2022年高考数学必做题

2022年高考数学考前必做题

1.如图，在四棱锥P-ABCZ)中，底面ABCQ为正方形，△勿。是正三角形，侧面附

底面ABC。，M是尸。的中点.

(I)求证：AM_L平面PCD：

(II)求二面角A-PB-C的正弦值.

【分析】(I)证明CD1.AD,推出AMA.PD,然后证明AM_L平面PCD.

(II)以A为坐标原点，AB,AD,/分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，求出平

面以8的法向量，平面PC8的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角4-PB-C的

正弦值即可.

【解答】(I)证明：因为平面用O_L平面ABC。，底面ABCD为正方形，C£)J_A£),

所以C£>_L平面现Z),所以又因为△勿。是正三角形，M是PC的中点，所

以AMJLPO,CDC\PD=D,

所以AM_L平面尸CD(6分)

(II)解：过A在平面外。内做4。垂线/,知/与AO,A8两两垂直，

以A为坐标原点，AB,AD,/分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=a,有4(0,0,0),B(a,0,0),P(0,表学)，C(a,a,0),

(T*(%]=0

设平面B4B的法向量为蔡=(xi,yi,zi),有71,竺=°,有月岛],

3•AP=0(2+-T~=0

令zi=l,则yi=一百；n=(0,_痘,I),

设平面PC8的法向量为蔡=（X2,”，22）,有7,•=°

1m-CP=0

任2=0

有！1Bz?_n，

\~x2.2y2+-2-=0

令Z2=l,则％2=*；m=(―,0,1)>

22

,所以sina=4

设二面角A-PB-C的平面角为a,\cosa\=匕'=-i

|n||m|v/

(12分)

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空

间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

2.如图，AB是圆柱体0(7的一条母线，BC为底面圆。的直径，。是圆O上不与B,C重

合的任意一点.

(1)求证：平面43。，平面ACO；

(2)若该圆柱体。0'的轴截面是正方形，D为圆弧能的中点，求二面角8-AC-。的

【分析】(1)依题意可知BDLCD,在由AB_L平面BCD知AB1.CD,可得CO_L平面

ABD,进而可得证;

(2)建立空间直角坐标系，求出平面ABC及平面AC。的法向量，再利用向量的夹角公

式求解即可.

【解答】解：(1)证明：•.•点。在以BC为直径的圆上,

J.BDA.CD,

BCD,CQu平面BC。,

J.ABA.CD,

:ABCBD=B,

，C£)_L平面AB。，

又：C£)u平面ACQ,

平面ABDmACD；

(2)•.•该圆柱体O。'的轴截面是正方形，

：.AB=^BC,

为圆弧8c的中点，

：.BD=DC,/8OC=90°,

建立如图所示的空间直角坐标系，取A8=2,则80=0C=VL

"(0,0,2),B(0,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),

：.CA=(0,-2,2),CD=(1,-1,0),

TT

设平面ACD的一个法向量为喘=(x,y,z),IjllJ2-C^=_2y+2z=O,则可取％=

n-CD=%—y=0

(1,1,1),

;平面ABC的一个法向量为蔡=(1,0,0),

设二面角B-AC-。的大小为3由图易知，二面角B-AC-。为锐二面角,

—>T

m-n,I,.73

•・cosO=|=II=

I茄演IW3T'

故sin。=竽，即二面角B-AC-D的正弦值为三~.

【点评】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能

力及运算求解能力，属于中档题.

3.如图2,在四棱锥P-A8C。中，四边形ABC。的对角线互相平分，ACHBD=O；在直

角边长为2的等腰直角△AOB中，/ADB=90°；在等腰直角中，/BPO=90°,

M为尸。的中点，PO±AC.

(1)求证：0M〃平面8CP；

(2)求二面角C-BP-A的正弦值.

【分析】(1)设4CA80=。,则易知。为BD的中点，结合M为的中点，可得0MHPB,

进而可得证；

(2)建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进一步求得平面P8C及平面的法向量,

利用向量的夹角公式得解.

【解答】解：(1)证明：•.•四边形ABCO的对角线互相平分，ACHBD=0,

，0为8。的中点，

又M为PO的中点，

0MHPB,

仁平面PBC,PBu平面PBC,

0M//平面PBC；

(2)•.•在等腰直角△PO8中，又。为BO的中点，

:.P01BD,

XPOLAC,ACABO=O,ACcTffiABCD,BOu平面ABC。，

；.PO_L平面ABC。，

以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

'：AD=BD=2,ADLBD,

J.BCLBD,BC=2,AB=CD=2V2,

•：PBLPD,PB=PD,

：.PB=PD=>/2,PO=1,

"：AD=2,ADLBD,00=1,

：.A0=yjAD2+OD2=y[S=OC,

...A(2,0,0),P(0,1,1),B(0,2,0),C(-2,2,0),

则24=(2,-1,-1),PB=(0,1,-1),PC=(-2,1,-1),

设平面力B和平面PBC的法向量分别为£=(x,y,z),蓝=(a,b,c),

,\n-PA=2x—y—z=0

由T-则可取九=(1/1,1),

\n•PB=y—z=0

illCm•PB=b—c=0

则可取m=(0,L1),

♦PC=-2a+b—c=0

—♦—ri-

Tn-m_2_v6

cos<n,m>=

|n||m|/3X\/23

【点评】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角问题，考查逻辑推理能

力及运算求解能力，属于中档题.

