福建省漳州市长泰第二中学2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试题

2025届⾼⼆上数学⽉考2试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，满分：150分，考试时间：120分钟；考试范围：湘教版选择性必修第⼀册第⼀章~第三章，命题⼈：sqb，时间：2023年12⽉注意事项：1.答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题共60分）⼀、单选题（本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.过两点 的直线的倾斜⻆为 ，则 （ ）A.D.2.等差数列前项的和为 ，前 项的和为 ，则它的前 项的和为（ ）A130 170 210 D.2603.已知等⽐数列 公⽐ 且 ，前项积为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）A.D.4.已知数列 是公⽐为q的等⽐数列，若 ，且 是 与 的等差中项，则的值是（ ）A. 3 2 D.1或25.斜率为的直线上存在不同的两个点满⾜：.则的取值范围是（ ）A.D.6.上层有1个球，第⼆层有3个球，第三层有62015年世乒赛期间，苏州某景点就⽤乒乓球堆n层，记使⽤的乒乓球数量为，则（ ）（参考公式：）A.D.7.椭圆 左右焦点为 ， ）A.1 D.28.已知分别为双曲线的左右焦点，过点且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上⽅，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离⼼率为（ ）A.D.⼆、多选题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.在每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知曲线 ，则（ ）A.若 ， ，则曲线C表示椭圆若 ，则曲线C表示双曲线若 ， ，则曲线C表示双曲线，其渐近线⽅程为D.若 ，，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离⼼率10.实数x，y满⾜ ，则的值可能为（）A.D.11.的前n项和，若，且，成等⽐数列，则（ ）A.为等差数列 ，，成等⽐数列 D.有最⼤值，⽆最⼩值12.2023年暑期档动画电影《⻓安三万⾥》重新点燃了⼈们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗⼜称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象⼒最丰富，艺术性最强的⼀部分，唐代诗⼈李颀的边塞《古从军⾏开头两句说⽩⽇登⼭望烽⽕⻩昏饮⻢傍交河.诗中隐含着⼀个有趣的数学问题程最短？在平⾯直⻆坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的⽅程为 ）A.将军从出发点到河边的路线所在直线的⽅程是将军在河边饮⻢的地点的坐标为将军从河边回军营的路线所在直线的⽅程是D.第II卷（⾮选择题共90分）三、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13.写出⼀个同时满⾜以下条件抛物线 的⽅程 ．为．① 的顶点在坐标原点；② 的对称轴为坐标轴；③ 的焦点到其准线的距离为14.过椭圆 内⼀点，且被这点平分的弦所在直线的⽅程 .是.15.的最⼩值为 ．16.图1为⼀种卫星接收天线，其曲⾯与轴截⾯的交线为抛物线的⼀部分．已知该卫星接收天线的⼝径2所示的平⾯直⻆坐标系 ，若 是该抛物线上⼀点，则点 到直线 和直线 的距离之和 ．的最⼩值是 ，若以 为直径的圆与y，则点 的横坐标为 ．的最⼩值是四、解答题（本题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）17.求满⾜下列条件的直线⽅程：（1）过点，与直线 平⾏；（2）过点，与直线 垂直．18.已知圆，圆．（1）证明圆A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的⽅程；（2）已知点 ，若直线相交于点斜率之积为，求动点P的轨迹⽅程并说明轨迹图形．19.的前，在① 且；③且 ， ，这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯的问题中，并求解：（1）已知数列 满 ，求，求 的通项公式；（2）已知正项等⽐数列 满⾜ ， ，求数列的前项和 ．20.对于椭圆： ，我们称双曲线： 为其伴随双曲线．已知椭圆（ ，它的离⼼率是其伴随双曲线 离⼼率的 倍．（1）求椭圆 伴随双曲线 的⽅程；（2）如图，点 ， 分别为 的下顶点和上焦点，过 的直线与 上⽀交于 ，两点，设 的⾯积为， （其中 为坐标原点．若 的⾯积为 ，求．21.的左、右焦点分别为 ，过 作与轴垂直的直线交双曲线 于两点， 的⾯积为12，抛物线 以双曲线 的右顶点为焦点.（1）求抛物线 的⽅程；（2）如图，点为抛物线 的准线上⼀点，过点 作轴的垂线交抛物线于点 ，连接并延⻓交抛物线于点 ，求证：直线 过定点.22.过点 与 上的点 满⾜直线 与直线 的斜率之积为.（1）求椭圆 的⽅程；（2）直线 与椭圆 相交于 两点，已知点 ，点 与 关于原点对称，讨论：直线 的斜率与直线 的斜率之和是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.保密★启⽤前

2025

2届⾼⼆上数学⽉考 试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分，满分：150分，考试时间：120分钟；第，考试范围：湘教版选择性必修第⼀册第⼀章~第，

