2023年中考数学-圆与三角形问题的综合

2023年中考数学专题专练一圆与三角形问题的综合

1.如图，AB为。O的直径，D为AC的中点，连接OD交弦AC于点F,过点D作DE〃AC,交

BA的延长线于点E.

(1)求证：DE是。O的切线；

(2)连接CD,若OA=AE=4,求四边形ACDE的面积.

2.如图，AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D,

AD交半圆。于点E.

(1)求证：AC平分NDAB；

(2)若AE=2DE，试判断以O,A,E,C为顶点的四边形的形状，并说明理由.

3.如图，在RSABC中,ZC=90°,BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径

的圆经过点D,交BC于点E.

(1)求证：AC是。O的切线;

(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.

4.如图，在RtAA8C中，ZACB=90°,与BC,AC分别相切于点E,F,BO

平分ZABC，连接。4.

(1)求证：AB是GO的切线；

(2)若BE=AC=3,Q0的半径是1,求图中阴影部分的面积.

5.已知如图，0O的直径AB与弦AC的夹角NA=30。，AC=CP.

(1)求证：CP是。O的切线；

(2)若AB=4百，求图中阴影部分的面积.

6.在等边△ABC中，以BC为直径的。0与AB交于点D,DE1AC,垂足为点E.

(1)求证：DE为。0的切线;

CE

(2)计算—

AE

7.如图，。0与RSABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C、D,与边BC相交于点F,0A

与CD相交于点E,连接FE并延长交AC边于点G.

(1)求证：DF〃AO；

(2)若AC=6,AB=10,求CG的长.

8.如图，AABC内接于Q0,D是OO上的一点，连接AD,BD,AD^BC.

DC

(1)求证：AC=BD

(2)若AB=2，"=60。,求QO的半径.

9.如图，AB为。。的直径，AD为弦，NDBC=NA.

(1)求证：BC是。O的切线；

(2)连接OC,如果OC恰好经过弦BD的中点E,且tanC=!，AD=3,求直径AB的长.

2

10.如图，AB是。O的直径，E是。。上一点，AC平分ZBAE,过点C作

CD1AE交AE延长线于点D.

(1)求证：CD是。O的切线；

(2)若45=6,NB4c=30°,求阴影部分的面积.

11.如图，D为。O上一点，点C在直径BA的延长线上，且/CDA=/CBD.

AH2

(2)过点B作。O的切线交CD的延长线于点E,BC=6,——=-.求BE的长.

BD3

12.如图，AC是。O的直径，BC是。O的弦，点P是0O外一点，连接PB、AB,ZPBA=ZC.

(1)求证：PB是。O的切线;

(2)连接OP,若OP〃BC,且OP=8,。。的半径为2亚,求BC的长.

13.如图，例是的半径OA的中点，弦BC1AO于点M,过点C作CDA.BA交BA

14.如图，已知AB、AD是(DO的弦，点C是DO的延长线与弦AB的交点，ZABO=30°,OB=2.

(1)求弦AB的长;

(2)若/D=20。，求/BOD的度数.

15.如图，。。中，弦A3与CD相交于点E,AB=CD，连接AD.BC.

求证:

⑴AD=BC；

(2)AE=CE.

16.如图，在AABC中，AC^BC,D是AB上一点，。。经过点A、C、D,交BC于点E,

过点D作DF//BC，交。0于点E求证：

(1)四边形DBCF是平行四边形

(2)AF=EF

17.如图，四边形ABCD内接于，AC为。。的直径，。为AC的中点，过点D

作DE||AC,交BC的延长线于点E.

(1)判断DE与Q0的位置关系，并说明理由；

(2)若Q0的半径为5,43=8,求CE的长.

18.如图，AABC内接于，NB=60°，点E在直径CD的延长线上，且AE^AC.

(1)试判断AE与。。的位置关系，并说明理由;

(2)若AC=6,求阴影部分的面积.

19.如图，在OO中，直径AB与弦CD相交于点P,ZCAB=62°,NAPD=86。。

(1)求/B的大小；

(2)已知AD=6,求圆心0到BD的距离。

20.如图，AB=16,O为AB中点，点C在线段OB上(不与点O,B重合)，将OC绕点O逆时针

旋转270。后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧CD于点P，Q.且点P，Q在AB异侧，连接

OP.

