2023学年完整公开课版本章整合

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判断三角形的形状根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状,需要灵活地应用正弦定理和余弦定理转化为边的关系或角的关系.判断三角形的形状是高考中考查能力的常见题型,此类题目要求准确地把握三角形的分类,三角形按边的关系分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.判断三角形的形状,一般有以下两种途径:将已知条件统一化成边的关系,用代数方法求解;将已知条件统一化成角的关系,用三角知识求解,在解三角形时常用的结论有:专题一专题二专题三(1)在△ABC中,A>B⇔a>b⇔sinA>sinB⇔cosA<cosB;A=B⇔a=b⇔sinA=sinB⇔cosA=cosB;A<B⇔a<b⇔sinA<sinB⇔cosA>cosB.专题一专题二专题三应用1若a,b,c是△ABC的三边,直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,则△ABC一定是(

).A.直角三角形 B.等边三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形提示:由直线与圆相离,得圆心到直线的距离大于半径,列出关于a,b,c的不等式,再用余弦定理来确定角的范围.解析:由直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离,故角C是钝角,△ABC是钝角三角形.答案:D专题一专题二专题三应用2在△ABC中,角A,B均为锐角,且cosA>sinB,则△ABC的形状是(

).A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形提示:借助于正弦定理转化为讨论A+B的范围.答案:C专题一专题二专题三提示:将二倍角化为单角后,有两个思路:一是完全转化为角的关系,二是完全转化为边的关系,然后根据角或边的关系来判断三角形的形状.可有以下两种解法:(方法一)利用正弦定理,将边化为角.即sin

Ccos

C=sin

Bcos

B,即sin

2C=sin

2B.∵B,C均为△ABC的内角,∴2C=2B或2C+2B=180°.∴B=C或B+C=90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.专题一专题二专题三即(a2+b2-c2)c2=b2(a2+c2-b2).∴a2c2-c4=a2b2-b4,即a2b2-a2c2+c4-b4=0.∴a2(b2-c2)+(c2-b2)(c2+b2)=0,即(b2-c2)(a2-b2-c2)=0.∴b2=c2或a2-b2-c2=0,即b=c或a2=b2+c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.专题一专题二专题三专题二

正弦定理、余弦定理与三角函数的综合运用以三角形为载体,以正弦定理、余弦定理为工具,以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型.在具体解题中,通常交替使用正弦定理、余弦定理,以达到简化解题的目的.提示:已知一边及对角,用正弦定理表示另外两边,从而把面积S用另外两角的三角函数表示出来,利用三角函数的有界性求出S的最大值.专题一专题二专题三专题一专题二专题三提示:此题所给题设条件只有边长,应考虑在假设BC长为x后,建立关于x的方程.而正弦定理涉及两个角,故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC的中点,所以BD,DC专题一专题二专题三解设BC=x,则由D为BC的中点,专题一专题二专题三专题三

正弦定理和余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用.常见的有测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题等.解决的基本思路是画出正确的示意图,把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系),最后确定用哪个定理转化,用哪个定理求解,并进行作答,解题时还要注意近似计算的要求.专题一专题二专题三专题一专题二专题三应用2如图是曲柄连杆机结构的示意图,当曲柄CB绕C点旋转时,通过连杆AB的传递,活塞作往复运动,当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点A在A0处.设连杆AB长为340mm,曲柄CB长为85mm,曲柄自CB0按顺时针方向旋转80°,求活塞移动的距离,即连杆的端点A移动的距离A0A.(精确到1mm)专题一专题二专题三提示:因为AA0=A0C-AC,又已知A0C=AB+BC=340+85=425(mm),所以只要求出AC的长问题就解决了.在△ABC中,已知两边和其中一边的对角,可由正弦定理求AC.∴AA0=A0C-AC=(AB+BC)-AC≈(340+85)-344.3=80.7≈81(mm),即活塞移动的距离约为81

mm.12345671(2016·全国乙高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知

解析:由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos

A,即3b2-8b-3=0,又b>0,解得b=3,故选D.答案:D1234567解析:(方法1)设BC边上的高为AD,则BC=3AD.结合题意知BD=AD,DC=2AD,1234567(方法2)如图,在△ABC中,AD为BC边上的高,答案:C12345673(2016·上海高考)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于

.

123456712345675(2016·全国乙高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;解(1)由已知及正弦定理得,2cos

C(sin

Acos

B+sin

Bcos

A)=sin

C,即2cos

Csin(A+B)=sin

C.故2sin

Ccos

C=sin

C.1234567由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos

C=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.12345676(2015·课标全国Ⅰ高考)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;解(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,可得b=2c,a=2c.(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,由勾股定理得a2+c2=b2.所以△ABC的面积为1.12345677(2015·课标全国Ⅱ高考)在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.1234567(2)因为S△ABD∶S△ADC