三章，命题⼈：sqb

时间：2023年12⽉注意事项：1.答题前填写好⾃⼰的姓名、班级、考号等信息2.上请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题共60分）在⼀、单选题（本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分.在

每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1.过两点 的直线的倾斜⻆为 ，则 （ ）A B.C. D【答案】【解析】.【分析】由倾斜⻆与斜率及两点坐标的关系可求【详解】设直线斜率为，则 ，D.故选：2. 等差数列前项的和为

，前 项的和为 ，则它的前 项的和为（ ）A.130 B.170 C.210 D.260C【答案】【解析】.【分析】根据等差数列前项和的性质，结合已知数据，求解即可【详解】利⽤等差数列的性质： 成等差数列，所以，即，解得.C.故选：3.已知等⽐数列 的公⽐

且 ，前项积为 ，若 ，则下列结论正确的是（ ）B.C.C【答案】【解析】【分析】⾸先计算 解，再根据等⽐数列的性质，即可求 【分析】⾸先计算 解【详解】因为 ，所以，由 且 可知 ， 同号，所以.C故选：4. q已知数列 是公⽐为

的等⽐数列，若，且 是 与 的等差中项，则 的值是（ ）B.3 C.2 1 2或B【答案】【解析】.【分析】由等⽐数列的性质及等差中项的定义求得公⽐即可【详解】由题意可得： ，⽽ 是 与 的等差中项，( ) ，即 舍去或，即 .B故选：5.已知

，过斜率为的直线上存在不同的两个点满⾜：. （ ）则的取值范围是B.D.C【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义可得 ， 是以 、 为焦点的双曲线的右⽀上的两点，即过斜率为的直线与双曲线的右⽀有两个交点，求出双曲线⽅程，联⽴直线与双曲线，消元，根据.不等式组，解得即不等式组，解得即【详解】因为，所以 ， 是以、为焦点的双曲线的右⽀上的两点，且 ，，所以，双曲线⽅程为，则过斜率为的直线⽅程为，由 ，消去整理得，所以 ，解得 ，即的取值范围为 .C.故选：6. ·

三⻆垛”.

三⻆垛”的如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法“2015 世乒赛期间，苏州某景点就⽤乒乓球堆成“三⻆垛”型的装饰品，假设⼀个“三⻆垛”装饰品共有n层，记使⽤的乒乓球数量为，则（ ）（参考公式： ）B.D.D【答案】【解析】转化成数列 的前项和，利⽤等差数列前项和公式和即可求.出结果【详解】D故选：7. 椭圆 的左右焦点为

， 为椭圆上的⼀点， ，则△ 的⾯积为（ ）A.1 B.C. D.2C【答案】【解析】求△ 的⾯积.【详解】∵点 是椭圆 上的⼀点， 是焦点，∵在△中，∴∴∵在△中，∴②，，.C.为双曲线 的左右焦点故为双曲线 的左右焦点8. F1F2已知 ，

分别 F1且斜率存在的直线L与双曲线 的渐近线相交于

AB两个点到x轴的距离之和为 ，若，则双曲线的离⼼率为（ ）B. C. D.A【答案】【解析】.【分析】根据 得到 为直⻆三⻆形，进⽽根据点差法得中点弦的性质即可求【详解】设,，设 的中点为，由于，故,因此为直⻆三⻆形，故，由于，所以，进⽽可得，故或，由 双曲线渐近线上，所以 ，进⽽ ，所以 ，当时，, 不符合题意，舍去，综上：故离⼼率为.A故选：在⼆、多选题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分.在

每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知曲线

，则（ ）A.若 ， ，则曲线C表示椭圆B.若，则曲线C表示双曲线C.若 ， ，则曲线C表示双曲线，其渐近线⽅程为D.若 ， ，则曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，其离⼼率BC【答案】【解析】.【分析】利⽤曲线的⽅程逐项分析即得【详解】对于

A 若 ， ，当 时，则曲线C表示圆，故A错误；B对于，若

，时曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，当时曲线C表示焦，点在y轴上的双曲线，所以若，则曲线C表示双曲线，故B正确；C对于，若C

， ，则 ， ，，⽅程为 ，所以曲线 表示双曲线令，故C正确；D对于，若

， ，则曲线C，即 ，因为 误，所以曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故D错 因为 误BC.故选：10. x y ，则 的值可能为（ ）实数，满⾜B.C.BCD【答案】【解析】.【分析】令 ，与 联⽴，然后利⽤ 解出的取值范围，即得【详解】令 ，可得 ，则直线 与圆 ，将 代⼊⽅程 ，得解得 ，即.BCD.故选：A.

n记 为数列 的前为等差数列

项和，若成等⽐数列，则（ ）B.成等⽐数列 D.有最⼤值，⽆最⼩值AC【答案】【解析】.【分析】先根据递推公式求出数列 的通项公式，再根据条件求出 ，然后逐项分析【详解】由题意，得： ，，是⾸项为，公差为1的等差数列，，由于 成等⽐数列， ， ，解得 ；；对于，正确；对于，错误C对于，D对于，

，正确；，是关于n的⼆次函数，所以在或13处取得最⼩值，⽆最⼤值，错误；AC.故选：12.2023 年暑期档动画电影《⻓安代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象⼒最丰富，艺术性最强的⼀部分，唐代诗⼈李颀“ ，⻩昏饮⻢傍交河.