(1)求证：AP=BQ；

(2)当BQ=4&H寸，求QD的长(结果保留兀)；

(3)若AAPO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围.

答案解析部分

1.【答案】(1)证明：：D为AC的中点，

AOD1AC,

：AC〃DE,

，OD_LDE,

.••DE是。0的切线

AODIAC,AF=CF,

VAC//DE,且OA=AE,

；.F为OD的中点,即OF=FD,

在4AFC^HACFD中，

AF=CF

<ZAFO=ZCFD

OF=FD

.*.△AFO^ACFD(SAS),

.".SAAFO=SACFD,

••S四边柩ACDE-SAODE

在RtAODE中，OD=OA=AE=4,

，OE=8,

，DE=yjoE2-OD2=46,

•*S四边彩ACDE=SAODE=xODxDE=x4x45^3=8>

22

2.【答案】(1)证明：连接OC,如下图所示：

D

E

：CD为圆O的切线，，NOCD=9()°,

.,.ZD+ZOCD=180°,

...OC〃AD,

，/DAC=NACO,

又OC=OA,

.♦.NACONOAC,

.•.ZDAC=ZOAC,

，AC平分NDAB.

(2)解：四边形EAOC为菱形，理由如下：

连接EC、BC、E0,过C点作CHJ_AB于H点,如下图所示,

由圆内接四边形对角互补可知，ZB+ZAEC=180,

又NAEC+NDEC=180。，

.•.ZDEC=ZB,

又/B+/CAB=90°,

ZDEC+ZDCE=90°,

.,.ZCAB=ZDCE,

又NCAB=NCAE,

.'.ZDCE=ZCAE,且ND=ND,

/.△DCE^ADAC,

设DE=x,贝l]AE=2x,AD=AE+DE=3x,

.CDDE

22

'~AD~~CD二CD=AD-DE=3x

，CD=A

在RSACD中，tanZDAC=—=—=—，

AD3x3

.*.ZDAC=30o,

，ZDAO=2ZDAC=60°,且OA=OE,

...△OAE为等边三角形，

由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：ZEOC=2ZEAC=60°,

/.△EOC为等边三角形，

EA=AO=OE=EC=CO,

即EA=AO=OC=CE,

四边形EAOC为菱形.

3.【答案】（1）证明：连接0D,

：BD为NABC平分线，

二/1=/2,

VOB=OD,

；.N1=N3,

AZ2=Z3,

，OD〃BC,

VZC=90°,

.,.ZODA=90°,

则AC为圆0的切线

(2)解:

过O作OGLBC,

二四边形ODCG为矩形,

/.GC=OD=OB=10,OG=CD=8,

在Rt^OBG中，利用勾股定理得：BG=6,

・・・BC=BG+GC=6+10=16,

・.・OD〃BC,

・•・△AOD^AABC,

.OAODnnOA10

ABBCQA+1016

解得：0A=y,

5080

・・AB=—+10=—,

33

连接EF,

：BF为圆的直径，

.*.ZBEF=90o,

.*.ZBEF=ZC=90o,

；.EF〃AC,

BE20

.BEBF即正=①

T

解得：BE=12

4.【答案】（1）证明：如图，过点0作0DLA3于点D,连接OE

VBC与。。相切于点E,

..OE1BC,

vBO平分ZABC,

ZOBD=ZOBE=-ZABC，

2

ZODB=ZOEB=90°

在AOBD和AOBE中，＜NOBD=NOBE

OB=OB

:,^OBD=^OBE(AAS),

OD-OE)

