞b＞c，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝7，,b＝5，,c＝3.))答案：79．已知数列{an}的通项公式an＝pn2＋qn＋r(p，q，r∈R，且p，q，r为常数)．(1)当p，q，r满足什么条件时，数列{an}是等差数列？(2)设bn＝an＋1－an，求证：数列{bn}是等差数列．解：(1)欲使{an}是等差数列，则an＋1－an＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)＋r]－(pn2＋qn＋r)＝2pn＋p＋q应是一个与n无关的常数，所以只有2p＝0，即p＝0时，数列{an}是等差数列．此时q，r∈R.(2)证明：因为bn＝an＋1－an＝2pn＋p＋q，所以bn＋1－bn＝2p(n＋1)＋p＋q－2pn－p－q＝2p为常数，所以{bn}是等差数列．10．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)求{an}的通项公式．(2)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？请说明理由．(3)若am，at(m，t∈N*)是数列{an}中的项，那么2am＋3at是数列{an}中的项吗？请说明理由．解：(1)设数列{an}的公差为d.依题意，有a1＝3，d＝7－3＝4，∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.(2)令4n－1＝135，得n＝34，∴135是数列{an}的第34项．∵4m＋19＝4(m＋5)－1，且m∈N*，∴4m＋19是数列{an}的第m＋5项．(3)∵am，at是数列{an}中的项，∴am＝4m－1，at＝4t－1，∴2am＋3at＝2(4m－1)＋3(4t－1)＝4(2m＋3t－1)－1.∵2m＋3t－1∈N*，∴2am＋3at是数列{an}的第2m＋3t－1项．层级(二)能力提升练1．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))中，a3＝2，a7＝1，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则a19等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．2解析：选A因为a3＝2，a7＝1，故eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,3)，eq\f(1,a7＋1)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(1,a19＋1)＝eq\f(1,a3＋1)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3))),4)×16＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，故a19＝0.故选A.2．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝eq\f(1,2)，eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)(n∈N*)，则该数列的通项为________．解析：∵eq\f(2,an＋1)＝eq\f(1,an)＋eq\f(1,an＋2)(n∈N*)，∴数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，又eq\f(1,a2)－eq\f(1,a1)＝2－1＝1，∴eq\f(1,an)＝1＋(n－1)＝n，∴an＝eq\f(1,n).答案：an＝eq\f(1,n)3．下表为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列.234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…71319253137……若记第i行第j列的数为aij，则a99＝________，表中数2019共出现________次．解析：因为记第i行第j列的数为aij，所以每一组i与j的解就对应表中的一个数．因为第1行的数组成的数列{a1j}(j＝1,2,3，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a1j＝2＋(j－1)×1＝j＋1.又第j列数组成的数列{aij}(i＝1,2,3，…)是以j＋1为首项，公差为j的等差数列，所以aij＝j＋1＋(i－1)×j＝ij＋1.所以a99＝9×9＋1＝82.令aij＝2019，则ij＝2018.又因为2018的公约数为1,2,1009,2018，共4个，所以数字2019在表中出现的次数为4.答案：8244．已知等差数列8,5,2，….(1)求该数列的第20项．(2)试问－121是不是该等差数列的项？如果是，指明是第几项；如果不是，试说明理由．(3)该数列共有多少项位于区间[－200,0]内？解：记该等差数列为{an}，公差为d，由a1＝8，d＝5－8＝－3，得数列的通项公式是an＝8－3(n－1)＝－3n＋11.(1)该数列的第20项a20＝－3×20＋11＝－49.(2)如果－121是这个数列的项，则方程－3n＋11＝－121有正整数解．解这个方程，得n＝44，故－121是该等差数列的第44项．(3)解不等式－200≤－3n＋11≤0，得eq\f(11,3)≤n≤eq\f(211,3)，因此，该数列位于区间[－200,0]内的项从第4项起直至第70项，共有67项．5．已知无穷等差数列{an}中，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号能被4除余3的项组成数列{bn}．(1)求b1和b2.(2)求{bn}的通项公式．(3){bn}中的第503项是{an}中的第几项？解：(1)∵a1＝3，d＝－5，∴an＝8－5n.数列{an}中序号被4除余3的项是{an}中的第3项，第7项，第11项，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.(2)设{an}中的第m项是{bn}中的第n项，即bn＝am，则m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即{bn}的通项公式为bn＝13－20n.(3)设所求为{an}的第m项，则m＝503×4－1＝2011，即{bn}中的第503项是{an}中的第2011项．层级(三)素养强化练1．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长(单位：尺)为()A．11.5 B．12.5C．13.5 D．14.5解析：选C由题意设冬至的日影长为a1，所求等差数列的公差为d，则a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5，两式相减得－6d＝6，解得d＝－1，所以a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝31.5，解得a1＝13.5，故选C.2．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：时间t/s123…？…60距离s/cm9.819.629.4…49…？(1)你能建立一个