中隐含着⼀个有趣的数学问题——“将军饮⻢程最短？在平⾯直⻆坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的“ ” ，则（ ）⽅程为 ，若将军从出发点到河边饮⻢，再回到军营（将军饮⻢）的总路程最短A.将军从出发点到河边的路线所在直线的⽅程是B.将军在河边饮⻢的地点的坐标为将军从河边回军营的路线所在直线的⽅程是D.“

” 将军饮⻢⾛过的总路程为BD【答案】【解析】【分析】求出点关于直线 的对称点为，直线 的⽅程为 即为从AB正确；直线 的⽅程为即为从河边回军营的路线，可得C错误；由各路段⻓度总和即可“ ” ，可知D正 .确求出将军饮⻢⾛过的总路程为确【详解】由题可知 在 的同侧，设点关于直线 的对称点为，如下图所示：则 ，解得；即 .将军从出发点到河边的路线所在直线即为 ，⼜ ，所以直线 的⽅程为 ，故 错误；设将军在河边饮⻢的地点为 ，则 即为 与 的交点，联⽴两直线⽅程解得，故B正确；将军从河边回军营的路线所在直线为 ，⼜，所以直线 的⽅程为，故C错误；总路程，“ ” ，故D正 .所以将军饮⻢的总路程为BD.故选：

确确第II卷（⾮选择题共90分）三、填空题（本题共4⼩题，每⼩题5分，共20分）13. 写出 ．⼀个同时满⾜以下条件的抛物线 的⽅写出 ．① 的顶点在坐标原点；② 的对称轴为坐标轴；③ 的焦点到其准线的距离为【答案】（答案不唯⼀）【解析】【分析】待定系数法去求抛物线 的⽅程【详解】由①②可知 的⽅程为抛物线的标准⽅程，由③可知， ，所以抛物线 的⽅程可以为 ．不唯⼀故答案为： ( 案 )不唯⼀答是14.过椭圆 ，且被这点平分的弦所在直线的⽅程 .是【答案】【解析】.【分析】利⽤点差法即可求得过点 且被点P平分的弦所在直线的⽅程【详解】设该直线与椭圆的两个交点分别为 ，则⼜，，两式相减得，则，则则所求直线⽅程为，即，则，.经检验 符合题意故答案为：15.

上任意⼀点，点，则的最⼩值为已知抛物线 的焦点为 为抛物线 ．4【答案】【解析】【分析】利⽤抛物线的定义，结合抛物线的性质，转化求解即可．【详解】由题意可知抛物线 的焦点坐标为 ，准线的⽅程为 ，过 作 于由抛物线定义可知 ，所以 ，则当 共线时 取得最⼩值，所以 最⼩值为： ．4故答案为：．16.图

1为⼀种卫星接收天线，其曲⾯与轴截⾯的交线为抛物线的⼀部分．已知该卫星接收天线的⼝径，深度 ．信号处理中⼼ 位于焦点处，以顶点 为坐标原点，建⽴如图2所示的平⾯直⻆坐标系 ，若 是该抛物线上⼀点，则点 到直线 和直线 的距离之和的最⼩值是.2【答案】 ①

，若以 为直径的圆 ．. ##②【解析】）【分析1）

由题知，根据待定系数法得 ，进⽽根据抛物线的定义，将问题转化为求的距离，再数形结合求解即可；（）2 取 中点为 ，过 作轴的垂线，垂⾜为，过 作轴的垂线，垂⾜为，进⽽结合抛物线（）的定义得以 为直径的圆 案与yP的定义得以 为直径的圆 案【详解】由图

2，可设抛物线⽅程为

，过点，∴ ，抛物线⽅程为 ，∴ ，是抛物线 的准线，∴ 到 的距离等于 ．1 ，则 到直线和直线的距离之和为（）过 作 于∵抛物线 的焦点F ∴过 作 于

，和抛物线的交点就是 ，∴ （当且仅当 三点共线时等号成⽴）∴点 到直线 的距离和到直线 的距离之和的最⼩值就是 到直线距离，∴最⼩值 ．2 ，过 作轴的垂线，垂⾜为，过 作轴的垂线，垂⾜为（）取 中点为则 为梯形 的中位线，由抛物线的定义可得，所以，所以，以 为直径的圆与y轴相切，所以点 为圆与y轴的切点，所以D点的纵坐标为 ，⼜D为 中点，所以P点纵坐标为，P⼜点 在抛物线

