曲面高斯曲率的色标分布研究

曲面高斯曲率的色标分布研究

0高斯曲率法与面性法分析为了改善设计和制造汽车零件的结构，高质量的汽车可以缩短设计周期，降低制造难度，节约公司成本。此外，在驾驶行业产品中，高质量的汽车可以有效减少空气阻力。因此，高质量汽车产品的产量越来越受到重视，成为科学研究和相关产品建模和研究的热点。产品曲面模型创建后，质量分析和评价是满足产品设计要求的重要工作。近年来，研究人员主要采用控制点法、多段曲线法、等参考线法和反射线法对曲线进行分析和评价，但采用高斯坦率法很少有关于曲线质量的文献。本文从高思卡的具体含义出发，结合具体剖面，探讨了高思卡率法在分析零件质量方面的应用。1高斯曲率含义高斯曲率的概念最早是由德国著名的物理学家、数学家高斯(1777.04~1855.02)首先提出的,现在已经成为曲面论中最重要的内蕴几何量.透彻理解高斯曲率的含义有利于提高曲面质量分析与评价的效率,对后续的曲面钣金零件模具制造也会产生积极影响.1.1法佐的网格点及最大明确率目前包括CATIA在内的多数三维CAD软件都采用B-Spline方法绘制空间曲面,如k×h(k≤n,h≤m)阶的B-Spline曲面可以表示成如下形式:S(u,v)=n∑i=0m∑j=0SijBi,k(u)Bj,h(v)(1)S(u,v)=∑i=0n∑j=0mSijBi,k(u)Bj,h(v)(1)上式中uk-1≤u≤un+1,vh-1≤v≤vm+1,Sij是空间中给定的(n+1)×(m+1)个网格点,通常称为曲面S(u,v)的控制顶点,Bi,k(u)和Bj,h(v)分别是关于节点向量u,v的k阶和h阶B-Spline样条曲线的基函数.过曲面S(u,v)上的任意点P有无数个包含法矢n在内的密切平面,无数个密切平面与曲面S(u,v)相交可以得到无数条过点P的空间曲线,如图1所示.如果密切平面与空间曲面S(u,v)相交所得到的空间曲线可以采用参数方程r(t)=(x(t),y(t),z(t))来表示,则其曲率计算公式为:k=√|y′(t)z′(t)y″(t)z″(t)|2+|z′(t)x′(t)z″(t)x″(t)|2+|x′(t)y′(t)x″(t)y″(t)|2(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2)32(2)k=∣∣∣y′(t)y′′(t)z′(t)z′′(t)∣∣∣2+∣∣∣z′(t)z′′(t)x′(t)x′′(t)∣∣∣2+∣∣∣x′(t)x′′(t)y′(t)y′′(t)∣∣∣2√(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2)32(2)通过公式(2)可以看出,由于空间曲线的弯曲程度不同,所以包含法矢n在内的密切平面与曲面S(u,v)相交得到的所有空间曲线在p点通常具有不同的曲率,一般将所有曲率绝对值的最大值称为最大曲率,用kmax表示;所有曲率绝对值的最小值称为最小曲率,用kmin表示,kmax和kmin称为曲面S(u,v)在p点的主曲率.1.2低相关系数的su,v高斯曲率是主曲率kmax和kmin的点积,记为K=kmax·kmin,也称为全曲率.设曲面S(u,v)的矢函数为r(u,v),且矢函数r(u,v)具有连续偏导数ru和rv及混合偏导数ruu、ruv和rvv,根据曲面论的基本公式,可以得到曲面S(u,v)在某点的高斯曲率计算公式:Κ=LΝ-Μ2EG-F2(3)K=LN−M2EG−F2(3)(3)式中E=r2u2u,F=rurv,G=r2v2v,L=n·ruu,,N=n·rvv.1.3eg-s13-stp,k-3-点算法因为高斯曲率所反映的实质是曲面上点附近曲面的弯曲程度,所以曲面上某点的高斯曲率能较好地反映其邻域内曲面的形状.根据矢量运算法则,EG-F2=r2ur2v-(ru·rv)2=(ru×rv)2>0,所以曲面在某点的高斯曲率与LN-M2是同号的.