2023-2024学年人教A版必修第二册 7-2-1复数加减运算及其几何意义 学案

7.2.1复数加、减运算及其几何意义【学习目标】(1)掌握复数代数形式的加、减运算法则．(2)了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(3)能够利用复数代数形式的加、减运算的几何意义解决有关问题．题型1复数的加、减运算【问题探究1】(1)多项式的加、减实质就是合并同类项，类比两个多项式的加、减，你能猜想出两个复数如何相加、减吗？(2)复数的加法满足交换律和结合律吗？例1计算：(1)(13+12i)＋(2－i)－(2)已知z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，求z1＋z2，z1－z2.学霸笔记：复数的代数式的加、减运算，其运算法则是对它们的实部和虚部分别进行加、减运算．在运算过程中应注意把握每一个复数的实部和虚部．这种运算类似于初中的合并同类项．跟踪训练1(1)复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)已知复数z1＝(a2－2)－3ai，z2＝a＋(a2＋2)i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a的值为________．题型2复数加、减运算的几何意义【问题探究2】我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O、A、C对应复数分别为0、3＋2i、－2＋4i，试求(1)AO所表示的复数，BC所表示的复数；(2)对角线CA所表示的复数；(3)对角线OB所表示的复数及OB的长度．学霸笔记：(1)根据复数的两种几何意义可知：复数的加、减运算可以转化为点的坐标运算或向量运算．(2)复数的加、减运算用向量进行时，同样满足平行四边形法则和三角形法则．(3)复数及其加、减运算的几何意义为数形结合思想在复数中的应用提供了可能．跟踪训练2在复平面内，A，B，C，三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.(1)求AB，(2)判断△ABC的形状．题型3复数加、减运算的几何意义的应用例3如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是()A．1B．1C．2D．5学霸笔记：|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解．跟踪训练3△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点是△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心随堂练习1．已知z＋5－6i＝3＋4i，则复数z为()A．－4＋20iB．－2＋10iC．－8＋20iD．－2＋20i2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为()A．5B．5C．25D．104．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________．课堂小结1.复数代数形式的加、减运算．2．复数加、减法的几何意义．3．复数加、减运算的几何意义的应用．7．2.1复数加、减运算及其几何意义问题探究1提示：(1)两个复数相加(减)就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减)．即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．(2)满足．例1解析：(1)(13+12i)＋(2－i)－(43-32i)＝(13＋2－43)＋(1(2)∵z1＝2＋3i，z2＝－1＋2i，∴z1＋z2＝2＋3i＋(－1＋2i)＝1＋5i，z1－z2＝2＋3i－(－1＋2i)＝3＋i.跟踪训练1解析：(1)复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9，1)，在第一象限．故选A.(2)由已知可得z1＋z2＝(a2＋a－2)＋(a2－3a＋2)i，因为z1＋z2是纯虚数，则a2+a-2=0答案：(1)A(2)－2问题探究2提示：设OZ1＝(a，b)，OZ2＝(c，d)，则OZ1＋OZ2＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d)．几何意义是以OZ1，例2解析：(1)AO＝－OA，∴AO所表示的复数为－3－2i.∵BC＝AO，∴BC所表示的复数为－3－2i.(2)∵CA＝OA-∴CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)对角线OB＝OA+OC，它所对应的复数z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|OB|＝12跟踪训练2解析：(1)A，B，C三点分别对应复数1，2＋i，－1＋2i.所以OA，OB，OC对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i(所以OA＝(1，0)，OB＝(2，1)，OC＝(－1，2)．所以AB＝OB-OA＝(1，1)，AC＝OC-OA＝(－2，2)，BC＝OC-OB＝即AB对应的复数为1＋i，AC对应的复数为－2＋2i，BC对应的复数为－3＋i.(2)因为|AB|＝1+1＝2，|AC|＝-22+22＝8，|BC|因为|AB|2＋|AC|2＝10＝|BC|2，且|AB|≠|AC|，所以△ABC是以角A为直角的直角三角形．例3解析：设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.所以Z点在线段Z1Z2上移动，ZZ3min＝|Z1Z3|＝1，所以|z＋i＋1|min＝答案：A跟踪训练3解析：由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z的对应点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心．故选A.答案：A[随堂练习]1．解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝(3－5)＋(4＋6)i＝－2＋10i.故选B.答案：B2．解析：z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i.故z对应的点为(－1，－3)