：.OD是QO的半径，

又-.ODVAB,

AB是。。的切线

(2)解：如图，设OA,OB分别交于点M,N，连接。尸，

,1•QO的半径是1,

..OD=OF=\,

VAC与。。相切于点F,

：.0FLAC,

:./OFC=/OEC=9Q。=ZACB,

四边形OECF是矩形，

：.CE=OF=\,

•.•BE=AC=3,

:.BC=BE+CE=4,

:.AB=\lAC2+BC2=5,

OA=OA

在Rt^OAD和Rt^OAF中，\八.，

OD=OF

Rt^OAD=Rt^OAF(HL),

ZOAD=ZOAF^-ZBAC,

2

AOBD+ZOAD=-ZABC+-ABAC=-(ZABC+ABAC]=45°,

222V7

ZAOB=180°-(ZOBD+ZOAD)=135°,

n57rXi

则图中阴影部分的面积为SAOB-SmnN=-ABOD-~^---7T

4Aon明形OMDN236028

5.【答案】(1)解：如图，连接OC；

VOA=OC,AC=CP,

AZA=ZOCA=30°,ZP=ZA=30°,

JZPOC=ZA+ZOCA=60°,

JZOCP=180°-60°-30°=90°,

...CP是。0的切线

(2)解：：AB=46,

.,.OC=OB=2V3,

OC

：.PC=--------=6

tan30

**•SAOCP=—OC*PC

2

=-x2G•6=6V3，

2

Si60万.(2国外

360

图中阴影部分的面积=66-2n

6.【答案】(1)证明：连接OD,

:△ABC为等边三角形，

.•.ZABC=60°,

XVOD=OB,

Z.△OBD为等边三角形，

.•.ZBOD=60°=ZACB,

...OD〃AC,

XVDE1AC,

.,.ZODE=ZAED=9()°,

.•.DE为。O的切线

(2)解：连接CD,

VBC为。O的直径，

.,.ZBDC=90°,

又•••△ABC为等边三角形，

1

..AD=BD=—AB,

2

在Rt^AED中，ZA=60°,

・・・ZADE=30°,

〈AB与。O相切与点D,又AC与。O相

切与点,

AAC=AD,VOC=OD,

.\OA±CD,

・・,CF是直径，

AZCDF=90°,

/.DF±CD,

・・・DF〃AO.

(2)解：过点作EM_LOC于M,VAC=6,AB=10,：.BC=7AB2-AC2=8,AAD=AC=6,

ABD=AB-AD=4,

VBD2=BF*BC,

ABF=2,

・・・CF=BC-BF=6.0C=；CF=3,.\OA=^AC^OC2=3逐,

VOC2=OE*OA,

・・.OE=士,・・・EM〃AC,

5

.EMOMOE

"'~AC~~OC~~OA~~5'

3618

，0M=-,EM=-,FM=OF+OM=—,

555

.EM_FM_3.6_3

"'~CG~~FC~~6~5，

5

，CG=-EM=2.

3

8.【答案】（1）证明：-AD^BC,

：.AD=BC

AD+DC=BC+DC

即：AC=BD

AC=BD

(2)解：如图：连接。4,OB,过点O作OE1AB于点E,

则AE=-AB=\

2

•.•NO=60°,

：.ZAOB=2ZD=nO°

•;OA=OB,OEA.AB,

.•.ZAOE=ZAQB=60°

:.ZOAE=3Q0,

:.OE^-OA.

2

设QE为x,则。4为2x

AE2+OE2=AO2，

:A2+x2-4x2

.一上

・.x=—

3

；Q=2X=¥

oo的半径为空

3

9.【答案】(1)【解答】证明：:AB为。。的直径,

.,.ZD=90°,

/.ZABD+ZA=90°,

：/DBC=/A,

，ZDBC+ZABD=90°,即AB_LBC,

.•.BC是。O的切线；

(2):点。是AB的中点，点E时BD的中点,

•.0£是4ABD的中位线,

•.AD〃OE,

•.NA=NBOC.、

.•由⑴ZD=ZOBC=90°,

\ZC=ZABD,

1

/tanC=—,

2

,AD3

tan/ABD=-----=—,解得BD=6,

BDBD

••AB=^AET+BD1=A/32+62=3A/5•

10.【答案】(1)证明：连接OC,

VOC=OA,

.,.ZBAC=ZACO,

：AC是NBAD的平分线,

.,.ZDAC=ZBAC,

...NDAC=NACO,

AAD//OC,

.-.ZOCD+ZD=180°,

'：CD.LAE

.,-ZCDA=90°,

/.ZOCD=90°,

；.CD是。O的切线.