当曲面为球面、椭球面、双叶双曲面的一叶或椭圆抛物面时,LN-M2>0,即K>0,点P为椭圆点;当曲面为伪球面、单叶双曲面或双曲抛物面时,LN-M2<0,即K<0,点P为双曲点;对于平面或圆柱面而言,LN-M2=0,即K=0,点P为抛物点.2a级曲面特征A级曲面(ClassASurface)一词首先是由法国DassaultSystem公司在开发大型CAD/CAM软件包CATIA时提出并付诸应用的,专指汽车设计中既满足几何光滑要求,又满足审美需求的曲面.最初A级曲面主要应用在汽车车身设计领域,如发动机罩、前后翼子板、前后保险杠、车门、后背门及顶盖等.目前随着人们对A级曲面认知程度的提高,A级曲面已经广泛应用在飞机、动车、船舶、手机和卫生设备等多种工业产品的设计过程中.参照施法中和朱心雄关于A级曲面特征的介绍,可以将A级曲面定义为:(1)大的曲面片是全凸的,即不存在奇异多余的拐点;(2)曲率变化分布均匀;(3)曲面满足G2(曲率)连续或者以上;(4)应变能最小.在工程实际应用中,创建A级曲面通常有两种方法,一种是采用四边域为基础的单曲面来创建A级曲面.此种方法操作简单,仅适用于曲面较大但其曲率变化较小的零件,不适合创建复杂型面的曲面.第二种方法是利用多个彼此相交的曲面来“拼”成所需要的复合曲面模型,适用于创建曲率变化较大的复杂曲面模型.在此方法中,用来连接两个基础曲面的过渡曲面又称为桥接曲面,基础曲面与桥接曲面的关系如图2所示.3桥接曲面的连续级别由于采用四边域方法生成A级曲面的应用领域较窄,所以目前科研人员都将采用桥接曲面方法生成复合曲面模型作为研究的重点内容.按照曲面类零件设计等级的不同,通常将基础曲面与桥接曲面划分为3种连续等级,分别为G0-位置连续,G1-切线连续和G2-曲率连续,总体上说,提高曲面的连续级别可以使曲面看起来更加光滑流畅.在三维CAD软件中,通常使用不同的颜色来表示曲面上不同的高斯曲率值,曲面某区域的高斯曲率值如果相同,则该区域的颜色就是一致的;如果曲面上的高斯曲率值发生突变,则颜色也会随之改变.所以通过观察基础曲面与桥接曲面颜色的变化可以直观地对曲面连续级别进行判断.下面将结合具体曲面,分别探讨3种连续等级的高斯曲率色标图分布特点.3.1高斯曲率色标.当两基础曲面间为G0-位置连续时,桥接曲面的边界线空间直线,且其端点与基础曲面的端点重合.桥接曲面一般为采用直纹面生成的空间近似平面,可以保证两基础曲面间完全接触,即没有缝隙,高斯曲率色标图如图3所示.从图3可以看出,因为基础曲面为空间自由曲面,其高斯曲率色标会根据曲面不同位置的弯曲程度而发生变化,但由于桥接曲面为近似平面,所以其高斯曲率值处处近似为零,即颜色几乎没有变化.虽然G0位置连续保证了两基础曲面间可以完全接触,但在过渡处存在一个很尖锐的接缝,所以位置连续属于连续性等级中最低的一种,应极力避免.3.2桥接过程中的不稳定性当两基础曲面间为G1-切线连续时,桥接曲面的边界线空间自由曲线,同样其端点也与基础曲面的端点重合,桥接曲面为空间自由曲面,高斯曲率色标图如图4所示.从图4可以看出,虽然切线连续保证了曲面在桥接过程中不会出现尖锐的接缝,但由于在曲面过渡处明显存在颜色的错位和突变,即在视觉上仍会有一种表面中断的感觉,所以切向连续只在汽车、飞机和船舶外表面的低可见区域以及内饰的大部分曲面中允许存在.3.3高斯曲率色标试验当两基础曲面间为G2-曲率连续时,不仅曲面间没有尖锐的接缝,而且具有光滑流畅的视觉效果,高斯曲率色标图如图5所示.从图5可以看出,曲面间高斯曲率色标过渡自然,没有发生错位和突变的现象,达到了A级曲面的要求.由于曲率连续曲面具有上述特点,所以其广泛应用在汽车车身外形、仪表板、高可见内饰件和动车组外形等对曲面质量要求较高的曲面类零件上.4车载外包的高斯曲率色标图采用桥接方法创建了某轿车车门外板曲面,其高斯曲率色标如图6所示.从图6可以看出,轿车车门外板除门把手外,整个曲面的高斯曲率色标图颜色变化均匀,过渡自然,且没有突变的地方,已经满足G2曲率连续的要求,说明曲面整体质量已经达到了A级曲面的标准.5高斯曲率法快速响应面分析设计出曲面流畅且符合美学