关于杨辉三角的讨论

关于杨辉三角的讨论

这是一个有趣的结合：桌子上有黑色和白色的球。如果使用黑球和白球进行比较，可以形成4对。如果我们再用1个黑球和1个白球分别与它们组合,那么能够形成8对3个一组的组合(如下图1)。现在我们好奇心被激发起来了,如果再用1个红球和1个黄球与它们组合,那么可形成16对5个一组的组合,推而广知,又能形成……我们直接用组成小组的球的数目代替球本身,就可以得到一个由数字组成的三角形,即有名的杨辉三角(如下图2)。用概率术语加以解释:可以考虑把所有的球,不管是黑球还是白球都放进同一个口袋内,然后计算如从中只摸出一个球,这个球是黑球的概率为多少?第1行(n=1),告诉我们,可能的情况是2(1+1),那么概率为50%。如果同时摸出2个球,第2行(n=2),告诉我们,可能的情况是4(1+2+1)。因此,球为同一色的概率为1/4=25%,球为不同色的概率为2/4=50%。如果同时摸出3个球,第3行(n=3),提示我们,可能的情况是8(1+3+3+1),增加一倍,比如摸出2个黑球和1个白球的概率是3/8=37.5%。随着一行一行增加,球的数目增多,可能的情况增倍,即n行的和为2n。现在,我们用黑球代替男孩子或者显性基因;用白球代替女孩或者隐性基因,这样的话,我们就可以举一反三地利用杨辉三角解决生物遗传中的有关概率问题。例1在豚鼠中,黑毛对白毛显性,如果基因库中,90%是显性基因B,10%是隐性基因b,则种群中基因型BB、Bb、bb的频率分别是:A.45%40%15%B.18%81%1%C.45%45%10%D.81%18%1%解析已知:B=90%b=10%根据杨辉三角可知:n=2,种群中基因型BB、Bb、bb的可能性分别(1,2,1)则BB的频率=90%X90%=81%,Bb的频率2X90%%×10%%=18%,bb的频率=10%X10%=1%。答案:D例2在一个杂合子Aa为50%%的人类群体中,基因A的频率是()A.10%B.25%C.35%D.50%解析设基因A的频率为X从杨辉三角中可以看出,在一个杂合子Aa为50%的群体中,n=2。因此,在一个杂合子Aa为50%%的人类群体中,就有AA、aa各占25%,则2x(1-x)=50%,解得x=50%。例3某非洲妇女欲生3个孩子,预测生2个男孩子、1个女孩的概率。分析:根据杨辉三角,n=3,生3个孩子可能情况是8(1+3+3+1)种,其中生2个男孩、1个女孩的概率就是:3/(1+3+3+1)=3/8=37.5%。例4某夫妇所生2个孩子的基因型的AA和aa,试计算该夫妇在理论上相继生出这样的2个孩子的几率是()A.1/2B.1/4C.1/8D.1/16分析得知,该夫妇的基因型相同,都为Aa,这才可能出生AA和aa的孩子。根据杨辉三角,AaXAa,n=2,AA和aa的概率都为1/4。因此,该夫妇在理论上相继生出这样的2个孩子的几率是:1/4X1/4=1/16。例5多指对五指为显性(A,a),正常肤色对白化病为显性(B,b)。一对夫妇男性为多指,女性正常,生了一个五指白化男孩。则这对夫妇再生这样一个孩子的概率为多少?解析:由题意可知:父亲为多指肤色正常:AaBb,母亲为五指肤色正常;aaBb,后代男孩为五指白化,aabb。三对基因单独考虑:XY×XX,n=1,生男孩的概率为:1/2,女孩的概率:1/2AaXaa,n=1,五指的概率为:1/2,正常的概率:1/Bb×Bb,n=2,白化的概率为:1/4,正常的概率:3/4因此,再一个五指白化男孩的可能性为:1/2X1/4X1/2=1/8例6基因型为Aa的水稻个体,经过连续n次自交后,理论上分析子代中纯合体所占的百分比?解根据杨辉三角可知:基因型为Aa的个体,自交子一代F1(1,2,1)中,纯合体的概率为2X1/4=1/2=1-1/21,连续2次自交,子代中纯合体所占的百分比为:2X1/4+2X1/8=3/4=1-1/22连续3次自交,子代中纯合体所占的百分比为:2X1/4+2X1/8+2×1/16=7/8=1-1/23连续4次自交,子代中纯合体所占的百分比为:2X1/4+2X1/8+2X1/16+2X1/32=1/2+1/4+1/8+1/16=15/16=1-1/24连续n次自交,子代中纯合体所占的百分比为:2X1/4+2×1