(2)解：连接CE,OE,

AB-6，

OC-OE-3，

■：ABAC=ADAC=30°，OA=OE，

AZOEA=ZEOC=60°，

:.^AOE和AEOC为等边三角形

ZOEC=ZAOE=/LEOC=60°

/.CE//AB，

S.CEO=S.CAE，

.G_V_60•兀-9_3K

••阴一

&EOC-360-y

IL【答案】(1)证明：连结OD,

：OB=OD,

.•.ZOBD=ZBDO,

VZCDA=ZCBD,

.•.ZCDA=ZODB,

又•••AB是。O的直径,

.,.ZADB=90°,

.•.ZADO+ZODB=90°,

.,.ZADO+ZCDA=90°,

即NCDO=90°,

AODICD,

VOD是0O半径，

.•.CD是。O的切线

(2)解：VZC=ZC,NCDA=NCBD

CDA^ACBD

CDAD

AD2

,BC=6,

BD3

\CD=4,

；CE,BE是。O的切线

..BE=DE,BE±BC

,.BE2+BC2=EC2,BPBE2+62=(4+BE)2

12.【答案】(1)证明：连接OB,如图所示:

：AC是。O的直径,

ZABC=90°,

.•.ZC+ZBAC=90°,

VOA=OB,

二NBAC=NOBA,

VZPBA=ZC,

.,.ZPBA+ZOBA=90°,

即PB1OB,

/.PB是。O的切线;

的半径为2O,

.*.OB=20,AC=4V2，：OP〃BC,，NC=NBOP,又；NABC=NPBO=90。,

・•.△ABCS^PBO,.♦岑=生，即吗=晅,

OP2<28

，BC=2.

连接OB,OC,

AO是半径,

.•.点M是BC的中点.

又：点M是AO的中点，

...四边形ABOC是平行四边形.

VBC1AO,

四边形ABOC是菱形.

AC-OC-OA.

.••△AOC是等边三角形,

AZQ4C=60°；

(2)证明：由(1)知，四边形ABOC是菱形，AAOC是等边三角形.

，ZABO=ZACO=60。.

二ZABC=-ZABO=30°,ZOCB=-ZACO=30°.

22

■:CD工BA，

，ND=90°.

:./BCD=3。.

/.ZOCD=ZOCB+ZBCD=90°，

：.OC±CD.

：.CD是。。的切线.

14.【答案】(1)解：过点O作OELAB于点E,

;在RtAOEB中，OB=2,NB=30。,

.,.BE=OB«cos30°=2x2=百，

2

，AB=2BE=273

(2)解：连接OA,

VOA=OB=OD,NB=30°,ZD=20°,

，ZOAB=ZB=30。，ZOAD=ZD=20。，

ZBAD=ZOAB+ZOAD=300+20°=50°,

.•.ZBOD=2ZBAD=100°

15.【答案】(1)解：：AB=CD,

AB=CD，即AD+AC=BC+AC，

•*-AD=BC；

(2)解：：AD=BC，

，AD=BC,

又；NADE=/CBE,ZDAE=ZBCE,

ADE^ACBE（ASA）,

，AE=CE.

16.【答案】（1）证明：-.-AC^BC,

:"BAC=/B,

'.DF//BC,

:.ZADF^ZB,

又ZBAC=ZCFD,

ZADF=ZCFD,

:.BD//CF,

:.四边形DBCF是平行四边形.

（2）证明：如图，连接AE

\ZADF=ZB,ZADF^ZAEF

：.ZAEF=ZB

V四边形AECF是。。的内接四边形

ZECF+ZEAF=\SOr

\BDHCF

ZECF+ZB=180°

；.ZEAF=ZB

ZAEF=ZEAF

：.AF=EF

17.【答案】（1）解：DE与QO相切，理由如下:

如图，连接OD,

,/AC为GO的直径，，ZAOC=90

■:D为AC的中点，•,•A。=CO，

AAD=CD，：.ZACD=45°,

'：OA是AC的中点，NQDC=45。

VDE\\AC,：.ZCDE=ZDCA=45a，

：.ZODE=90,：.DE与。。相切

(2)解：:。。的半径为5,.•.AC=1(),.•./!£>==5五，

,/AC为。。的直径，，Z/U5c=90

VAB=S,...BC=6,

■:/BAD=4DCE,ZABO=NCOE=45°，

ABAD

/.MBD-ACD