4.如图，已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(2,m)到焦点F的距离为3,直线/与抛

物线交于A(xi,yi),B(x2,J2)两点，且yi>0,"<O,OA-OB=12(。为坐标原点).

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：直线/过定点.

【分析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质抛物线上的点到焦点

的距离等于到直线的距离和椭圆可得P的值，进而求出抛物线的方程；

（2）设直线/的方程，与抛物线联立求出两根之积，进而求出数量积扇•茄的表达式,

再由题意可得参数的值，证明可得直线恒过定点.

【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：

再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，

所以由题意可得2+号=3,解得p=2,

所以抛物线的方程为：y2=4x；

（2）证明：设直线/的方程为z>0,

联立｛:二1+,整理可得：y2-4niy-4r=0,

y2y2

可得：yi*=-4r,中2=\"="

—>—»

OA-08=x\x2+y\yi=r-4f=12,t>0,

解得t-6,

所以直线/的方程为：x=my+6,

所以直线恒过定点（6,0）.

【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的求法，属于

中档题.

5.在直角坐标系X。），中，曲线氏），=/+阻-2与x轴交于A,8两点，点C的坐标为（0,

1）.

（1）若点B在点A的右边，曲线上存在一点O,使得»=&+2后，求曲线E的表达

式；

（2）证明过4,B,C三点的圆在），轴上截得的弦长为定值.

【分析】（1）设A（XI,0）,B（X2,0）,则XI,X2满足/+/HX-2=0,由韦达定理可得，

x\+x2=-tn,xix2=-2,

再由cB=%+2a，点C的坐标为（0,1）,可得C点的坐标，将C点的坐标代入曲

线E上，即可求解.

（2）根据已知条件，分别求解BC,AB的中垂线方程，联立求得圆心坐标，即可求解半

径r,再结合垂径定理和勾股定理，即可求证.

【解答】解：(1)设A(xi,0),B(%2,0),

则xi,X2满足/+如-2=0,

由韦达定理可得，Xi+X2=-m,X\X2=-2,

•・・cb=&+2ck点。的坐标为(0,1),

.*.£>(XI+2X2>-2),

丁点。在曲线E上，

2

，(％i+2X2)+巾Qi+2%2)—2=-2,

Axi+2x2=-m或XI+2X2=0,

当XI+2X2=0时，与①联立可得，加=1,

当XI+2x2=-〃?时，与①联立，加不存在，

综上所述，y=/+x-2.

(2)证明：的中点坐标为(包，-),

22

8c的中垂线方程为y-；=&(x-劣，

由(1)可得，x\+x2=-m,

故AB的中垂线方程为》=一号，

丝m

X--2X=--

得

可2

1=1

y---冷-y--

2(X2

...过A,B,C三点的圆的圆心坐标为(-自，一》，半径r=姆巴,

故圆在y轴上截得的弦长为2Jr2-(y)2=3,

即过点A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中

档题.

6.设椭圆C；*+*=1长轴的左，右顶点分别为A,B.

(1)若P、。是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP,8Q的斜率分别为右，k2(k\k2

#0),求IMI+IL的最小值;

(2)已知过点。(0,-3)的直线/交椭圆C于M、N两个不同的点，直线AM,AN分

别交y轴于点S、T,记DS=4D。，DT=fiDO(O为坐标原点)，当直线1的倾斜角0

为锐角时，求入+U的取值范围.

【分析】(1)设点P(xo,yo),由椭圆的对称性可知点。(xo,-yo)>不妨令>o>0,利

用两点间斜率公式以及点尸在椭圆上，得到向|+眼|=聂,由川的取值范围求解即可;

(2)设点M,N的坐标，设直线/的方程，与椭圆的方程联立，通过求出k的范

围，表示出直线AM和AN的方程，求出点S和点T的坐标，利用向量的坐标表示，求

出入+“，结合韦达定理进行化简，由k的范围即可得到答案.

【解答】解：(1)设点户(xo,和)，由椭圆的对称性可知点。(xo,-烈),

不妨令”>0，由题意可知4(-3,0),8(3,0),

所以灯=熊‘七=淄’

由题意可知，-3Vx()V3,

所以阳+网=含+探=岩2

3十%03XQ9-XQ

由点P在椭圆上，则+~~=1>

2

则9-x0=挈

所以也|+|切=聂，

因为O<>oW遍，

所以|%1|+|初=—?式'

厂2近

当且仅当先=6时等号成立，即由|+|*2|的最小值为三；

(2)当直线/的倾斜角。为锐角时，设M(xi,yi),N(%2,"),

设直线/的方程为y=fcr-3(k>0),

y=kx—3

联立方程组v2，可得(5+9F)/-54fcv+36=0,

匕+卜