上，则有 ，解得 ，所以P点横坐标为 ．故答案为：； .四、解答题（本题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）17.1

求满⾜下列条件的直线⽅程：，与直线 平⾏；（）过点2 ，与直线垂直．（）过点1 ；【答案（）2（）【解析】1

，利⽤直线平⾏可得所求直线的斜率，由点斜式可得结果；【分析（由直线 的斜率为（）由直线的斜率为 .1【⼩问 详解】因为直线 的斜率为 ，所求直线与直线 平⾏，所以所求直线的斜率是，因为所求直线过点，所以所求的直线⽅程是，即 ；2【⼩问 详解】因为直线 的斜率为 ，所求直线与直线 垂直，所以所求直线的斜率是 ，因为所求直线过点，所以直线⽅程为 .18.1

已知圆

，圆 ．A与圆B相交，并求圆A与圆B的公共弦所在直线的⽅程；（）证明圆2 ，若直线PA PC P，且它们的斜率之积为 ，求动点P的轨迹⽅程并说明相交于点（）已知点 相交于点轨迹图形．1 ；【答案（）证明⻅解析（）轨迹⽅程为 P

两点的双曲线【解析】1

A与圆B的圆⼼和半径，再根据圆⼼距与半径的关系即可判断证出两圆相交，两圆的【分析（

）求出圆

A与圆B的公共弦所在直线的⽅程；⽅程作差即可求出圆2 ，由题意得， ，化简即得动点P的轨迹⽅程，并可知轨迹图形．（）设1【⼩问A

详解】

，半径 ，圆，圆⼼B圆，圆⼼

，A与圆B相交．∴ ，所以圆圆 ，圆 ，两式相减，得 ．2【⼩问 详解】设 ，由题意得， ，P化简得，

的轨迹⽅程为

，所以P的轨迹是除去，两点的双曲线．19. 已知数列 的前项和为

，在① 且 ；② ；③且 ， ，这三个条件中任选⼀个，补充在下⾯的问题中，并求解：1 ；（）已知数列 满⾜ ，求 的通项公式2 ，，求数列 的前项和．（）已知正项等⽐数列 满⾜1【答案（）2（）【解析】1 【分析（若选①由已知推得 与 .推得数列 是等差数列然后由已知求得

，即可得出.2 ，然后根据对数运算以及裂项化简可得 ，然（）根据已知可求出.后相加即可得出1【⼩问 详解】若选① 且.由 可得⼜ ，所以数列 是常数列，且 .若选②由已知可得， .当 时，有 ；当 时，有，，两式作差可得，，所以⼜满⾜，所以若选③ 且 ，由 可得，，所以 列，数列是等差数 所以 列⼜ ， ，所以 ，所以 ，所以2【⼩问1

.详解】，，所以.由（）知设等⽐数列 公⽐为 ，由已知可得 ，解得 ，.所以所以 ，.所以20.对于椭圆： ，我们称双曲线： 为其伴随双曲线．已知椭圆（ ，它的离⼼率是其伴随双曲线 离⼼率的 倍．1 ；（）求椭圆 伴随双曲线 的⽅程2 ，点 ， 分别为 的下顶点和上焦点，过 的直线与 上⽀交于 ，两点，设 的（）如图⾯积为， （其中 为坐标原点．若 的⾯积为 ，求 ．1【答案（）2（）【解析】1

与其伴随双曲线 的离⼼率分别为 ， ，依题意可得 ， ，根据【分析（）设椭圆离⼼率公式得到⽅程，求出 ，即可得解；2 ， ， ，直线的⽅程，联⽴直线与双曲线⽅程，消（）设直线的斜率为元、列出⻙达定理，求出 ，由 求出 ，再由可得 可得 解【⼩问

详解】

，根据数量积的坐标表示，代⼊⻙达定理，即可得 .设椭圆 与其伴随双曲线 的离⼼率分别为 ， ，依题意可得 ， ，所以椭圆 伴随双曲线 的⽅程为 .2【⼩问1

详解】

，，设直线的斜率为，，，由（）可知则直线的⽅程 ，与双曲线 联⽴并消去得 ，则 ，所以，，则 ，⼜ ，⼜，所以，解得 或（舍去，⼜⼜，所以，因为，所以 .21.双曲线 的左、右焦点分别为

，过 作与轴垂直的直线交双曲线 于，