专题01圆的取值范围与最值问题题型全归纳（原卷版）

专题01圆的取值范围与最值问题题型全归纳【考点预测】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a，b）的距离平方的最值问题【方法技巧与总结】解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【题型归纳目录】题型一：斜率型题型二：直线型题型三：距离型题型四：长度、周长、面积型题型五：数量积与角度型题型六：阿波罗尼斯圆【典例例题】题型一：斜率型例1．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）实数满足，那么的最大值为___________.例2．（2022·江苏·扬州市江都区大桥高级中学高二阶段练习）已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).(1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；(2)求MQ的最大值和最小值；(3)若M(m，n)，求的最大值和最小值．例3．（2022·甘肃·永昌县第一高级中学高二阶段练习（理））已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值的和是（

）A．1 B．0 C． D．变式1．（2022·全国·高二专题练习）若实数x，y满足，则下列关于的最值的判断正确的是（

）A．最大值为2＋，最小值为—2－B．最大值为2＋，最小值为2－C．最大值为－2＋，最小值为－2－D．最大值为—2＋，最小值为2－变式2．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆．若过点的直线l与圆、都有公共点，则直线斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．变式3．（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）若实数满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．2题型二：直线型例4．（2022·全国·高二课时练习）已知点在圆上运动.（1）求的最大值；（2）求的最小值.例5．（多选题）（2022·浙江温州·高二期中）已知A（4，2），B（0，4），圆，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（

）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．最大时，例6．（多选题）（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（

）A．的“欧拉线”方程为B．圆上点到直线的最大距离为C．若点在圆上，则的最小值是D．若点在圆上，则的最大值是变式4．（2022·全国·高二课时练习）已知点是函数的图象上的动点，则的最小值为__________.题型三：距离型例7．（2022·全国·高二课时练习）已知x，y满足(x－1)2＋y2＝1，求S＝的最小值．例8．（2022·北京市怀柔区第一中学高二期中）已知圆经过点，，且圆心在直线上．(1)求圆的标准方程；(2)设点，动点在圆上，求的最大值和最小值．例9．（2022·新疆·高二期中）已知点分别为圆与上一点，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．6变式5．（2022·北京大兴·高二期中）已知、是圆上两个不同的动点，是线段的中点，点满足.(1)当的坐标为时，求的坐标；(2)求点的轨迹方程；(3)求的最小值与最大值.变式6．（2022·江苏南京·高二阶段练习）已知实数，满足方程，则的取值范围为___________；的最小值为___________.变式7．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）已知圆的方程为：(1)求实数的取值范围.(2)当圆半径最大时，点在圆上，点在直线上，求的最小值.变式8．（2022·全国·高二课前预习）已知实数x，y满足，求的最大值与最小值．变式9．（2022·河南·南阳市第六完全学校高级中学高二阶段练习）已知点P(m，n)在圆上运动，则的最大值为______，最小值为_______，的范围为________．变式10．（2022·全国·高二课时练习）平面直角坐标系中，，过点作两条直线，被圆M截得弦AB，CD，满足.设线段AC的中点为N，则的最小值为___________.变式11．（2022·全国·高二专题练习）已知圆，圆，动点在轴上，动点，分别在圆和圆上，则的最小值是__．变式12．（2022·天津市第二南开中学高二期中）若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________.题型四：长度、周长、面积型例10．（多选题）（2022·福建漳州·高二期中）已知点在圆上，则下列说法正确的是（

）A．圆C的圆心为 B．圆C的半径为2C．的最大值为7 D．的最小值为例11．（2022·四川·泸州市龙马高中高二阶段练习（文））已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为(1)求圆C的方程；(2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．例12．（2022·新疆·高二期中）已知圆，直线过点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程；(2)若直线与圆相交于、两点，求面积的最大值，并求此时直线的斜率.变式13．（2022·四川·仁寿一中高二期中（文））已知圆C：，点P是直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则四边形PACB面积的最小值为______变式14．（2022·北京市怀柔区第一中学高二期中）在平面直角坐标系中，已知点，，，，为原点，以为直径作圆．(1)求圆的方程；(2)设是圆上的动点，求的最大值和最小值．变式15．（2022·浙江省诸暨市草塔中学高二阶段练习）已知过点的圆的圆心M在直线上，且y轴被该圆截得的弦长为4．(1)求圆M的标准方程；(2)设点，若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标．变式16．（2022·河南·濮阳南乐一高高二阶段练习（文））已知圆，直线，为直线上的动点，过做圆的切线，切点为，则四边形的面积的最小值为________变式17．（多选题）（2022·江苏·常熟市王淦昌高级中学高二阶段练习）已知直线与圆，则下列说法正确的是（

）A．圆的半径为4B．直线过定点C．直线与圆的相交弦长的最小值为D．直线与圆的交点为，则面积的最大值为2变式18．（2022·黑龙江·大庆四中高二期中）已知圆和圆，，分别是圆和圆上的动点，为轴上的动点，则关于的最小值为______．变式19．（2022·北京·大峪中学高二期中）在平面直角坐标系中，从点向直线（k为参数）作垂线，垂足为M，O为坐标原点，则线段的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6变式20．（2022·安徽·高二阶段练习）已知圆，则过点的直线l与圆C交于A，B两点，则的最小值是（

）．A．2 B．4 C． D．变式21．（2022·四川宜宾·高二期末（文））直线分别交坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，三角形OAB的内切圆上有动点P，则的最小值为（

）A．16 B．18 C．20 D．22变式22．（2022·湖南·长沙市明德中学高二阶段练习）已知点，分别为圆：，：上的动点，为轴上一点，则的最小值（

）A． B． C． D．变式23．（2022·福建省厦门集美中学高二阶段练习）由直线上的一点向圆C：引切线，则切线长的最小值为（

）A．1 B． C． D．2变式24．（2022·广东·深圳实验学校高中部高二阶段练习）已知点，点在圆上，则△的面积的最小值为（

）A． B．3 C．2 D．题型五：数量积与角度型例13．（2022·全国·高二课时练习）已知圆经过，，.(1)求圆的标准方程；(2)若点，点是圆上的一个动点，求的最小值.例14．（多选题）（2022·河北石家庄·高二期末）设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，下列说法正确的是（

）A．点在定圆上B．点在圆外C．线段长的最大值为D．的最小值为例15．（多选题）（2022·浙江省杭州学军中学高二期中）过点作圆的切线，是圆上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．切线的方程为B．圆与圆的公共弦所在直线方程为C．点到直线的距离的最小值为D．点为坐标原点，则的最大值为变式25．（2022·江苏常州·高二期中）已知直线与直线相交于点，点，为坐标原点，则的最大值为_____________.变式26．（2022·湖北·高二期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“如图，点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使得∠MPN最大”.如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（1，2），N（3，4），点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为_________.变式27．（2022·江苏·高二专题练习）已知圆及定点，点P，Q为圆C上两动点，点M为弦PQ的中点，若，则点M到点的距离的最大值为__________．题型六：阿波罗尼斯圆例16．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（